2019-2020学年天津市和平区高二下学期期中数学试题及答案

绝密★启用前2019-2020学年天津市和平区高二下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知空间向量，1，，，，，且，则实数（）A．B．C．D．6答案：A根据平行向量满足求解即可.解：因为,故,故,即.故选：A点评：本题主要考查了空间中平行向量求参数的问题.属于基础题.2．如图，在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．答案：B根据空间向量的运算，用为基底表示出.解：依题意可知是平行四边形对角线的交点，所以.故选:B点评：本小题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题.3．在下列条件中，使与，，一定共面的是（）A．B．C．D．答案：C根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：与，，一定共面的充要条件是，对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C点评：本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.4．函数的最大值是()A．1B．C．0D．答案：A求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.解：，令解得在上单增，在单减故选：A点评：解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．5．下列函数求导数，正确的个数是（）①；②③；④.A．0B．1C．2D．3答案：A利用导数运算对①②③④进行判断，由此确定正确的个数.解：①，故①错误.②，故②错误.③，故③错误.④，故④错误.所以正确的个数为个.故选：A点评：本小题主要考查复合函数求导，属于基础题.6．在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（）A．15种B．18种C．31种D．45种答案：C采用间接法求解.从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，故可计算出结果.解：从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，所以这7名教师不同的安排方法有种.故选：C点评：本题主要考查组合的应用，当正面情况较多时，可考虑间接法从反面入手解决，考查了学生的逻辑推理能力.7．某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，物理不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）A．240B．384C．480D．504答案：D由题意，本题可以看作是6个不同元素填6个空的问题，条件限制是生物不在第一个空，物理不在第四个空，可以分别求出无条件限制的排列数，生物在第一个空的排列数，物理在第四个空的排列数，以及同时满足生物在第一节物理在第四节的排列数，即可求出满足条件限制的排法.解：解：6节课任意排，有种排法，其中生物课在第一节的有种排法，物理在第四节的有种排法，而生物在第一节且物理在第四节的有种排法，故满足条件的排法总数为种.故选：D.点评：本题考查了排列的思想，考查了排列数的计算.本题的易错点是忽略最后应该加同时满足生物在第一节物理在第四节的排列数.8．已知定义在上的函数的图象（如图所示）与轴分别交于原点、点和点，若和3是函数的两个零点，则不等式的解集（）A．，，B．，，C．，，D．，，答案：B根据的图像可得在上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合的零点画出的简图，进而求得不等式的解集.解：由图，当时，故，为减函数；当时，故，为增函数；当时，故，为减函数；由图，当时，故，为增函数；又和3是函数的两个零点，画出的简图如下：故不等式的解集为.故选：B点评：本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.二、填空题9．已知曲线在点，处的切线为，则__.答案：1；先求出函数的导数，然后令导数等于切线的斜率1，求出切点的横坐标，可得切点，进而可得.解：由已知得，因为切线为，所以，故，所以切点为，将代入得，故答案为：1.点评：本题考查导数的几何意义，利用“切点处的导数等于切线的斜率”列方程是本题的关键，属于基础题.10．的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．答案：10，，所以系数为10．11．已知函数，为的导函数，则__.答案：；求导后代入计算即可.解：由题,,故.故答案为：点评：本题主要考查了求导法则的运算以及导数值的求解.属于基础题.12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__.答案：[﹣1，+∞）；把函数在区间上单调递增转化为在区间上恒成立，分离参数，根据函数单调性，即可求出结果．解：因为函数在区间上单调递增，所以在区间恒成立，即在区间恒成立；所以.故答案为：.点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，分离参数法，是中档题．三、解答题13．已知，的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求的值；（2）求的展开式中的有理项；（3）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项.答案：（1）；（2），，；（3）系数最大的项为第五项；系数最小的项为第4项（1）根据的展开式的各二项式系数的和等于求解.（2）先得到的展开式中的通项公式，再令为整数求解.（3）由通项公式知：第项的系数为，若该系数最大，则为偶数，且最大求解.若该系数最小，则为奇数，且最大求解.解：（1）已知，的展开式的各二项式系数的和等于，.（2）的展开式中的通项公式为，令为整数，可得，3，6，故展开式的有理项为，，.（3）第项的系数为，当该系数最大时，为偶数，且最大，此时，，故的展开式中系数最大的项为第五项；当该系数最小时，为奇数，且最大，此时，，故的展开式中系数最小的项为第4项.点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．如图，在长方体中，，，点，，分别是线段，，的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上有一点，若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析；（2）（1）以长方体的顶点D为原点，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和垂直可证得结果；（2）求出平面的法向量，平面的法向量，由二面角的余弦值为，求出，，利用向量法能求出点到平面的距离.解：解：（1）证明：如图，以长方体的顶点为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，分别是，，的中点，则，，，平面的一个法向量，，0，，，平面，平面.（2）解：设点，其中，，则，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，平面的一个法向量为，由二面角的余弦值为，可得，，化简得，解得或，，，，，，，点到平面的距离.点评：本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）存在；的长为1（1）的中点，连接，连接，连接，由面面垂直性质可知平面；结合余弦定理、勾股定理可知，从而以，，所在直线为,，轴建立空间直角坐标系，可求出的法向量为，由可求出，从而可求出直线与平面所成角的正弦值.（2）设线段上的点，且，通过可求出，由可得，从而可知即可求出的值，即可求出的长.解：解：（1）取的中点，连接，，，且，侧面底面，且侧面底面，平面，平面，连接，在中，由余弦定理可知，得.由可得，连接，可知，且.则以为坐标原点，分别以，，所在直线为,，轴建立空间直角坐标系.则：，，，，.所以，.设平面的法向量为，由，取，得；又，.设直线与平面所成角为，则.直线与平面所成角的正弦值为；（2）设线段上的点，且，.由，则，解得，则，，要使，则，即，得，此时.故线段的中点满足，此时的长为1.点评：本题考查了线面角的正弦值求解，考查了余弦定理，考查了面面垂直的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示.本题的第一问关键是合理建立平面直角坐标系，通过向量法求线面角.本题的易错点是误将直线的方向向量与平面法向量的夹角当做线面角.16．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的极小值为0，.①求的值；②若对于任意的，，有成立，求实数的取值范围.答案：（1）单调减区间为（2）①②（1）首先求出导函数，利用导数与函数单调性的关系即可求解.（2）①由已知可得，，求出导函数，令，利用导数与极值的关系即可求解；②设，根据题意只需成立，求出，结合①分类讨论，若，当时，，不满足，故必有，令，解得，根据与定义域的关系进行讨论：分或，利用导数求出即可求解.解：解：（1）由已知得，令，方程无实数解，可知对任意都有，所以函数的单调减区间为，无增区间.（2）由已知化简得，.①，令，解得.当变化时，，的变化情况如下表：0极小值故极小值.因为极小值为0，所以.②设，根据题意，对任意的，，有成立，可得.由①可知，当时，在处取得最小值0，又因为在上递增，所以当时，.若，则当时，，不符题意，舍去.故必有.令，解得.下面根据与定义域的关系进行讨论：当，即时，在上恒成立，因此在，上递减，从而当，时，总有，故符合题意；当，即时，可知对任意的，恒成立，因此在，内递增.因为，所以当时，，不合题意.综上，的取值范围是.点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据函数的极值求参数值、利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.PAGE试卷第2页，总2页1