25、2020同步人A数学必修第一册新教材课件：第3章 章末复习课

第三章　函数的概念与性质章末复习课**【例1】　(1)求函数y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9)的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．求函数的定义域*[解]　(1)解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)a)))).*1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．*1．函数f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))　　B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D　[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq\f(1,3)，故选D.]*【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则f(x)的解析式为______．(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，则f(x)的解析式为________．求函数的解析式*(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq\r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝eq\r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq\r(－x)－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))*(2)令t＝eq\f(1＋x,x)＝eq\f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq\f(1,t－1)代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，得f(t)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))2)＋eq\f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]*求函数解析式的题型与相应的解法1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.3含fx与f－x或fx与eqf\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程组法.4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.*2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．*(1)eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)　[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).](2)[解]　因为f(x)的对称轴为x＝－1，所以－eq\f(b,2a)＝－1即b＝2a，又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，*由条件③知：a>0，且eq\f(4ac－b2,4a)＝0，即b2＝4ac，由上可求得a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,4)，所以f(x)＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4).*【例3】　已知函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．[思路点拨]　(1)用f(0)＝0及feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)求a，b的值；(2)用单调性的定义求解．函数的性质及应用*[解]　(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))故f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)任取－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋xeq\o\al(2,1)>0,1＋xeq\o\al(2,2)>0.又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．*1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.[解]　由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，∴0<t<eq\f(1,2)，∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<t<\f(1,2))))).*2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．[解]　由题意可知，f(－x)＝f(x)，即eq\f(－ax＋b,1＋x2)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)，∴a＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，∴b＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2＋2x2).*巧用奇偶性及单调性解不等式1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1<fx2或fx1>fx2的形式.2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.*【例4】　某通信公司为了配合客户的不同需要，现 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 A，B两种优惠 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)函数的应用*(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？[思路点拨]　两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．*[解]　由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x>60，))fB(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．*(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq\f(3,10)(n＋1)＋18－eq\f(3,10)n－18＝0.3，(n>500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)<fB(x)．当x>500时，fA(x)>fB(x)．当60<x≤500时，168＝eq\f(3,10)x＋80，解得x＝eq\f(880,3).当60<x<eq\f(880,3)时，fB(x)>fA(x)；当eq\f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．即当通话时间在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．*1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．*3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：*①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？*[解]　设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销售图易得：Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2P＋50，14≤P≤20，,－\f(3,2)P＋40，20<P≤26，))代入①式得L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2P＋50·P－14×100－5600，14≤P≤20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)P＋40))·P－14×100－5600，20<P≤26.))*(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，当20<P≤26时，Lmax≈417元．故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0.解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．****************************