2021年北师大版初中九年级
下册
数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析
数学全册教案2021年北师大版初中九年级下册数学全册教案PAGE/NUMPAGES2021年北师大版初中九年级下册数学全册教案第一章直角三角形边角关系§1.1从梯子倾斜限度谈起学时安排2学时从容说课直角三角形中边角之间关系是现实世界中应用广泛关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们经常遇到距离、高度、角度计算问题，普通来说，这些实际问题数量关系往往归结为直角三角形中边与角关系问题.本节首光从梯子倾斜限度谈起。引入了第—个锐角三角函数——正切.由于相比之下，正切是生活当中用最多三角函数概念，如刻画物体倾斜限度，山坡度等都往往用正切，而正弦、余弦概念是类比正切概念得到.因此本节从现实情境出发，让学生在经历摸索直角：三角形边角关系过程中，理解锐角三角函数意义，并可以举例阐明；能用sinA、cosA、tanA
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达直角三角形中两边比，并可以依照直角三角形边角关系进行计算.本节重点就是理解tanA、sinA、cosA数学含义.并可以依照它们数学意义进行直角三角形边角关系计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA数学含义.因此在教学中要注重创设符合学生实际问题情境，引出锐角三角函数概念，使学生感受到数学与现实世界联系，勉励她们有条理地进行表达和思考，特别关注她们对概念理解.第一学时课题§1.1.1从梯子倾斜限度谈起(一)教学目的(一)教学知识点1.经历摸索直角三角形中边角关系过程.理解正切意义和与现实生活联系.2.可以用tanA表达直角三角形中两边比，表达生活中物体倾斜限度、坡度等，外可以用正切进行简朴计算.(二)能力训练规定1.经历观测、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己观点.2.体验数形之间联系，逐渐学习运用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题能力.3.体会解决问题方略多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观规定1.积极参加数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是态度以及独立思考习惯.教学重点1.从现实情境中摸索直角三角形边角关系.2.理解正切、倾斜限度、坡度数学意义，密切数学与生活联系.教学难点理解正切意义，并用它来表达两边比.教学办法引导—摸索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章章头图，提出问题，问题从左到右分层次浮现：[问题1]在直角三角形中，懂得一边和一种锐角，你能求出其她边和角吗?[问题2]随着改革开放进一步，上海都市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路国际饭店还始终是上海最高大厦，但通过多少年都市发展，“上海最高大厦”桂冠早已被其她高楼取代，你们懂得当前上海最高大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和恰当途径得到金茂大厦实际高度吗?通过本章学习，相信人们一定可以解决.这节课，咱们就先从梯子倾斜限度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子倾斜限度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是咱们寻常生活中常用物体.咱们经常听人们说这个梯子放“陡”，那个梯子放“平缓”，人们是如何判断?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么?请同窗们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是如何判断?你有几种判断办法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，因此梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是由于AC＝ED，因此只要比较BC、FD长度即可知哪个梯子陡.BC
评价
LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载
?[生]小明和小亮做法都可以阐明梯子倾斜限度，由于图中直角三角形中锐角A是拟定，因而它对边与邻边比值也是唯一拟定，与B1、B2在梯子上位置无关，即与直角三角形大小无关.[生]但我觉得小亮做法更实际，由于要测量B1C1长度，需攀到梯子最高品位，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完毕.[师]这位同窗能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得倡导.咱们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中锐角A拟定后来，它对边与邻边之比也随之拟定，因而咱们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC中，如果锐角A拟定，那么∠A对边与邻边之比便随之拟定，这个比叫做∠A正切(tangent)，记作tanA，即tanA=.注意：1.tanA是一种完整符号，它表达∠A正切，记号里习惯省去角符号“∠”.2.tanA没有单位，它表达一种比值，即直角三角形中∠A对边与邻边比.3.tanA不表达“tan”乘以“A”.4.初中阶段，咱们只学习直角三角形中，∠A是锐角正切.思考：1.∠B正切如何表达?它数学意义是什么?2.前面咱们讨论了梯子倾斜限度，课本图1—3，梯子倾斜限度与tanA关于系吗?[生]1.∠B正牢记作tanB，表达∠B对边与邻边比值，即tanB=.2.咱们用梯子倾斜角对边与邻边比值刻画了梯子倾斜限度，因而，在图1—3中，梯子越陡，tanA值越大；反过来，tanA值越大，梯子越陡.[师]正切在寻常生活中应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经惯用来描述山坡坡度、堤坝坡度.如图，有一山坡在水平方向上每迈进100m，就升高60m，那么山坡坡度(即坡角α正切——tanα就是tanα=α.这里要注意区别坡度和坡角.坡面铅直高度与水平宽度比即坡角正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例题解说多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一种自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一种陡，只需分别求出tanα、tanβ值，比较大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα=.乙梯中，tanβ=.由于tanβ＞tanα，因此乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB值.分析：规定tanA，tanB值，依照勾股定理先求出直角边AC长度.解：在△ABC中，∠C＝90°，因此AC==16(cm),tanA=tanB=因此tanA=，tanB=.Ⅳ，随堂练习1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能依照图中所给数据求出tanC吗?分析：规定tanC.需从图中找到∠C所在直角三角形，由于BD⊥AC，因此∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C对边与邻边比，即值.解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，∴CD＝AC＝×3＝1.5.在Rt△BDC中，tanC＝=＝1.2.如图，某人从山脚下点A走了200m后到达山顶点B，已知点B到山脚垂直距离为55m，求山坡度.(成果精准到0.001)分析：由图可知，∠A是坡角，∠A正切即tanA为山坡度.解：依照题意：在Rt△ABC中，AB=200m，BC＝55m，AC==192.30(m).TanA=因此山坡度为0.286.Ⅴ.学时小结本节课从梯子倾斜限度谈起，经历了摸索直角三角形中边角关系，得出了在直角三角形中锐角拟定之后，它对边与邻边之比也随之拟定，并以此为基本，在“Rt△”中定义了tanA＝.接着，咱们研究了梯子倾斜限度，工程中问题坡度与正切关系，理解了正切在现实生活中是一种具备实际意义一种很重要概念.Ⅵ.课后作业1.习题1.1第1、2题.2.观测学校及附近商场楼梯，哪个更陡.Ⅶ.活动与探究(江苏盐城)如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡横截面图，斜坡AB长为12m，它坡角为45°，为了提高该堤防洪能力，现将背水坡改导致坡比为1：1.5斜坡AD，求DB长.(成果保存根号)[过程]规定DB长，需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.依照题意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12m，则可依照勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[成果]依照题意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，因此△ABC为等腰直角三角形.设BC=AC＝xm，则x2+x2＝122，x=6，因此BC＝AC=6.在Rt△ADC中，tanD=,即CD=9.因此DB＝CD-BC＝9-6=3(m).板书设计§1.1.1从梯子倾斜限度谈起(一)1.当直角三角形中锐角拟定之后，它对边与邻边之比也随之拟定.2.正切定义：在Rt△ABC中，锐角A拟定，那么∠A对边与邻边比随之拟定，这个比叫做∠A正切，记作tanA，即tanA＝.注：(1)tanA值越大.梯子越陡.(2)坡度普通表达斜坡倾斜限度，是坡角正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题解说(略)4.随堂练习5.学时小结备课资料[例1](浙江沼兴)若某人沿坡度i＝3：4斜坡迈进10米，则她所在位置比本来位置升高________米.分析：依照题意(如图)：在Rt△ABC中AC：BC＝3：4，AB＝10米.设AC＝3x，BC＝4x，依照勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因而某人沿斜坡迈进10米后，所在位置比本来位置升高6米.解：应填“6m”.[例2](内蒙古赤峰)菱形两条对角线分别是16和12.较长一条对角线与菱形一边夹角为θ，则tanθ＝______.分析：如图，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO=AC=6，BO=BD=8.tanθ=.解：应填“”.第二学时课题§1.1.2从梯子倾斜限度谈起(二)教学目的(一)教学知识点1.经历摸索直角三角形中边角关系过程，理解正弦和余弦意义.2.可以运用sinA、cosA表达直角三角形两边比.3.能依照直角三角形中边角关系，进行简朴计算.4.理解锐角三角函数意义.(二)能力训练规定1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己观点.2.体会数形结合思想，并运用它分析、解决问题，提高解决问题能力.(三)情感与价值观规定1.积极参加数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合伙交流意识以及独立思考习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦意义，并能举例阐明.2.能用sinA、cosA表达直角三角形两边比.3.能依照直角三角形边角关系，进行简朴计算.教学难点用函数观点理解正弦、余弦和正切.教学办法摸索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]咱们在上一节课曾讨论过用倾斜角对边与邻边之比来刻画梯子倾斜限度，并且得出了当倾斜角拟定期，其对边与斜边之比随之拟定.也就是说这一比值只与倾斜角关于，与直角三角形大小无关.并在此基本上用直角三角形中锐角对边与邻边之比定义了正切.当前咱们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中锐角拟定之后，其她边之间比也拟定吗?[问题2]梯子倾斜限度与这些比关于吗?如果有，是如何关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2)有什么关系?呢?(3)如果变化A2在梯子A1B上位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果变化梯子A1B倾斜角大小呢?你由此又可得出什么结论?请同窗们讨论后回答.[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.(相似三角形相应边成比例).由于A2是梯子A1B上任意—点，因此，如果变化A2在梯子A1B上位置，上述结论仍成立.由此咱们可得出结论：只要梯子倾斜角拟定，倾斜角对边.与斜边比值，倾斜角邻边与斜边比值随之拟定.也就是说，这一比值只与倾斜角关于，而与直角三角形大小无关.[生]如果变化梯子A1B倾斜角大小，如虚线位置，倾斜角对边与斜边比值，邻边与斜边比值随之变化.[师]咱们会发现这是一种变化过程.对边与斜边比值、邻边与斜边比值都随着倾斜角变化而变化，同步，如果给定一种倾斜角值，它对边与斜边比值，邻边与斜边比值是唯一拟定.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]较好!上面咱们有了和定义正切相似基本，接着咱们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt△ABC中，如果锐角A拟定，那么∠A对边与斜边比、邻边与斜边比也随之拟定.如图，∠A对边与邻边比叫做∠A正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝∠A邻边与斜边比叫做∠A余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=锐角A正弦、余弦和正切都是∠A三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A三角函数”呢?[生]咱们在前面已讨论过，当直角三角形中锐角A拟定期.∠A对边与斜边比值，∠A邻边与斜边比值，∠A对边与邻边比值也都唯一拟定.在“∠A三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范畴是0°cosA1，因此梯子倾斜限度与cosA也关于系.cosA值越小，梯子越陡.[师]同窗们分析得很棒，可以结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子倾斜限度，但实际中普通使用正切.3.例题解说多媒体演示.[例1]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC长.分析：sinA不是“sin”与“A”乘积，sinA表达∠A所在直角三角形它对边与斜边比值，已知sinA＝0.6，＝0.6.解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.sinA＝0.6，即=0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.思考：(1)cosA＝?(2)sinC＝？cosC＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：依照勾股定理，得AB＝=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.cosA＝＝0.8，sinC==0.8，cosC＝＝0.6，由上面计算可知sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.由于∠A+∠C＝90°，因此，结论为“一种锐角正弦等于它余角余弦”“一种锐角余弦等于它余角正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1结论吗?请用普通式表达.分析：这是正弦、余弦定义进一步应用，同步进一步渗入sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝,∴AB=,sinB＝依照勾股定理，得BC2＝AB2-AC2＝()2-102=∴BC＝.∴cosB＝,sinA＝可以得出同例1同样结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.分析：规定sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在直角三角形.依照等腰三角形“三线合一”性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足.解：过A作AD⊥BC，D为垂足.∴AB=AC，∴BD=DC=BC=3.在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，∴AD＝4.sinB＝cosB＝,tanB=.2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC周长和面积.解：sinA=，∵sinA=，BC＝20，∴AB＝＝＝25.在Rt△BC中，AC＝=15，∴ABC周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC面积：AC×BC=×15×20＝150.3.(陕西)(补充练习)在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，则sinA=.解：如图，tanA==.设BC=x，AC=2x，依照勾股定理，得AB=.∴sinA=.Ⅳ.学时小结本节课咱们类比正切得出了正弦和余弦概念，用函数观念结识了三种三角函数，即在锐角A三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范畴是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A拟定期，三个比值分别唯一拟定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一拟定值与之相应.类比前一节课内容，咱们又进一步思考了正弦和余弦值与梯子倾斜限度之间关系以及用正弦和余弦定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数定义证明)[过程]依照正弦和余弦定义，在不同直角三角形中，只要角度相似，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一种直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.因此图中具有三个直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦定义得cosB＝，cosB=.[成果]在Rt△ABC中，cosB＝又∵CD⊥AB.∴在Rt△CDB中，cosB＝∴=BC2＝AB·BD.板书设计§1.1.2从梯子倾斜限度谈起(二)1.正弦、余弦定义在Kt△ABC中，如果锐角A拟定.sinA＝cosA＝2.梯子倾斜限度与sinA和cosA关于吗?sinA值越大，梯子越陡cosA值越小，梯子越陡3.例题解说4.随堂练习§1.230°、45°、60°角三角函数值学时安排1学时从容说课本节在前两节简介了正切、正弦、余弦定义基本上，经历摸索30°、45°、60°角三角函数值过程，进一步体会三角函数意义，并可以进行具有30°、45°、60°角三角函数值计算.因而本节重点是运用三角函数定义求30°、45°、60°这些特殊角特殊三角函数值，并可以进行具有30°、45°、60°角三角函数值计算.难点是运用已有数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角三角函数值.三角尺是学生非常熟悉学习用品，教学中，教师应大胆地勉励学生用所学数学知识如“直角三角形中，30°角所对边等于斜边一半”特性，经历摸索30°、45°、60°角三角函数值过程，发展学生推理能力和计算能力.第三学时课题§1.230°，45°，60°角三角函数值教学目的(一)教学知识点1.经历摸索30°、45°、60°角三角函数值过程，可以进行关于推理.进一步体会三角函数意义.2.可以进行30°、45°、60°角三角函数值计算.3.可以依照30°、45°、60°三角函数值阐明相应锐角大小.(二)思维训练规定1.经历摸索30°、45°、60°角三角函数值过程，发展学生观测、分析、发现能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题能力.(三)情感与价值观规定1.积极参加数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题习惯.2.在数学活动中获得成功体验，锻炼克服困难意志，建立自信心.教具重点1.摸索30°、45°、60°角三角函数值.2.可以进行含30°、45°、60°角三角函数值计算.3.比较锐角三角函数值大小.教学难点进一步体会三角函数意义.教学办法自主摸索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角三角尺；②皮尺.请你设计一种测量
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
，能测出一棵大树高度.(用多媒体演示上面问题，并让学生交流各自想法)[生]咱们组设计方案如下：让一位同窗拿着三角尺站在一种恰当位置B处，使这位同窗拿起三角尺，她视线正好和斜边重叠且过树梢C点，30°邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB长度，BE长度，由于DE=AB，因此只需在Rt△CDA中求出CD长度即可.[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?[生]含30°角直角三角形有一种非常重要性质：30°角所对边等于斜边一半，即AC＝2CD，依照勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD＝a.则树高度即可求出.[师]咱们前面学习了三角函数定义，如果一种角大小拟定，那么它正切、正弦、余弦值也随之拟定，如果能求出30°正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简朴.你能求出30°角三个三角函数值吗?Ⅱ.讲授新课1.摸索30°、45°、60°角三角函数值.[师]观测一副三角尺，其中有几种锐角?它们分别等于多少度?[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.[师]sin30°等于多少呢?你是如何得到?与同伴交流.[生]sin30°＝.sin30°表达在直角三角形中，30°角对边与斜边比值，与直角三角形大小无关.咱们不妨设30°角所对边为a(如图所示)，依照“直角三角形中30°角所对边等于斜边一半”性质，则斜边等于2a.依照勾股定理，可知30°角邻边为a，因此sin30°＝.[师]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝.tan30°=[师]咱们求出了30°角三个三角函数值，尚有两个特殊角——45°、60°，它们三角函数值分别是多少?你是如何得到?[生]求60°三角函数值可以运用求30°角三角函数值三角形.由于30°角对边和邻边分别是60°角邻边和对边.运用上图，很容易求得sin60°=,cos60°=,tan60°＝.[生]也可以运用上节课咱们得出结论：一锐角正弦等于它余角余弦，一锐角余弦等于它余角正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.[师生共析]咱们一同来求45°角三角函数值.含45°角直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边a.由此可求得sin45°=,cos45°＝,tan45°=[师]下面请同窗们完毕下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角三角函数值三角函数角sinαcoαtanα30°45°160°这个表格中30°、45°、60°角三角函数值需熟记，另一方面，要可以依照30°、45°、60°角三角函数值，说出相应锐角大小.为了协助人们记忆，咱们观测表格中函数值特点.先看第一列30°、45°、60°角正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度增大，正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角余弦值，它们分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角正切值，一方面45°角是等腰直角三角形中一种锐角，因此tan45°=1比较特殊.[师]较好，掌握了上述规律，记忆就以便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角三角函数值记忆状况.相信同窗们一定做得很棒.2.例题解说(多媒体演示)[例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°-tan45°.分析：本题旨在协助学生巩固特殊角三角函数值，此后若无特别阐明，用特殊角三角函数值进行计算时，普通不取近似值，此外sin260°表达(sin60°)2，cos260°表达(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=,(2)sin260°+cos260°-tan45°=()2+()2-1=+-1＝0.[例2]一种小孩荡秋千，秋千链子长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角正好为60°，且两边摆动角度相似，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时高度之差.(成果精准到0.01m)分析：引导学生自己依照题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题能力.解：依照题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5m，∠AOD＝×60°＝30°，∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m).∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).因此，最高位置与最低位置高度约为0.34m.Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；(3)sin45°+sin60°-2cos45°.解：(1)原式＝-1=；(2)原式=+=(3)原式=×+×；=2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯长度是多少?解：扶梯长度为=14(m)，因此扶梯长度为14m.Ⅳ.学时小结本节课总结如下：(1)摸索30°、45°、60°角三角函数值.sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°=，tan45°＝1，tan60°=.(2)能进行含30°、45°、60°角三角函数值计算.(3)能依照30°、45°、60°角三角函数值，说出相应锐角大小.Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题Ⅵ.活动与探究(甘肃)如图为住宅区内两幢楼，它们高AB＝CD=30m，两楼问距离AC=24m，现需理解甲楼对乙楼采光影响状况.当太阳光与水平线夹角为30°时，求甲楼影子在乙楼上有多高?(精准到0.1m，≈1.41，≈1.73)[过程]依照题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼同样高，因此DF=BE.[成果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.∵DF＝BE，∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).甲楼影子在乙楼上高CD=30-13.84≈16.2(m).板书设计§1.230°、45°、60°角三角函数值一、摸索30°、45°、60°三角函数值1.预备知识：含30°直角三角形中，30°角对边等于斜边一半.含45°直角三角形是等腰直角三角形.2.30°，45°，60°角三角函数值列表如下：三角函数角角αsinαcoαtanα30°45°160°二、含30°、45°、60°角三角函数值计算.三、实际应用备课资料参照练习1.(北京石景山)计算：.答案：3-2.(北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-答案：-3.(广东梅州)计算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.答案：4.(年广西)计算：sin60°+答案：-5.(内蒙古赤峰)计算；2-3-(+π)0-cos60°-.答案：-第五学时课题§1.3.2三角函数关于计算(二)教学目的(一)教学知识点1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角过程，进一步体会三角函数意义.2.可以运用计算器进行关于三角函数值计算.3.可以运用计算器辅助解决含三角函数值计算实际问题.(二)能力训练规定1.借助计算器，解决含三角函数实际问题，提高用当代工具解决实际问题能力.2.发现实际问题中边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力.(三)情感与价值观规定1.积极参加数学活动，体会解决问题后高兴.2.形成实事求是严谨学习态度.教学重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.可以用计算器辅助解决含三角函数值计算实际问题.教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算实际问题.教具办法探究——引导——发现.教学准备计算器多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]随着人民生活水平提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m高天桥，为了以便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长斜道.(如图所示，用多媒体演示)这条斜道倾斜角是多少?[生]在Rt△ABC中，BC=10m，AC＝40m，sinA＝.可是我求不出∠A.[师]咱们懂得，给定一种锐角度数，这个锐角三角函数值都唯一拟定.给定一种锐角三角函数值，这个锐角大小也唯一拟定吗?为什么?[生]咱们曾学习过两个直角三角形鉴定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，依照HL定理可知这样直角三角形形状和大小是唯一拟定，固然∠A大小也是唯一拟定.[师]这位同窗能将先后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简朴.咱们懂得了sinA=时，锐角A是唯一拟定.当前我要告诉人们是要解决这个问题，咱们可以借助于科学计算器来完毕.这节课，咱们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角大小.Ⅱ.讲授新课1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角大小.[师]已知三角函数求角度，要用到、键第二功能、、”和键.键第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和键例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，已知cosA＝0.8607，求锐角A；已知tanA：0.1890，求锐角A；已知tanA＝56.78，求锐角A.按键顺序如下表.(多媒体演示)按键顺序显示成果sinA=0.9816sin-10.9816=78.99184039cosA=0.8607ocos-10.8607=30.60473007tanA=0.1890tan-10.1890=10.70265749tinA=0.56.78tan-156.78=88.99102049上表显示成果是以“度”为单位.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位成果.(教学时，给学生以充分交流时间和空间，教师要引导学生依照自己使用计算器，摸索详细操作环节)[师]你能求出上图中∠A大小吗?[生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示成果为14.47751219°，再按键可显示14°28′39″.因此∠A=14°28′39″.[师]较好.咱们后来在用计算器求角度时如果无特别阐明，成果精准到1″即可.你还能完毕下列已知三角函数值求角度题吗?(多媒体演示)1.依照下列条件求锐角θ大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；(5)sinθ＝；(6)cosθ＝；(7)tanθ=22.3；(H)tanθ=；(9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.2.某段公路每迈进100米，路面就升高4米，求这段公路坡角.(请同窗们完毕后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难学生予以及时指引)[生)1.解：(1)θ＝71°30′2″；(2)θ＝23°18′35″；(3)θ＝38°16′46″；(4)θ＝41°53′54″；(5)θ＝60°；(6)θ=30°；(7)θ=87°25′56″；(8)θ＝60°；(9)θ＝36°52′12″；(10)θ＝78°27′47″.2.解：设坡角为α，依照题意，sinα＝=0.04，α＝2°17′33″.因此这段公路坡角为2°17′33″.2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算实际问题.多媒体演示[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它上口宽加20mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)大小.(成果精准到1°)分析：依照题意，可知AB＝20mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2mm，规定∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.解：tanACD=≈0.5208，∴∠ACD＝27.5°，∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.[例2]如图，一名患者体内某重要器官背面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必要从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cmA处，射线从肿瘤右侧9.8cmB处进入身体，求射线入射角度，解：如图，在Rt△ABC中，AC＝6.3cm，BC=9.8cm，∴tanB=≈0.6429.∴∠B≈32°44′13″.因而，射线入射角度约为32°44′13″.注：这两例都是实际应用问题，的确需要懂得角度，并且角度又不易测量，这时咱们根据直角三角形边关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.3.解直角三角形[师]咱们讨论锐角三角形函数，都是将锐角放到直角三角形中讨论，又一次揭示了直角三角形中边角关系.你懂得在直角三角形中，除直角外，有几种元素构成?[生]5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边.[师]依照咱们所学知识，你懂得这些边、角有什么样关系吗?请同窗们有条理地思考并回答.[生]在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c.(1)边关系：a2+b2=c2(勾股定理)；(2)角关系：∠A+∠B=90°；(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB＝，cosB＝，tanB=.[师]由前面两个例题以及上节内容咱们町以发现，诸多实际问题中数量关系都可归结为直角三角形中元素之间关系，使实际问题都得到解决.Ⅲ.随堂练习1.已知sinθ＝0.82904.求∠θ大小.解：∠θ≈56°1″2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m，梯子位于地面上一端离墙壁2.5m，求梯子与地面所成锐角.解：如图.cosα＝＝0.625，α≈51°19′4″.因此梯子.与地面所成锐角约51°19′4″.Ⅳ.学时小结本节课咱们学习了用计算器由三角函数值求相应锐角过程，进一步体会三角函数意义.并且用计算器辅助解决具有三角函数值计算实际问题.Ⅴ.课后作业习题1.5第1、2、3题Ⅵ.活动与探究如图，美国侦察机B飞抵国内近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达正东方向，且在同一高度时，它们仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机距离是多少千米?(精准到0.01千米)[过程]当从低处观测高处目的时.视线与水平线所成锐角称为仰角.两机距离即AB长度.依照题意，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD.E、F为垂足，因此AB＝EF，而求EF需分别在Rt△AEC和Rt△BFC中求了CE、CF，则EF＝CF-CE.[成果]作AE⊥CD，BF⊥CD，E、F为垂足，∴cos16°＝，∴CE＝80×cos16°≈80×0.96＝76.80(千米).∴cos15°=，∴CF＝81×cos15°≈81×0.97＝78.57(千米).依题意AB=EF=CF-CE=79.57-76.80=1.77(千米).因此此时两机距离为1.77千米.板书设计§3.3.2三角函数关于计算(二)1.提出问题：如何由已知三角函数值，求相应锐角.例如：sinA=，那么∠A是多少度呢?2.纯熟掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝.cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝.3.需要懂得角，而角又不易测量实际问题.例1(V形槽)例2(放射性治疗肿瘤)§1.4船有触礁危险吗学时安排1学时从容说课本节在前两节基本上进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题过程，提高应用数学知识解决实际问题能力.因而本节选用了现实生活中几种题材：船右触礁危险吗，小明测塔高度，变化商场楼梯安全性能等，使学生真正体会到三角函数在解决实际问题中必不可少重要地位.提高了学生学习数学兴趣.因而，本节重点是让学生亲历摸索船与否有触礁危险过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中作用，可以将实际问题转化为数学问题，可以借助计算器进行三角函数计算，并能进一步对成果意义进行阐明，发展数学应用意识和解决问题能力.教学时，教师可让学生在审清题意基本上，自己画出示意图，将实际问题转化为数学问题，这是本节课重点也是难点.同步，让学生对“三角学”发展史有所理解.第六学时课题§1.4船有触礁危险吗教学目的(一)教学知识点1.经历摸索船与否有触礁危险过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中应用.2.可以把实际问题转化为数学问题，可以借助于计算器进行关于三角函数计算，并能对成果意义进行阐明.(二)能力训练规定发展学生数学应用意识和解决问题能力.(三)情感与价值观规定1.在经历弄清实际问题题意过程中，画出示意图，培养独立思考问题习惯和克服困难勇气.2.选取生活中学生感兴趣题材，使学生能积极参加数学活动，提高学习数学、学好数学欲望.教具重点1.经历摸索船与否有触礁危险过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题能力.教学难点依照题意，理解关于术语，精确地画出示意图.教学办法摸索——发现法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]直角三角形就像一种万花筒，为咱们呈现出了一种色彩斑澜世界.咱们在欣赏了它神秘“勾股”、懂得了它边关系后，接着又为咱们呈现了在它世界中边角关系，它使咱们现实生活中不也许实现问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆高度、树高度、塔高等.下面咱们就来看一种问题(多媒体演示).海中有一种小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°B处，往东行驶20海里后，到达该岛南偏西25°C处，之后，货轮继续往东航行，你以为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗?你是如何想?与同伴进行交流.下面就请同窗们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁危险吗)Ⅱ.讲授新课[师]咱们注意到题中有诸多方位，在平面图形中，方位是如何规定?[生]应当是“上北下南，左西右东”.[师]请同窗们依照题旨在练习本上画出示意图，然后阐明你是如何画出来.[生]一方面咱们可将小岛A拟定，货轮B在小岛A南偏西55°B处，C在B正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.[师]货轮要向正东方向继续行驶，有无触礁危险，由谁来决定?[生]依照题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行方向如果到A最短距离不不大于10海里，则无触礁危险，如果不大于10海里则有触礁危险.A到BC所在直线最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD长度.咱们需依照题意，计算出AD长度，然后与10海里比较.[师]这位同窗分析得较好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面咱们就来看AD如何求.依照题意，有哪些已知条件呢?[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一种三角形中求出AD呢?[生]在Rt△ACD中，只懂得∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt△ABD中，懂得∠BAD=55°，虽然懂得BC＝20海里，但它不是Rt△ABD边，也不能求出AD.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一种更高角度考虑?[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们公共直角边.并且BC是这两个直角三角形BD与CD差，即BC＝BD-CD.BD、CD对角是已知，BD、CD和边AD均有联系.[师]有何联系呢?[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.[生]运用BC＝BD-CD就可以列出关于AD一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了咱们忙.其实，在解决数学问题时，诸多地方都可以用到方程，因而方程思想是咱们初中数学中最重要数学思想之一.下面咱们一起完整地将这个题做完.[师生共析]解：过A作BC垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).这样AD≈20.79海里>10海里，因此货轮没有触礁危险.[师]接下来，咱们再来研究一种问题.还记得本章开头小明要测塔高度吗?当前咱们来看她是如何测，并依照她得到数据帮她求出塔高度.多媒体演示想一想你会更聪颖：如图，小明想测量塔CD高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔方向迈进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明身高忽视不计，成果精准到1m)[师]我想请一位同窗告诉我什么是仰角?在这个图中，30°仰角、60°仰角分别指哪两个角?[生]当从低处观测高处目的时，视线与水平线所成锐角称为仰角.30°仰角指∠DAC，60°仰角指∠DBC.[师]较好!请同窗们独立思考解决这个问题思路，然后回答.(教师留给学生充分思考时间，感觉有困难学生可给以指引)[生]一方面，咱们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC公共边，在Rt△ADC中，tan30°=，即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50m，得-=50.解得CD≈43(m)，即塔CD高度约为43m.[生]我有一种问题，小明在测角时，小明自身有一种高度，因而在测量CD高度时应考虑小明身高.[师]这位同窗能依照实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.确应当考虑小明身高，更精确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面距离.如果设小明测量时，眼睛离地面距离为1.6m，其她数据不变，此时塔高度为多少?你能画出示意图吗?[生]示意图如右图所示，由前面解答过程可知CC′≈43m，则CD＝43+1.6＝44.6m.即考虑小明高度，塔高度为44.6m.[师]同窗们体现太棒了.当前我手里有一种楼梯改造工程问题，想请同窗们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改进本来楼梯安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调节后楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(成果精准到0.0lm)请同窗们依照题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完毕，然后互相交流，讨论各自想法)[生]在这个问题中，要注意调节先后梯楼高度是一种不变量.依照题意可画㈩示意图(如右图).其中AB表达楼梯高度.AC是原楼梯长，BC是原楼梯占地长度；AD是调节后楼梯长度，DB是调节后楼梯占地长度.∠ACB是原楼梯倾角，∠ADB是调节后楼梯倾角.转化为数学问题即为：如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC长度.[师]这位同窗把这个实际楼梯调节问题转化成了数学问题.人们从示意图中不难看出这个问题是前面问题变式.我相信同窗们一定能用计算器辅助不久地解决它，开始吧![生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地长BC＝4cos40°m.调节后,在Rt△ADB中，sin35°＝，则AD＝m.楼梯占地长DB=m.∴调节后楼梯加长AD-AC＝-4≈0.48(m)，楼梯比本来多占DC＝DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).Ⅲ.随堂练习1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED长度为多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=，BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).依照勾股定理，得DE=≈7.96(m).因此钢缆ED长度为7.96m.2.如图，水库大坝截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC大小：(2)如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(成果精准到0.01m3)解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6m.在Rt△FDC中，DC＝8m.DF＝FC＝CD.sin45°=4(m).∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在Rt△AEB中，AE＝DF=4(m).tanABC＝≈0.308.∴∠ABC≈17°8′21″.(2)梯形ABCD面积S＝(AD+BC)×AE=(6+30)×4=72(m2).坝长为100m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72≈10182.34(m3).综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34m3土石料.Ⅳ.学时小结本节课咱们运用三角函数解决了与直角三角形关于实际问题，提高了咱们分析和解决实际问题能力.其实，咱们这一章所学内容属于“三角学”范畴.请同窗们阅读“读一读”，理解“三角学”发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.Ⅴ.课后作业习题1.6第1、2、3题.Ⅵ.活动与探究(贵州贵阳)如图，某货船以20海里／时速度将一批重要物资由A处运往正西方向B处，经16小时航行到达，到达后必要及时卸货.此时.接到气象部门告知，一台风中心正以40海里／时速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里圆形区域(涉及边界)均受到影响.(1)问：B处与否会受到台风影响?请阐明理由.(2)为避免受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货品?(供选用数据：≈1.4，≈1.7)[过程]这是一道需借助三角知识解决应用问题，需抓住问题本质特性.在转化、抽象成数学问题上下功夫.[成果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=160.AE=AD-DE=160-120，∴=3.8(小时).因而，陔船应在3.8小时内卸完货品.板书设计§1.4船有触礁危险吗一、船布触礁危险吗1.依照题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题.2.用三角函数和方程思想解决关于直角三角形问题.3.解释最后成果.二、测量塔高三、改造楼梯§2．1花边有多宽学时安排2学时从容说课方程是刻画现实世界一种有效数学模型，随着数学应用日趋
浙公网安备 33021202002483