高中数学选择性必修第二册人教A版5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问
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1.经历由平均速度到瞬时速度,由割线的斜率到切线的斜率的过程,初步理解平均变化率和瞬时变化率的意义.2.领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程,直观感受极限思想.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用1.平均速度设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为 =① .2.瞬时速度(1)物体在② 某一时刻 的速度称为瞬时速度.(2)一般地,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数v,我们就说当Δt趋近于0时, 的极限是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v=③ =④ .1|物理中的变化率问题第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用1.抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x),则抛物线上过点P0(x0,f(x0))、P(x0+Δx,f(x0+Δx))的割线的斜率为 =⑤ .2.抛物线切线的斜率一般地,在二次函数y=f(x)中,当Δx无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数k,我们就说当Δx趋近于0时, 的极限是k,这时k就是抛物线在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率,即切线的斜率k=⑥ =⑦ .2|几何中的变化率问题第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用1.Δx趋近于0
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示Δx=0. ( ✕ )提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于0,否则 无意义.2.瞬时速度是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量. ( ✕ )提示:平均速度是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.3. = . ( √ )提示:设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此 = .4.抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是-3. ( √ )提示:∵切线的斜率为 = = (4+Δx)=4,∴抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用1|如何求瞬时速度1.求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);(2)求平均速度 = ;(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近的常数v即为瞬时速度,即v= .2.物体的瞬时速度与平均速度是不同的概念,解题时要注意区分,混淆概念是解答本类题的常见错误.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m;时间单位:s).若质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a.解析 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-(a×22+1)=4aΔt+a(Δt)2,∴质点M在t=2s附近的平均速度 = = =4a+aΔt,∴ =4a=8,解得a=2.解题模板 求瞬时速度的关键是求“极限”,解题时将含有Δt的式子化到最简形式,将Δt用0代入,可得到极限值.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用求二次函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:(1)求切线的斜率k= = ;(2)利用点斜式求出切线方程.2|求抛物线的切线方程第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.解析 ∵Δy=(1+Δx)2+(1+Δx)-2-0=3Δx+(Δx)2,∴ =3+Δx,因此切线l1的斜率为 =3.设l2与该曲线相切的切点坐标为P(x0,y0),则Δy=(x0+Δx)2+(x0+Δx)-2-( +x0-2)=(2x0+1)·Δx+(Δx)2,∴ =2x0+1+Δx,因此切线l2的斜率为 =2x0+1.由l1⊥l2得,切线l2的斜率为- ,即2x0+1=- ,解得x0=- ,因此切点P ,又切线l2的斜率为- ,所以直线l2的方程为y+ =- ,即3x+9y+22=0.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用解题模板 解决曲线的切线问题,应当从切点入手,当Δx无限趋近于0时,割线的斜率就是切线的斜率,因此先求函数值之差,进而求出割线的斜率,再将Δx无限趋近于0得到切线的斜率,最后解决与切线相关的问题.第1讲 描述运动的基本概念第五章 一元函数的导数及其应用
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