第四讲极限环

第四讲极限环3.1什么是极限环轨迹很多情况下趋向一个不动点，但是有些系统趋向一个闭合周期轨道，是系统的一个解，但是不是定常解，它附近的轨道趋向它，则是稳定的极限环，否则是不稳定的，还有一种从一边趋向它，而从另一边远离它，则是半稳定的极限环。例子：系统xyx(1x2y2)yxy(1x2y2)这个系统求解平衡点只有一个（0,0），由特征值1i可以知道为不稳定的焦点。但是从整体上分析系统的运动，我们会发现有个稳定的周期轨迹围绕着（0,0），这个可以从极坐标很容易发现。取r2x2y2，arctan(y/x)，那么系统化为rrr2(1)1因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（0,0）的r1的周期轨道，当然还有r0的原点。稳定性可以看r的增长速度，当0r1，r0，是增长的，而r1时，r0，是减小的衰减的。functionout1=lcycle(t,y)out1=[y(2)+y(1).*(1-y(1).^2-y(2).^2);-y(1)+y(2).*(1-y(1).^2-y(2).^2)];1.510.50-0.5-1-1.5-1.5-1-0.500.511.5例子：半稳定极限环xyx(1x2y2)yxy(1x2y2)这个系统求解平衡点只有一个（0,0），不稳定的焦点。但是从整体上分析系统的运动，取r2x2y2，arctan(y/x)，那么系统化为rrr2(1)1因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（0,0）的r1的周期轨道，当然还有r0的原点。稳定性可以看r的增长速度，当0r1，r0，是增长的，而r1时，r0，还是增长的，因此是半稳定。定义：对于单位圆上任一点，经过2pi个单位重新回到此点，园外和园内不同点也经过不同时间到达单位圆，考虑时间趋向正无穷，那么这些点所成的集合称为极限集（希腊字母最后一个字母），如果时间趋向负无穷，其集合称为极限集。3.2庞加莱（Poincare）映射定义：庞加莱（Poincare）映射，相平面上选取一点，从该点出发的轨迹再次回到该点称为首次返回映射或者庞加莱映射。例子：例子：系统xyx(1x2y2)yxy(1x2y2)rrr2(1)1我们讨论从x正半轴{(x,0);x0}出发的轨迹返回映射，极坐标下等同于从0到2的解。1对于drdt积分r(1r2)我们得到1r(t)1e2t(r21)0那么当从0到2，从r出发的轨迹再次回到点r(2)处，这就是庞加莱0映射，构造映射的截线1p(r)r(2)01e4(r21)0可以看出，当r=0和1时，映射返回自己，即p(0)0,p(1)1，而对于其他的0初始点r，p(r)r。000定义：庞加莱（Poincare）截面，我们不连续地画出系统的轨道，而是每隔一个周期取一个截面（x,x），就是庞加莱截面，截面是一系列的离散点p(x,y)，ii形成了二维映射xF(x,y)n1nnyG(x,y)n1nn对于单周期运动，庞加莱截面是一个点，因为一个周期轨迹重新回到此点，而对于m倍周期，庞加莱截面有m个点，而对于拟周期，那么截面上是无限多个点，形成了连续的。3.3判断极限环庞加莱-本迪克森定理是判断极限环存在与否的基本定理，因为并非所有的极限环都是圆，依据极坐标能够确定出来。举例说明，考虑系统xyyxy(4x24y2)1引入 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 L(x,y)(x2y2)，发现20L1/21Ly2(4x24y2)，那么A{(x,y):L2}区域是正不变的，0L22在边界L(1/2)处是反阻尼，而在边界L(2)处是正阻尼，向量指向环域内部，因此域内必然有封闭曲线轨迹。庞加莱-本迪克森定理：假设A是有界闭子集，而且是微分方程的正不变集，并且A内部没有不动点，那么存在轨迹(t,x)，xA，是一个周期轨或者趋向00周期轨迹(x)，t。A必然是一个洞的环域，而且有两个边界，边界是闭0曲线。李纳（Lienard）方程：这类方程对于小振荡有递增的“振幅”，对于大振荡有递减的振幅，存在唯一的周期轨或极限环，由于小振荡的振幅增加不是由外力引起的，因此这类现象又称为“自激振荡”。xyF(x)yg(x)定理：当函数F(x),g(x)连续可微，都是奇函数，满足g(x)0(x0)，存在a，使得F(a)0,F(x)0(0xa)，F(x)0(xa)且非减函数。那么此类方程必然存在唯一的极限环。证明略。比如RLC的非线性电路的范德波尔方程x3xy(x)3yx这个方程就是我们第一讲VanderPol（范德波尔）方程，xyyx(1x2)yx利用y'yf(s)ds，这里f(x)x21变换即可等价。03.4什么是“流”？各种 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的观点perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。相对来说，前者对于多数人而言似乎更为直观。其实，这两种思路有着根本的联系——这种联系体现在李群论的一个基础概念——李群作用。流(Flow)是什么呢？很通俗的说， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示了一种运动规则。给定一个点的初始位置x，让它运动一段时间t，那么之后到达另一个位置y，那么y就是初始位置x和运动时间t的函数：y=Φ(t,x)这个函数Φ，如果符合一些合理的性质，就叫做一个流(Flow)。一个合理的运动函数应该具有什么性质呢？我想，最起码应该有三点：1.运动是连续的。物理学告诉我们，现实中没有所谓的“瞬间转移”。在上面的式子中，如果固定x，那么y(t)=Φ(t,x)就是这个初始位置在x的点的运动过程。在数学上，没有“瞬间转移”就是说对于任何x，它的运动过程y(t)都是连续的。2.变形是连续的。现在假设我们不考虑一个点，而是考虑一个物体。那么，本来是邻居的点，后来还是邻居——严格一点，在拓扑学上就是说，x和它的一个邻域各自都运动了时间t，那么运动后，这个邻域关系还是保持的——这等价于不改变这个物体的拓扑结构（比如，不把它撕开，但是连续变形是肯定允许的）。当然，在现实中物体被撕开不是没有可能，但是这会导致拓扑结构的改变，这就不是一般的数学工具所用表达的了。3.时间上的一致性。简单的说，如果我先让它运动时间t1，在运动时间t2，那么和让它运动时间(t1+t2)是一样的。用上面这个表达式写，就是：Φ(t2,Φ(t1,x))=Φ(t2+t1,x)。这个性质在物理上似乎理所当然，但是在数学上，你随便给一个二元函数Φ，可就未必符合这个属性了。这个规定保证了，我们定义出来的S最起码在物理上不会出现错乱。 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 起来，Φ(x,t)是对于x和t的连续函数（实际上，在一般的定义中更严格一些，通常要求S是光滑函数，就是无限阶可微的函数。还有就是关于时间的一致性条件。这里特别强调一点，我们允许t是可正可负的：时间取负数，就是让这个点沿着原路径倒回去走——怎么来的，就怎么回去。这里面隐含了一个条件：在某一时刻分开的两点是永远走不到一起成为一点的——否则倒回去就不知道往哪走了——这拓扑上，拓扑结构不发生改变就保证了这一点：物体既不能撕开，也不能粘在一起。流——变换群和运动曲线的统一这个Φ(t,x)呢，可以从两个方面去看，就得到两种不同的理解。首先，固定t，T_t(x)=Φ(t,x)它就变成了一个关于x的变换函数：把一个点从一个位置变换到时间t后的另外一个位置。那么T_t就是一个变换。然后，不同的时间t，对应着一个不同的变换。而且基于时间的一致性，先做T_(t1)变换（走时间t1），再做T_(t2)变换（再走时间t2），相当于另一个变换T_(t2+t1)。数学上就是：T_(t2)*T_(t1)=T_(t2+t1)。如果你对群的概念有基本的了解，这里就可以看出来，从全部的不同时间的T_t构成了一个变换群，从t到T_t的映射，就是从实数R上的加法群到这个变换群的同构映射。因为T_t是由一个参数t控制的，有个专门的名词，叫做“单参数群”(one-parametergroup)。由于加法群的可交换性，这个单参数变换群也是可交换的——这个可交换性的物理意义很明显:先走t1，再走t2；还是先走t2，再走t1，是一样的。因此，我们得到了第一种理解：流，就是连续作用在一个物体上的可交换单参数变换群。（这里所谓“物体”，在数学上有专门的名字“流形”，对于这点我不想展开太多了。）其实，这才是关于流的比较正规的定义。从另外一个角度上看，固定x，我们追踪这一个点的运动，y_x(t)=Φ(t,x)那么y_x就是初始位置（t=0时的位置）为x的点的运动过程——也叫做运动曲线(curve)或者运动轨迹(orbit)。每个点都有自己的运动曲线，所谓流，就是这所有的这些运动曲线的共同体，或者说，流就是由这些运动曲线刻画的——这和我们一些直观的想法是一样的——我们在画画时喜欢在河上画几条曲线来表示流动。这个函数Φ(t,x)，把变换群和运动曲线同一起来了——它们就是一个东西的两个不同侧面。最终，我们是要把变换群和向量场联系在一起。流与向量场现在，我们有了y_x(t)，那么对它求导，我们就可以得到这个点在各个时刻的速度。整个流形就是所有这些曲线的集合，这样，在流形上的每个点，我们都能找到经过它的一条曲线，从而标出这点的速度。（这里强调一点，对于一个给定的流，经过某点的曲线是唯一的）于是，我们给每个点都赋予了一个速度，这就是“速度场”(velocityfield)。每个速度就是曲线上的一个切向量，所以更一般的说，我们把它叫做“向量场”。这里，我们看到，任意一个流都可以通过运动曲线的速度来建立一个对应的向量场。而且可以证明，这个向量场是连续的。那么反过来呢？我们给定一个连续的向量场，能不能找到一个流和它对应呢？这里面有三个方面1.（存在性），能不能找到一个流，它的速度场等于给定的向量场。2.（唯一性），如果存在，这个流是不是唯一的。3.（连续性），这个流Φ(t,x)是不是关于x和t的连续函数（或者光滑函数）。它的回答直接联系到一般意义的常微分方程的解的存在性，唯一性，和连续性。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是，这在局部上是成立的。就是任意一个定义于流形上的向量，总是可以找到包含其在内的“局部流形”。流作用下的面积和体积变化定理:设n维欧氏空间Rn的微分方程xF(x)，其流为(t,x)，令D为一个有限体积和边界D光滑的区域，那么D(t)表示流在时间t内所形成的D(t){(t,x),xD}00那么D(t)的体积（二维上叫面积）dV(t)FdVdtD(t)如果散量F是常数那么有V(x)V(0)eF散量F的符号表示了体积不变，减小或者增加。本迪克松定理：n维欧氏空间Rn的微分方程xF(x)，r为其周期轨道，所围区域D，那么FdA0D当区域R不含有洞，而F在此区域内定号（正或负），那么此域R内没有周期轨道。例子：对于方程xyyx(1x2)y5t)0y(-5-3-2-10123x(t)clearholdonsys=inline('[x(2);-x(1)-x(2)*((x(1))^2-1)]','t','x');vectorfield(sys,-3:.3:3,-5:0.5:5);[t,xs]=ode45(sys,[030],[23]);plot(xs(:,1),xs(:,2))holdoffaxis([-33-55])fsize=15;set(gca,'XTick',-3:1:3,'FontSize',fsize)set(gca,'YTick',-5:1:5,'FontSize',fsize)xlabel('x(t)','FontSize',fsize)ylabel('y(t)','FontSize',fsize)holdofffunctionvectorfield(deqns,xval,yval,t)ifnargin==3;t=0;endm=length(xval);n=length(yval);x1=zeros(n,m);y1=zeros(n,m);fora=1:mforb=1:npts=feval(deqns,t,[xval(a);yval(b)]);x1(b,a)=pts(1);y1(b,a)=pts(2);endendarrow=sqrt(x1.^2+y1.^2);quiver(xval,yval,x1./arrow,y1./arrow,.5,'r');axistight;对于|x|1内，F=1x2总是负的，因此此带状域内没有极限环。而对于|x|2域内，F=1x2是正负变化的，因此可能有极限环。3.5极限环的应用化学反应的振荡控制机器人行走的控制