交通大学自主招生考试数学
试题
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一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程两根、满足，则= ．2．设，，则 ．3．已知，且，则 ．4．如图，将3个12×12正方形沿邻边中点剪开，提成两某些，将这6某些接在一种边长为正六边形上，若拼接后图形是一种多面体表面展开图，则该多面体体积为 ．5．已知，、，则= ．6．化简： ．7．若，且，则 ．8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过最短距离为 ．9．4封不同信放入4个写好地址信封中，全装错概率为 ，正好只有一封信装错概率为 ．10．已知等差数列中，，则= ．二、解答题（本大题共50分）1．已知方程三根分别为、、，且、、是不全为零有理数，求、、值．2．与否存在三边为持续自然数三角形，使得（1）最大角是最小角两倍？（2）最大角是最小角三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请阐明理由．3．已知函数最大值为9，最小值为1，求实数、值．4．已知月利率为，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于函数关系式（假设贷款时间为2年）．5．对于数列：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数有个，与否存在整数、、，使得对于任意正整数，均有恒成立（表达不超过最大整数）？交通大学自主招生考试试题参照答案一、填空题（每题5分，共50分）1．【答案】．【解答】=，当=时取等号．2．【答案】或．【解答】设，由于，因此．由，得，即．解得或（舍）．因此，解得或．3．【答案】-．【解答】，比较得．4．【答案】864．【解答】如图，所得到多面体相称于将四周体截去三个角、、，这三个小四周体都与相似，相似比为，且三条侧棱两两互相垂直，．因此多面体体积为．5．【答案】．【解答】由，得．又由于、，且，因此，，解得，．6．【答案】．【提示】按奇偶性分类讨论，或找规律．7．【答案】【解答】由，得，故或=0．又由于，因此当时，上式=25；当=0时，则上式=19．8．【答案】．【提示】看侧面展开图（有三种不同状况）．9．【答案】；0．【解答】全装错概率是；只有一封信装错是不也许事件，概率是0．10．【答案】33．【解答】则．二、解答题（本大题共50分）1．【解答】由韦达定理，得若，则∴，即或．∴．若，由（3）式，得，代入（2），得，而由（1），得，∴．∴，即．若有有理根，其中，、，则．∴为偶数，令，．代入得，∴也为偶数，这与矛盾．∴无有理根．∴，．∴综合上述，或．2．【解答】设三角形三边长为、、，它们所对角分别为、、．（1）由余弦定理，得，．若，则．代入化简，得，即．∴，该三角形三边长为4、5、6．（2）如图，设∠，则∠=3∠=3，过点作交于点，使∠，∴△为等腰三角形又∠∠，∴△也为等腰三角形．∵，，，，∴．整顿，得，无正整数．∴满足条件三角形不存在．3．【解答】将函数表达式整顿，得，由鉴别式，得．依题意，上述不等式解集为．∴．经检查，满足题意．4．【解答】依题意，，∴．5．【解答】当时，表达第个奇数，∴．∵，∴，∴．取，，，对任意，有，即存在满足题意得整数、、．
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