空间向量基本定理环节二空间向量基本定理的应用复习回顾你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？问题1 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．复习回顾空间向量基本定理我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．追问什么是单位正交基底？什么叫做正交分解？答案：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．复习回顾例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量表示．因为不共面，这是空间向量基本定理保证的．可以构成空间的一个基底，OABCMNP用基向量表示指定空间向量答案一定能．追问1是否一定能用表示呢？唯一表示空间中的任意向量．问题1OABCMNP用基向量表示指定空间向量例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量表示．追问2如何寻求这种表示？答案可以利用向量线性运算的运算法则，如三角形法则、平行四边形法则等．解：OABCMNPQ用基向量表示指定空间向量．用基向量表示指定空间向量通过例1的解题过程，同学们能否
总结
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出用基向量表示空间向量的方法呢？问题2一般来讲，用基向量表示特定的空间向量，我们要结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，从而将未知化归为已知．用基向量表示空间向量的方法用基向量表示指定空间向量综合几何方法：向量方法？证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等．例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454立体几何中的向量方法追问1证明异面直线垂直，你能想到哪些方法？答案ABCDA1B1C1D1MN454立体几何中的向量方法例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．可以转化为向量问题．追问2如何使用向量方法解决立体几何问题？答案ABCDA1B1C1D1MN454立体几何中的向量方法例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．追问2如何使用向量方法解决立体几何问题？可以转化为向量问题.答案“求证”“求证”“求证”．例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1．追问3如何计算？行不通ABCDA1B1C1D1MN454立体几何中的向量方法想法1：数量积定义．想法2：适当选取基底，将问题转化为基向量的运算．证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以，所以．．4ABCDA1B1C1D1MN45立体几何中的向量方法．通过例2的解题过程，同学们能否总结出用向量方法解决立体几何问题的方法呢？问题3立体几何中的向量方法选取基底(不共面且已知长度夹角)用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为基向量的运算向量问题的解证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以，所以．立体几何中的向量方法．转化向量运算转化立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底②用基向量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立体几何问题的解向量方法理论基础：空间向量基本定理立体几何中的向量方法例3如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．（1）求证：EF∥AC．单位：基向量长度为1．正交：基向量两两垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意两不同基向量数量积为0．单位正交基底的应用追问1“单位正方体”这个条件对解题有什么作用？可以取单位正交基底．答案追问2如何用向量方法证明EF//AC？只需证存在实数λ，使得．ABCDA'B'C'D'EFG单位正交基底的应用例3如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．（1）求证：EF∥AC．只需证，答案证明：设则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以所以，所以，所以．ABCDA'B'C'D'EFGijk单位正交基底的应用．ABCDA'B'C'D'EFGijk单位正交基底的应用例3如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．（1）求证：EF∥AC;（2）求CE与AG所成角的余弦值．追问3如何用向量表示CE与AG所成角的余弦值？求与所成角的余弦值．答案解：因为所以单位正交基底的应用ABCDA'B'C'D'EFGijk所以CE与AG所成角的余弦值为选取单位正交基底有利于运算．1000．单位正交基底的应用例3如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．（1）求证：EF∥AC;（2）求CE与AG所成角的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFG追问4是否可以用与所成角的余弦值作为第2问的解？不可以．因为与所成角是与所成角的补角，它们的余弦值互为相反数.答案本节课应用了哪些知识、方法和数学思想？问题4小结反思应用一个定理：空间向量基本定理学习一种方法：向量方法（基底法）体会一种思想：转化与化归思想小结反思谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！
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