从Logistic模型走向混沌

从Logistic模型走向混沌为进一步了解混沌的意义，我们考虑离散动力系统xf(x),nn1n0,1,2,这是一个差分方程.微分方程通过差分化可化为差分方程.种群(昆虫)模型中按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示，此时其模型又称为虫口模型.最简单的虫口模型是Logistic方程xx(1x)（*）n1nn这是一个单参数离散动力系统，如图函数有两个不动点.如有xx，称x为不动点，当xx而x,x,,x互不100n001n1相等时称x为周期n点.易证明当0时不管初值x(0,1)如何方程的0301解即n时的点x均收敛于不动点x.而当316时初值n1x(0,1)的方程(6.60)的解收敛于两个周期2点x,x(xx).因此为方程012213(6.60)的分支点.随着的逐渐增大，方程(6.60)从两个周期2点变为四个周期4点，再八个周期8点，等等.这种逐步加倍的分支称为倍分支.用计算机可绘出方程(6.60)的参数与周期点关系的倍分支图，如图(6.35).当3.569945673时方程(6.60)出现混沌解.x(n0,1,)可能不收敛于任何n点，到处游荡，是一个奇异吸引子.且存在对初值的敏感性.对线段上的连续映象，李天岩和York曾给出著名的“周期3蕴涵混沌”的定理（Li-York混沌定理）设I是一个区间,连续.如I中有一f:II点a,使b,f(b),df(c)满足f(a)c或dabcdabc(6.61)则对每一个，在中有的一个周期的周期点.且中有一个k1,2,IfkI不含周期点的不可列集,满足S(A)对中的每两个p,q有lim()()0,lim()()0Snnnnfpfqfpfq.nn(B)对S中的每一个p及I中的周期点q有limfn(p)fn(q)0nLi-York定理给出了混沌的严格数学定义.后来人们就把满足Li-York定理结论的集合称为Li-York混沌集.后来发现,可以将相空间中Lorenz方程的轨线通过Pocincare映射映射为z平面上的F(u,v),而进一步可分解为c1.而满足线段映射存在混沌的Li-York定理条件如F(u,v)(f(u),g(u,v))f(u),图(6.36)所示,从而说明Lorenz方程存在混沌[28,31].图(6.36)Lorenz方程的Poincare映射李天岩和York首先给出了混沌的数学定义，但仅对线段映射而言.后来又出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如Henon映射、强迫Duffing方程等.同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的混沌.由Lorenz方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的KAM定理、Smale马蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，这是与Li-York混沌不同的另一类型的混沌.后面将接着进行介绍(见§6.6).C.典故(8)Lorenz吸引子E.N.Lorenz毕业于麻省理工学院(M.I.T.)气象系，1948年起在M.I.T.做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大气结构动力学.1955年得到了M.Thomas辞职而空缺的位置和科研项目.项目是用计算机统计天气预报，当时用的是线性统计方法.他接手后提出用不是线性类型的方程组进行检验.选择了大大简化被滤波的数值天气预报方程式，并购买了内存为4k32bi字长的小型计算机，一次乘法约17ms,打印一行数字约10s.开始时选择14个变量的方程组，经压缩又压缩，最后变成12个.参数中包含驱动模式天气所需要的外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验.但总是出现毫无用处的稳定状态.经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气的转盘实验中所观察到的振荡.这时，他认识到需要一个解是非周期的方程组才可能否定线性预报.这是1959年，他准备将这碰巧找到的一个合适的方程组及其试验结果写成“动力方程组解的统计预报” 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 参加在东京举行的数值天气预报会议.在进一步进行试验时，数值方法是以6小时为增量计箅未来天气，4步即1天打印1次12-14个变量值，约1分钟模拟1天.为把打印出的数值排成1行，数值四舍五入到三位数字.有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算.停机后重新输入再进行计算，他在走廊上喝了一杯咖啡，约1小时，计算机已模拟了1个月的天气.但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件坏了.经检查才发现是输入时因舍入误差引起的.从而发现了方程组的解对初值敏感这个混沌现象.1961年到M.Thomas建立的旅行者天气中心访问时，B.Seltzmann告诉他用下面加热产生的对流流体运动的7个方程的方程组的数值解中有一个解稳定不下来，经查看其中4个变量很快变得非常小.他回到M.I.T.，取仅有3个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统.这便是Lorenz方程，它并不能非常好地描述实际对流运动，主要说明一个确定性的系统能以最简单的方式表现出非周期的形态.当时是湍流研究的热潮.他以“确定性的湍流”为题投稿《气象科学杂志》，编辑认为方程缺少湍流的性质，改以“确定性的非周期流”发.表由于Lorenz方程的解有界但是在两个不稳定状态中交替且不规则地振荡，与一般的吸引子不同，是一个奇异吸引子.1963-1964年Lorenz在《气象科学杂志》等杂志上发表了4篇有关 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 .但仅在气象学家中流传.1972年Lorenz还为美国科学发展协会会议准备一份报告和新闻公报，其题目为“可预报性：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能够在美国得克萨斯州产生一个龙卷风吗?”.Lorenz被称为“蝴蝶效应”提出者，混沌理论之父.Lorenz于2008年4月16日逝世,享年90岁.虽然Lorenz已发现了混沌现象.但还需要靠数学家的努力才能得到科学界的公认，成为一门新学科，这是另一个故事了(见后).[文39](9)Li-Yorke混沌的故事混沌的定义是首先由李天岩和J.A.Yorke在论文“周期3蕴含混沌”中给出的，这篇开创混沌新学科的文章的发表经过后来由李天岩作了介绍.1972年左右李天岩是美国马里兰大学的研究生，他的博士导师J.A.Yorke在大学的“流体动力学与应用数学所”工作，所里有一个气象研究项目，由A.Felle教授主持.1972年A.Felle教授将Lorenz所写的关于“气象预测”模式所的4篇文章介绍给Yorke教授，认为文章过于理论化、数学化，也许搞数学的会比较感兴趣.他们读了那些文章，觉得很有意思.1973年4月，Yorke在办公室中对李说“我给你一个好的思想”.这即是Li-Yorke定理，其原始出发点在Lorenz的文章中，李当时即说“这太适合《数学月刊》了!”两个星期后，李完全证明了这个定理.他们写好文章，真的投给《数学月刊》.但给退了回来，认为过于偏向研究性，不宜发表，或转寄或修改.因文章内容与李的博士论文无关.李把它压了下来.1974年是马里兰大学数学系的生物数学“特别年”，请了著名的普林斯顿大学R.May教授来校讲学，最后一次介绍Logistic离散模型，提及当参数较大时迭代值在整个区间中四处跑，他无法解释这现象，认为也许是计算误差所致.Yorke在送May上飞机时，把那篇在桌上躺了近一年的文章给他看，May看后大吃一惊，认为文章很大程度上解释了他的疑问.Yorke回来后即找了李，尽快修改文章发表.这文章最后发表在《数学月刊》1975年12月份那期上([文41]).May是举世闻名的教授，暑假到欧州讲学时将Li-Yorke混沌和Lorenz吸引子四处传播，从而掀起了混沌研究的热潮.[文42].