江苏省泰州市2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

江苏省泰州市2021—2022学年高一下学期期末考试数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，其中i为虚数单位，则A．B．C．3D．52．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则sinB＝A．B．C．D．3．已知向量＝(1，t)，＝(3，﹣6)，且∥，则实数t＝A．B．﹣2C．D．24．某学校有高中学生1000人，其中高 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为A．68B．38C．32D．305．从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是A．“恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生”B．“至少选中1名男生”与“至少选中1名女生”C．“选中2名男生”与“选中2名女生”D．“至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”6．已知，则A．﹣1B．C．D．27．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD—A′B′C′D′挖去一个四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD—A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝4cm，AA′＝2cm，那么该模型的表面积为A．cm2B．cm2C．cm2D．cm28．某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏，这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园．游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩．甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，m＋1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为1510．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项正确的有A．AD∥平面A1BC1B．DB1⊥平面A1BC1C．三棱锥D—A1BC1的外接球的表面积为12πD．三棱锥D—A1BC1的体积为11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，E为BC中点，，下列选项正确的有A．B．若∠BAD＝60°，则C．若∠BAD＝60°，则D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝，c＝2，，则下列说法正确的有A．A＋3C＝πB．sinC＝C．a＝2D．S△ABC＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是.（写出符合条件的一个值）14．如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为V，则这个漏斗的容积为．15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．他生于牧师家庭．15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位．1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国．1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授．他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 学、数论和力学方面作了大量出色的工作．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则＝；＝．（第一空2分，第二空3分）16．如图所示，该图由三个全等的△BAD、△ACF、△CBE构成，其中△DEF和△ABC都为等边三角形，若DF＝2，∠DAB＝，则AB＝．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 。17．（10分）已知复数z满足z﹣1为纯虚数，(1﹣2i)·z为实数，其中为虚数单位．（1）求复数z；（2）若，求实数x，y的值．18．（12分）为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．19．（12分）已知向量＝(，)，＝(，)，且⊥．（1）求cos(＋)的值；（2）若(0，)，(，π)且，求的值．20．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，且平面ACC1A1⊥平面ABC．（1）求证：A1B⊥AC1；（2）求直线A1B与平面ABC所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请在①，②2a﹣c＝2bcosC，③S△ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题．（1）求角B；（2）在（1）的条件下，若点D为AC的中点，且AB＝3，BD＝，求△ABC的面积．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．22．（12分）如图（1），在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F，H分别为边AB，AC，BC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图（2））．（1）当PB＝时，求二面角P—EF—B的大小；（2）当四棱锥P—BCFE的体积最大时，分别求下列问题：（Ⅰ）设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；（Ⅱ）在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．江苏省泰州市2021—2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，其中i为虚数单位，则A．B．C．3D．5【答案】B【解析】∵，∴，∴．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则sinB＝A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴sinB＝．3．已知向量＝(1，t)，＝(3，﹣6)，且∥，则实数t＝A．B．﹣2C．D．2【答案】B【解析】∵∥，∴1×(﹣6)﹣3t＝0，解得t＝﹣2．4．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为A．68B．38C．32D．30【答案】D【解析】＝30，即抽取高二年级学生的人数为30．5．从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是A．“恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生”B．“至少选中1名男生”与“至少选中1名女生”C．“选中2名男生”与“选中2名女生”D．“至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”【答案】C【解析】互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，根据定义，结合题意可知“选中2名男生”与“选中2名女生”这两件事不可能同时发生，故选C．6．已知，则A．﹣1B．C．D．2【答案】C【解析】∵，∴，分子分母同时除以，得，整理得，考虑到分母≠0，故＝．7．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD—A′B′C′D′挖去一个四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD—A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝4cm，AA′＝2cm，那么该模型的表面积为A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【答案】A【解析】连接FH，取FH中点O′，取HG中点M，连接OO′，OM，O′M，则OO′＝1，O′M＝，根据勾股定理得OM＝，∴S表＝，选A．8．某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏，这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园．游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩．甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考察古典概型，甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，且甲至少坐一站再下竹筏，可知甲下竹筏共有10种情况，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，且乙至少坐一站再下竹筏，可知乙下竹筏共有7种情况，故共有7×10＝70种情况，其中甲比乙后下的情况有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＝42种情况，故概率＝，选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，m＋1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为15【答案】AB【解析】60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是＝0.1，故A正确；易知m＋(m＋1)＝5×6﹣1﹣2﹣8﹣9＝10，则，∴这组数据的中位数是5，B正确；45×20%＝9，故第20百分位数是9.5，C错误；若样本数据，，…，的方差为8，则数据2﹣1，2﹣1，…，2﹣1的方差为32，故D错误．10．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项正确的有A．AD∥平面A1BC1B．DB1⊥平面A1BC1C．三棱锥D—A1BC1的外接球的表面积为12πD．三棱锥D—A1BC1的体积为【答案】BD【解析】∵BC与平面A1BC1相交，而AD∥BC，故A错误；易证A1B⊥平面AB1C1D，∴DB1⊥A1B，同理可证DB1⊥C1B，故DB1⊥平面A1BC1，B正确；由于棱长为a的正四面体的外接球半径为，而三棱锥D—A1BC1是棱长为的正四面体，故其外接球半径为，∴外接球表面积为，故C错误，该选项也可以根据正四面体和正方体是公共外接球来计算；由于棱长为a的正四面体的体积为，而三棱锥D—A1BC1是棱长为的正四面体，故其体积为，D正确．11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，E为BC中点，，下列选项正确的有A．B．若∠BAD＝60°，则C．若∠BAD＝60°，则D．【答案】ABD【解析】，A正确；若∠BAD＝60°，则∠D＝120°，AD＝6，DF＝2，则根据余弦定理，得AF2＝AD2＋DF2﹣2AD·DFcos∠D＝36＋4＋6×2＝52，∴AF＝，B正确；，∴＝，故C错误；，6cos∠BAD﹣15，∵﹣1＜cos∠BAD＜1，∴﹣21＜6cos∠BAD﹣15＜﹣9，D正确．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝，c＝2，，则下列说法正确的有A．A＋3C＝πB．sinC＝C．a＝2D．S△ABC＝【答案】AD【解析】∵，∴，则，故﹣＝C，即A＋3C＝π，A正确；∴A＝π﹣3C，B＝π﹣(π﹣3C)﹣C＝2C，根据正弦定理，得，∴，解得cosC＝，B错误；根据余弦定理c2＝a2＋b2﹣2abcosC，得，化简得，解得a＝1或2，由于＜cosC＝＜，∴＜C＜，故＜B＝2C＜，∴0＜A＜，即A＜C，∴a＜c，故a＝1，C错误；由于cosC＝，则sinC＝，S△ABC＝，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是.（写出符合条件的一个值）【答案】4，5，6，7任意一个【解析】要保证中位数是7，则这个数a≤7，且2＋3＋6＋7＋8＋10＋11＋13＋a＞63，即a＞3，故3＜a≤7，4，5，6，7任意选一个填写即可．14．如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为V，则这个漏斗的容积为．【答案】2V【解析】设圆柱高为h，则圆锥高为3h，共底面面积为S，故V＝Sh，该漏斗容积＝Sh＋S3h＝2Sh＝2V．15．欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．他生于牧师家庭．15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位．1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国．1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授．他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则＝；＝．（第一空2分，第二空3分）【答案】﹣2；﹣1【解析】∵，∴，∴＝﹣2；，令x＝，∴，．16．如图所示，该图由三个全等的△BAD、△ACF、△CBE构成，其中△DEF和△ABC都为等边三角形，若DF＝2，∠DAB＝，则AB＝．【答案】【解析】根据正弦定理，，∴，即，∴AF＝BD＝AB，AD＝AB，∵DF＝AD﹣AF＝2，∴AB﹣AB＝2，解得AB＝．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数z满足z﹣1为纯虚数，(1﹣2i)·z为实数，其中为虚数单位．（1）求复数z；（2）若，求实数x，y的值．【答案】（1）；（2）x＝y＝．【解析】解：（1）设（其中，），由为纯虚数，得，且．由为实数，得．所以．（2）由（1）知，．故由，得，即．因为，，由复数相等的充要条件得：，解得．18．（12分）为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．【答案】（1）该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110，120)；（2）恰有1名男生和1名女生被选中的概率为．【解析】解：（1）设该班共有名学生，则，解得．由频率分布直方图知在的人数为，由折线图知男生在的人数为3，所以女生在人数为．答：该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110,120)．（2）成绩在130分及以上的人数为（人）其中男生为4人，所以女生2人．记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．则样本空间，；所以．答：恰有1名男生和1名女生被选中的概率为．19．（12分）已知向量＝(，)，＝(，)，且⊥．（1）求cos(＋)的值；（2）若(0，)，(，π)且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）因为，所以，所以，所以，（2）因为，，，又，所以，，又因为，所以．20．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，且平面ACC1A1⊥平面ABC．（1）求证：A1B⊥AC1；（2）求直线A1B与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）略；（2）．【解析】解：（1）连结，因为，平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，平面，.在菱形中，，，所以平面，又平面，所以.（2）取的中点，连结，，所以，，，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，直线与平面所成角为.，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请在①，②2a﹣c＝2bcosC，③S△ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题．（1）求角B；（2）在（1）的条件下，若点D为AC的中点，且AB＝3，BD＝，求△ABC的面积．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）选①，因为，所以，，解得，因为，所以，故角．选②，因为，由正弦定理的，，所以，，，所以，故角．选③，因为，所以，，，故角．（2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形，点为中点，且．在中，由余弦定理得或（舍），即，10分所以22．（12分）如图（1），在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F，H分别为边AB，AC，BC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图（2））．（1）当PB＝时，求二面角P—EF—B的大小；（2）当四棱锥P—BCFE的体积最大时，分别求下列问题：（Ⅰ）设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；（Ⅱ）在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为？若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）(I)略，(II)．【解析】解：（1）在图②中，，所以二面角的平面角为．在中，已知，．由余弦定理得，，又，所以，所以二面角的大小为．（2）（Ⅰ）当四棱锥的体积最大时，．在等腰直角梯形中，，所以四边形为平行四边形．所以，平面，平面，所以∥平面．又平面，平面平面，所以∥．因为，，所以．又，∥，所以，，又，所以．（Ⅱ）当四棱锥的体积最大时，由①知，所以与平面所成角为．所以，解得，在中，解得．在中，解得，所以点为靠近点或点的线段的四等分点．