2020年江苏省泰兴中学高三数学模拟试卷

2020年江苏省泰兴中学高三数学模拟试卷必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.TOC\o"1-5"\h\z.已知集合A={x|x〉3,xwR},B={1,2,3,4},则(epA)nB=^.已知复数z=1+—a—,若复数z为纯虚数，则实数a的值为.(1-i).已知角«的终边经过点P(-2,-1),则cos(a+-)的值为^3.已知数据a,4,2,5,3的平均数为b,其中a,b是方程x2_4x+3=0的两个根，则这组数据的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差是..已知函数f(x)是以5为周期的奇函数，且f(—3)=2,则f(-2)=^.以下程序运行后结果是i：一1Whilei：二8•i2S，2i3i,i3EndWhilePrintS.如图，一个正四面体的展开图是边长为2J2的正三角形ABC,则该四面体的外接球的表面积为.TOC\o"1-5"\h\z.已知|a|=1,b=(—1,J3),|a+b|=J3,则a与b的夹角为..已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an由+2Sn=3(n为正整数)则数列{an}的通项公式为^.命题：“存在实数x,满足不等式(m+1)x2-mx+m-1E0”是假命题，则实数m的取值范围是^3b.已知直线ax—by—2=0(a,b~R)与曲线y=x3过点(1,1)的切线垂直，则一二一22.如果椭圆与+冬=i(aAb>。)上存在一点P,使得点P到左准线的距离等于ab它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为^.定义在D上的函数f(x),如果满足对任意xwD,存在常数M>0,都有MMf(x)MM成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.若函数f(x)=1+a2x+4x在(g,0］上是以3为上界的有界函数，则实数a的取值范围为..已知数列{an}的通项公式是an=2n,，数列{bn}的通项公式是4=3n-1,令集合A={a1，a2…，an…},B={6也,…，bn,…},nwN*.将集合AUB中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}.则数列{cn}的前45项的和S45=.二、解答题：本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤..已知四边形ABCD的外接圆的半径R为2,对角线AC的长为2J3.(1)求角D的大小；(2)求四边形ABCD面积的最大值..某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需矿石3吨，煤1吨，生产乙产品1吨，需矿石1吨，煤3吨.工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过6吨，煤不超过10吨.(1)求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；(2)当甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，/BCD=60，点E是BC边的中点,AC与DE交于点O,PO_L平面ABCD.(1)求证：PD_LBC;(2)在线段AP上是否存在一点F,使得BF//平面PDE?若存在，求四棱锥F-ABED与四棱锥P-ABCD的体积之比；若不存在，试说明理由.如图，MBC的三个顶点坐标分别为A(-6,0)、B(2,0)、C(0,6),D、E分别是高CO的两个三等分点，过D作直线FG//AC,分别交AB和BC于G、F,连接EF.(I)求过E、G、F三点的圆M的方程；(n)在线段AC上是否存在点H，使得过点H存在和圆M相切的直线，并且若过点H存在两条切线时，则点H和两切点P,Q组成的2PHQ之90：?若存在，求出H点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由..已知直角&ABC的三边长a,b,c满足awbvc.(1)对于给定白正整数n和正数c,在a,b之间插入n-1个数，使这n+1个数构成以a为首项的等差数列{an},求S=ai+a2+川+an本的最大值；(2)求证：若a,b,c成等比数列，则a,b,c中最多有一个是整数；(3)已知a,b,c均为正整数，且a,b,c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为bn,且Tn=4+b2—b3+川+(—1)nbn,求满足不等式|丁|>32n的所有n的值.2x.如图，A,B是函数y=e的图像上两点，分别过A,B作x轴的平行线与函数的图像交于C,D两点.(1)求点A与原点O连成直线的斜率取值范围；(2)若直线AB过原点O,求证直线CD也过原点O;(3)当直线BC与y轴平行时，设B点的横坐标为x,四边形ABDC的面积为f(x),若方程2f(x)—3ex=0在区间［t,t+1】上有实数解，求整数t的值.附加题部分21［选做题］在A,B,C,D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤B.选彳4—2矩阵与变换20-一已知矩阵A=!|，点M(_1,_1),点N(1,1).一03(1)求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段MN'的长度;(2)求矩阵A的特征值与特征向量.C.选彳4-4:坐标系与参数方程x=sin;已知曲线C的参数方程为＜2,aw[0,2n),曲线D的极坐标方程为y=cos;7TPsin(1一)=-.2.4(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由.TOC\o"1-5"\h\z..1。、n=122.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,通项公式为an=—,f(n)=4cccn|S2n-Sn1,n>2k.——(1)计算f(1),f(2),f(3)的值；(2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23.如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短.(1)求该邮递员途径C地的概率f(n);(2)求证：2<2f(n)「*<3,(nWN*)参考答案及评分标准1{1,2,3};2.—2;3.3”2牟4.服；5.-2:6.19;7.浙；8.TOC\o"1-5"\h\z,1、n」2,31.4an=(-)；10.m>；11.一或一n3333,17-3।一12.[-,1)；13.良,1];14.2627;4TOC\o"1-5"\h\zACc小•AC233八15•斛：(1)由=2R,得sinD===—,3分sinD2R422一又角D为三角形的内角，所以DD=§或/D=g.5分(2)若/D=—,则/B=--.6分33设AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,L-a2b2-2abcosB=AC2a2b2ab=12八则有«，即«.8分lc2d2-2cdcosD=AC2c2d2-cd=12又a2+b2>2ab,c2+d2>2cd,a=b=2,c=d=2网时等号成立,10分ab-4所以有a,当且仅当cd<12SABCD=-absinB-cdsinD=(ab+cd)<473,12分所以四边形ABCD面积的最大值为14分16.解：设甲,乙两种产品各生产x,y吨,由题意得3x+y<6x+3y<10(1)设甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件又甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数等价于所以事件A发生的概率P(A)为图中三角形OAD的面积四边形OABC的面积S2=111023192810分内部与12分14分因为E是BC边的中点,所以DE—BC3所以所求概率P(A)=旦=1S2143(2)设甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件B,则事件B发生概率为含在AOAD内部与边界上的整数点与含在四边形OABC边界上的整数点的个数之比又含在四边形OABC内部与边界上的整数点共有九个点，含在AOAD内部与边界上的整数点共有四个点，4所以所求概率P(B)=-.9.解：(1)在菱形ABCD中，连接DB,因为/BCD=60,故ABCD是等边三角形.由于PO_L平面ABCD,BCu平面ABCD，所以PO_LBC,TOC\o"1-5"\h\z而DEHPO=0,所以BC，平面PDE,P又由于PD仁平面PDE,所以PD1BC.6分(2)在线段AP上存在一点F,使得BF//平面PDE,……8分/，沙\\取AD中点M,AP中点F,连接MF,BM,/M\因为MD//BE,MD=^BC=BE,\\所以BM//DE又BMS平面PDE,/不、“DE仁平面PDE,所以BM//平面PDE,飞］C同理可得MF//平面PDE又因为BMDMF=M,所以平面FMB//平面PDE因为BF。平面BMF,所以BF//平面PDE：12分因为F为AP中点,所以于是四棱锥F—ABED的高是四棱锥P-ABCD的高的一半,又因为四棱锥F_ABED的底面积是四棱锥P-ABCD的底面积-,4所以四棱锥F—ABED与四棱锥P—ABCD的体积之比是3.14分8法二：事实上，过点B作BG//DE交AC于G,过G作GF//OP,交AP于F,连BF,因为BG//DE,BG式平面PDE,DEu平面PDE,所以BG//平面PDE,因为GFIIOP,GF红平面PDE,OP二平面PDE,所以GF//平面PDE,分又因为BGQGF=G,所以平面BGF//平面PDE因为BFu平面BGF所以BF//平面PDE;由（I）知O为等边ABCD的中心，于是G为等边AABD的中心，所以AG=GO=OC,即G为AO中点，所以F为AP中点，于是四棱锥F—ABED的高是四棱锥P-ABCD的高的一半，又因为四棱锥F—ABED的底面积是四棱车|P-ABCD的底面积3,所以四棱锥F-ABED与四棱锥P-ABCD4的体积之比是38A14分12分FGCB.解（1）由已知，直线GF方程为：y=x+2直线BC方程为y=—3x+6,y=x2-x=1,由4y可得4，即F(1,3)…2分Iy=-3x6Iy=3又E(0,4),所以直线EF与DF的斜率之积kGFkEF=1X(-1)=-1,所以EFIGF,TOC\o"1-5"\h\z所以过E、G、F三点的圆M的圆即以EG为直径的圆4分由G(-2,0),E(0,4)知：圆心为M(—1,2),半径r=05,所以圆M的方程为（x+1）2+（y—2）2=5,即x2+y2+x-4y=06分（2）假设在线段AC上存在满足条件的点H,则点H在圆M上，或在圆M外，当点在圆M外时，过点H存在两条切线，由点H和两切点P,Q组成白/PHQ>90g得，直角△HPM的一个锐角/PHM>45,于是HMW&PM=而，即HM<^108分因为H点线段AC：y=x+6(-6ExE0)上，所以可设H点坐标为(x,x+6)(-60,所以a+bW岳，当且仅当a=b=gc等号成立，所以S的最大值为S=g(n+1)c.(2)证：设公比为q则b=aq,c=aq2所以n>5时，f(n)0,42211■.15TOC\o"1-5"\h\zq—q—1=0,q=—2—6分一2.一一....一,，.一，,一一b,c,2cj.q和q都是无理数，右a,b,c中有两上或二个是整数，则q=—，或q=-，或q=-aba中至少有一个是有理数，与q和q2都是无理数矛盾，，a,b,c中至多有一个为正整数8分(3)设a,b,c的公差为d(dzZ),则a2+(a+d)2=(a+2d)2,a=3d9分1…，…2,，三角形的三边长可设为3d,4d,5d,面积Sd=；2M3dM4d=6d2(dwZ)J.bn=6n2,Tn=6F—112+22—32+42-111(—1)nn2〕10分若n为偶数则Tn=6[(—12+22)+(—32+42)+|||+(—(n—1)2+n2)]=6(3+7+11W+2n_1)=3n2+3n11分若n为奇数，则Tn=6[(—12+22)十(42—32)—|||十(n—1)2—(n—2)2]—6n212分=6(3+7+11川+2n-3)-6n2=-3n2-3n2|Tn|=3n2+3n,由|Sn>3L2n,得n2+n>2n,即n-—^>12n令f(n)=「则f(n1)-f(n)=(n1)2(n1)n2n2n1-n2n22n2n1当n=1,2时，f(n+1)—f(n)上0,即f(3)>f(2)>f(1)n之3时，f(n+1)—f(n)<0,f(n)随n的增大而减少即f(n)二f(n-1)<|||:二f(4)13分14分TOC\o"1-5"\h\z一…312又因为f(1)=1,f(2)=—>1,f(3)=—>1,28,20,25f(4)=—>1,f(5)=一<1,163220.解：(1)设过原点。且和函数y=e2x的图象相切的切线的切点为P(x0,y0),则：V0=e2",又y'=2e2x,切线OP的斜率限善=2e2x0xop2xo解=2e"得x0=—,k0P=2e"=2e.TOC\o"1-5"\h\zx02结合图象知，点A与原点0连成直线的斜率取值范围是⑵由已知可设A,B,C,D各点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y1),D(x4,y2)贝Uy1=e2x1,y2=e2x2，且y1=ex3,y2=ex4,/.e2x,=ex3,e2x2=ex4,/.2x1=x3,2x2=x4,...直线AB过原点O,-^2-=-^1-,于是—=—,即kOC=kOD,x2x12x22x1x4x3・•・直线CD也过原点O.8分(3)当直线BC与y轴平行时，x2=x3=2为=x,x4=2x2=4x1=2x,13x2xx3xxx•-f(x)=—&3-x1)+(x4-x2)0对一切xu(-0o,0)U(0,+8)成立，xx所以和g(x)在(-°0,0)和(0,十至)都是增函数，13分又因为g(1)=e-3<0,g(2)=e2-2>0；12g(-3)=e-3<0,g(-2)=e>°，15分所以方程2f(x)-3ex=0有且只有两个实根，并且分别在区间[1,2]和1-3,-2]±,16分;所求整数t的值为1和-3.附加题答案21A.选彳4—1:几何证明选讲证明：设圆O的半径为r,圆O1的半径为R(R>r)过点O1作O1E_LAC,垂足._一._2222为E,则OiE=AB=R4r)—R~r)=4^r222222连接01c，则01c=O1E+CE=4Rr+(2R—r)=4R+r因为CT2=AC2=4r201T2=R2所以01c2=CT2+01T2,所以三角形O〔CT为直角三角形,9分01T,TC所以CT为圆。1的切线，切点为T10分B.选彳4—2矩阵与变换30-1-330131。4Uy｝卜4Mm所以M(-3,-4),N(3,4)所以MN：=」(-3-3)2(Y-4)2=10■-300--4二(■一3)(.-4)=0得矩阵A特征值为%=3,九2=4,(■-3)x0Jy-0,九=3,九2=4代入方程组C..二0Ux(■-4)y=0,得矩阵A属于特征值九1=3的特征向量为2=，’，当属于特征值九2=4的特征向量为巨=£110分C.选彳4-4:坐标系与参数方程x=sino（解：（1）由<2,口w[0,2n）得y-cos;2TOC\o"1-5"\h\zx+y=1,xw[_i,i]4分（2）由Psin（g十二）=—衣得曲线D的普通方程为x+y+2=0---6分4xy2=02得x-x-3=08分x2y=114解得x=1—」4-[-1,1]故曲线C与曲线D无公共点10分