2020年湖南省普通高中学业水平考试合格性考试数学试卷一、选择题1.如图1所示的几何体是A.圆锥B.棱锥C.圆台D.棱柱2.已知向量.若，则A.0B.1C.2D.33.圆的面积是A.B.C.D.4.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是A.B.C.D.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度6.已知数列满足，则A.4B.8C.16D.327.已知函数若，则A.4B.2C.D.08.函数的最小正周期是A.B.C.D.9.用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是A.B.C.D.10.已知定义在上的函数的图象如图2所示.下述四个结论：①函数的值域为②函数的单调递减区间为③函数仅有两个零点④存在实数满足其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.③④D.②④二、填空题11.已知集合.若，则.12.某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为.13.已知直线.若，则.14.已知等差数列满足，则的前5项和.15.已知角的终边经过点，则.三、解答题：16.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图3所示的频率分布直方图.(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17.如图4所示，中，.(1)求内角的大小；(2)设函数，求的最大值，并指出此时的值.18.如图5所示，三棱锥中，平面，，且分别为的中点.(1)求证：平面；(2)已知，求三棱锥的体积.19.已知函数，其中，且.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若不等式对都成立，求的取值范围；(3)设，直线与的图象交于两点，直线与的图象交于两点，得到四边形.证明：存在实数，使四边形为正方形.
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