9.3-9.4拉氏变换法新

9.3-9.4拉氏变换法新 Wuhan University 武汉大学物理科学与技术学院 Methods in Mathematical Physics 第九章积分变换法 The Method of Integral Transforms Wuhan University 第九章积分变换法 The Method of Integral Transforms §9.3 -§9.4 拉普拉斯变换法 The Method of LaplaceTransforms 一、拉氏变换 ( ) 00;0 =<> tft 时当若...

Wuhan University 武汉大学物理科学与技术学院 Methods in Mathematical Physics 第九章积分变换法 The Method of Integral Transforms Wuhan University 第九章积分变换法 The Method of Integral Transforms §9.3 -§9.4 拉普拉斯变换法 The Method of LaplaceTransforms 一、拉氏变换 ( ) 00;0 =<> tft 时当若β ( )[ ] ( )∫∞ −−− = 0: dteetfetfF titt ωββ此时 ( ) ( )∫∞ +−= 0 dtetf tiωβ( ) ( )[ ]∫∞∞− −− = ωπ ωββ deetfFetf titt 21:而拉普拉斯变换法 ( )∫∞∞− ∞ 题的引入：难！( )∫∞∞− − ∞< 易则 dtetf tβ ( ) ( )[ ] ωωβ β iddpetfFpFip t ==+= − 则记 ,, ( ) ( ) 的拉氏逆变换的拉氏变换 )()( 2 1 )()( 0 pFdpepF i tf tfdtetfpF i i tp tp −= −= ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞ − β βπ 1、定义 Wuhan University ( ) ( ) 间断点外连续及导数除有限个第一类tf1 ( ) [ ]ateL1:例 ( ) ( ) );0,(2 000 是增长指数βββ ≥≤ MMetf t 一、拉氏变换及存在定理 2、存在条件 ∫∞ −= 0 dtee ptat apap ReRe,1 >−= [ ] ( ) 0Re,1!)2( 11 >+Γ== ++ ppkpktL kkk [ ] 0Re,1 0 0 0 0 >=== ∫∫ ∞ −∞ − ppdteedtetL pttpt[ ] ∫∫ ∞ −∞ − −== 001 1 ptpt tdepdttetL 0Re,12 >= ppWuhan University 拉普拉斯变换法二、拉氏变换性质 ( ) ( )( )00 12 −− −−′− nn ffp K ( )[ ] ( )pFtfL =记 ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfLtfLtftfL 2121:.1 βαβα +=+线性 ( )[ ] ( )00:.2 ppFtfeL tp −=延迟 ( )[ ] [ ]pFetfL pττ −=−:.3 位移 ( )[ ] 0,1:.4 >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= a a pF a atfL相似 ( )( )[ ] ( ) ( )0:.5 1 fppFptfL nnn −−=微分 ( ) ( )[ ]tfL p dfL t 1:.6 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ ττ积分 ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfLtfLtftfL 2121:.7 ⋅=∗卷积 ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=∗ t dtfftftf 0 2121 τττ Wuhan University 拉普拉斯变换法 WWuhan University ][][][.1 2121 fFfFffF βαβα +=+ )]()]([[)()]([.2 00 ωωωω GxfFGxfeF xi =−= 设 )]([)]([.3 00 xfFexxfF xiω±=± ( ) )],([))]([.4 xfFixfF nn ω（= ( ) ( )[ ]xfF i dfF x x ωξξ 1.5 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ [ ] [ ] [ ] 卷积定理−⋅=∗ 2121.6 fFfFffF [ ] [ ] [ ] 像函数卷积−∗=⋅ 2121 2 1.7 fFfFffF π ( ) ( )∫∞∞− →−=∗ 卷积其中 ξξξ dxffff 2121 ( ) ,...2,1,0)(1 =⎯⎯ →⎯ ∞→− nxf xn 附：傅氏变换性质拉普拉斯变换法 22 kp k += ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 3 2sin2 πtL [ ] 1 1sin 23 2 3 2 +== −− p etLe pp ππ ( ) [ ]ktL cos3 22 1 kp kp k +⋅= ( ) [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= − i eeLktL iktikt 2 sin1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−= ikpikpi 11 2 1 0Re, >p 22 kp p += 例二、拉氏变换性质 Wuhan University ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= kt dt d k L sin1 拉普拉斯变换法 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ?,14 122 2 =+= − pFL p ppF 求已知 ( )[ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅+= −− 11 22 11 p p p pLpFL [ ] ( )∫ −=∗⋅= − t dtttLL 01 coscoscoscos τττ ( )[ ]∫ +−= t dtt0 cos2cos21 ττ ∫ +⋅= t ttd0 cos21cos41 αα 例二、拉氏变换性质 Wuhan University )sin 2 1cos( 2 1 ttt += 拉普拉斯变换法三、原函数存在定理 ( ) ( ) 02arg0, →∞→≤≤ pFpzpF 中当在单值若 π ( ) [ ][ ]∑ →= k k tp k pepFtf k 全平面奇点则 ,res )(拉氏反演及展开定理例： ?)(, )3)(1( 1)( 2 =−+= tfpppF 求 ]3, )3)(1( []1, )3)(1( [)( 22 −++−−+= pp eres pp erestf ptpt 312 ]1 [ )3( =−= ++−= p pt p pt p e dp d p e 16416 33 ttt etee −+= − 思考：还可用其它法做吗？ Wuhan University 拉普拉斯变换法四、解数理方程 ( ) ( ) ( )tftT l antT =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+′′ 2π ( ) 00 =′T ( ) 00 =T ( )[ ] ( ),~)( 0 pTdtetTtTL pt == ∫ ∞ −记1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pfpT l anTpTpTp ~~00~ 2 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+′−− π则 ( ) ( ) 2 2 ~ ~ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ =∴ l anp pfpT π ( )[ ] ( )pfdtetftfL pt ~)( 0 == ∫ ∞ − ( ) ( ) ( )∫ −= t dtl anfanltT 0 sin ττπτπ Wuhan University ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∗= t l an an ltfL ππ sin 拉普拉斯变换法 2. 解混合问题 0,0,2 >∞<<= txuau xxtt( ) ( ) ( ) ( )00,lim,,0 ≥== ∞→ ttxutftu x( ) ( ) 00,,00, == xuxu t ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )pFtfLpxutxuL ~,,~, ==记则 ( ) ( ) ( ) ( )pxu x axuxpupxup t ,~0,0,,~ 2 2 22 ∂ ∂=−− ( ) ( ) ( ) 0,~lim,~,0~ == ∞→ pxupFpu x 四、解数理方程 Wuhan University 拉普拉斯变换法 0),(~),(~ 2 2 2 2 =− pxu a ppxu dx d ( ) )(~,0~ pFpu = 0),(~lim =∞→ pxux 即 ( ) ( ) xapxap epcepcu 21~ += −( ) ( ) ( ) ( )pFpcpcFpu ~~,0~ 21 =+→=由 ( ) 0)(0,~ 2 =→=∞ pcpu由 ( ) ( )pFpc ~1 =( ) ( ) →= − x a p epFpxu ~,~ ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅= −− xa p epFLtxu ~, 1 ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= − a xtfLLtxu 1, ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= a xtf 四、解数理方程 Wuhan University 2. 解混合问题拉普拉斯变换法 0,,02 >∞<<−∞=− txuau xxtt( ) ( )xxu ϕ=0, ( ) ( )xxut ψ=0, 33、、 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ),~,,~,)1( ωϕϕω == xFtutxuF令 ( )[ ] ( )ωψψ ~=xF ( ) 00,~~ 222 2 >=+ ttua dt ud ωω ( ) ( ),~0,~ ωϕω =u ( ) ( )ωψω ~0,~ =tu 四、解数理方程 Wuhan University 拉普拉斯变换法 ( )[ ] ( )pUtuL ,,~)2( ωω =记 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,~0,~, 222 =+−− pUauuppUp t ωωωωω则 ( ) ( ) 0,)(~~),( 222 =+−− pUappUp ωωωψωϕω即 ( ) ( ) 222 )( ~~ ,)3( ω ωψωϕω ap ppU + += ( ) ( ) ( ) ta a tatu ωω ωψωωϕω sin~cos~,~)4( += ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~,)5( 1 ω−=( ) ( )[ ] ( ) ααψϕϕ d a atxatxtxu atx atx∫ +−+−++= 2121),( ( ) 222222 )( ~~ ω ω ω ωψ ωωϕ ap a aap p +++= 四、解数理方程 Wuhan University 拉普拉斯变换法本章小结拉氏变换傅氏变换 1.对方程和定解条件(关于某个变量)取变换 2.解变换后的像函数的常微或代数方程的定解问题。 3.求像函数的逆变换(反演)即得原定解问题的解。解数理方程的步骤原函数象函数积分变换法变换主要内容 ( ) ( )∫∞∞− −= dxexfG xiωω ( ) ( )∫ ∞ −= 0 ,dtetfpF pt ωβ ip += ( ) ( )∫∞∞−= ωωπ ω deGxf xi21 ( ) ( )∫ ∞+ ∞−= i i ptdpepF i tf β βπ ,2 1 Wuhan University 拉普拉斯变换法带有初始条件的混合问题特别是半无界问题(对时间变量变换) 有些逆变换难求没有边界条件的初值问题(对空间变量变换) 常用于求解对函数要求苛刻(绝对可积) 缺点 1.减少了自变量个数，使偏微方程化为常微方程常微方程化为代数方程求解，而使问题大为简化 2.不必考虑方程(边界条件)的齐次与否，都采用一种固定的步骤求解，易于掌握解法优点 1.查表并利用变换的性质(如卷积定理等) 2.由逆变换公式求，常常要用留数定理计算积分求逆变换方法本章小结 Wuhan University 拉普拉斯变换法习题 9.3：4 (1) 6；习题 9.4：1 本节作业 Wuhan University 拉普拉斯变换法 Wuhan University 再见！

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