§3.2.3立体几何中的向量方法一、复习引入用空间向量解决立体几何问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）向量的有关知识：3、平面的法向量：__________________1、两向量数量积的定义：a·b=______________2、两向量夹角公式：cos〈a,b〉=___________|a|·|b|·cos〈a,b〉与平面垂直的向量例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知识讲解与典例分析ABOF1B1O1A1D1解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，并设OA=1,则：A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。xyz1030点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤建系求两异面直线的方向向量求两方向向量的夹角的余弦值得两异面直线所成角的余弦值例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤建系求直线的方向向量求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值得直线与平面所成角的正弦值求平面的法向量xyzADCA1D1C1B1BFE例2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由题意知设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),所以故m=(-2,1,-2)又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤建系求两平面的法向量求两法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值a´b´•o过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的不大于90°的角，叫做异面直线a与b所成的角。异面直线所成的角（范围：）ab（1）当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角mnmn用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，mnaba´b´•on相等m互补aba´b´onm•（2）当与的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角mnnm所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，mn==nm,coscosq直线与平面所成的角（范围：）=BAOnBAOn相等==互补所以，直线与平面所成的角的正弦值为的余角与
的关系？问题1的余角与的关系？问题2二面角（范围：）n1n2n1n2例3如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.ABCD解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角.因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直线SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵直线OS与平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.OABCS三、巩固练习如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为（3）由（2）知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥平面AOS，∴是平面AOS的法向量，令则有∴二面角B－AS－O的余弦值为取x=1，则y=1，z=2；故（2）设平面SAB的法向量显然有aba´b´•onmaba´b´onm•mnnm四、课堂小结1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：lDCBA3.二面角：ll五、布置作业：课本P112、A组第6题
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