基于损耗率和需求不确定情况下的订购批量

文章编号: 1001-7402( 2006) 05-0151-07 基于损耗率和需求不确定情况下的订购批量� 徐　鑫1 ,何先枝2 ( 1. 安徽大学 数学与计算科学学院,安徽 合肥　230039; 2. 合肥工业大学 理学院 数学系, 安徽 合肥　230009) 摘　要: 库存管理模型在现实生活中有着广泛的运用。然而,在实际生活中,由于种种不确定性原因的影 响, 使得经典的确定型的 EOQ 模型的运用越来越不符合现实的需要; 本文将需求和损耗率看成模糊数 的同时, 将物品的销售价格分成两部分来进行处理,即 :没有损耗的产品以一种较高价格出售, 对于有部 分损耗的产品则按较低的价格出售; 采用概率论置信区间估计的方法构建模糊变量的波动区间, 构建使 得总的利润达到最大的模糊库存模型,并利用三角模糊数、符号距离的方法以及最优化理论进行处理, 得出满足条件的最优订购批量。最后, 给出了模型 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和算例分析;通过分析,我们发现模糊库存模型的 优点在于它自生所具有的不确定性; 从数据上看, 模糊库存模型比经典的库存模型更能反映出实际情 况。 关键词: 三角模糊数;符号距离法; 模糊;损耗率; 需求;订购批量 中图分类号: F274　　　文献标识码: A 在实际生活中, 由于多种不确定性因素的影响,使得经典的确定型的 EOQ 模型越来越不适应 现实的要求; 自从 1851年, Silver 给出了 EOQ 公式以来,许多学者对经典确定的库存问题进行了 大量的研究, 但在大多数学者的研究中都没有考虑物品自身的磨损或损耗,而实际上不但损耗现象 是大量存在的, 而且损耗现象将导致物品的库存水平持续下降; 近年来,已有不少研究者从不同角 度研究了变质现象对库存以及订购不给策略的影响,如文献[ 4]、[ 5]、[ 6] ; 但上述的研究都认为变 质的物品会被废弃或没有利用价值,这种考虑也有一定的局限性; 文献[ 4]、[ 5]考虑了有部分损耗 的产品的订购问题,在该文献中将变质物品看成具有部分损耗的形式,并将物品的销售价格分成两 部分来进行处理,即:完全没有损耗的产品以一种较高价格出售,对于有部分损耗的产品则按较低 的价格出售, 来考虑使得成本达到最小的订购批量问题。本文在文献[ 7]、[ 8]研究的基础上,将需求 和损耗率同时看成模糊数, 构建使得总的利润达到最大的模糊库存模型,并利用三角模糊数和符号 距离的方法进行处理, 从而采用优化理论得出满足条件的最优订购批量。 1　假设与符号约定 Q: 单位周期的订购批量; D :年需求量; c:单位产品的购买成本; K :单位产品的订购费用; 第 20 卷第 5 期 2006 年 10月 　　　　　　　　　　 模　糊　系　统　与　数　学 Fuzzy Sy stems and Mathematics 　 　 　　　　　　　　Vo l. 20, No. 5 Oct . , 2006 � � 收稿日期: 2005-07-31;修订日期: 2005-09-22作者简介:徐鑫( 1979-) ,男,安徽巢湖人,硕士,研究方向:运筹与决策。 �:订购产品的损耗率; Pg :销售单位非损耗产品的价格; Pd :销售单位损耗产品的价格; h: 单位产品的库存费用; x :单位时间内发现损耗产品的比率; d:单位时间内监控产品发生损耗所需的费用; T :单位周期; 假设: ( 1)损耗的产品并不被废弃; ( 2)不允许缺货。 2　模型建立 由上述假设和符号约定,我们可知在每次订购的产品中非损耗产品的数量为 N ( Q, �) = Q- �Q= ( 1- �) Q ( 1) 总利润如下式: 　　　总利润= 非损耗产品的销售利润+ 损耗产品的销售利润值 - (订购费用+ 购买成本+ 发现产品发生损耗的费用+ 库存费用)即 � T C( Q) = [ P gQ ( 1 - �) + P dQ�] - { ( K + cQ) + dQ + h[ Q ( 1 - �) T2 + �Q 2 x ] } ( 2) 则 单位时间的总利润为= 总利润÷单位周期 即 � ( Q) = [ P g ( Q) ( 1- �) + P dQ�] - { ( K + cQ ) + dQ+ h[ Q ( 1- �) T 2 + �Q2 x ] } T 由于T = ( 1- �) Q D , 代入上式,化简为 � 0( Q ) = D ( Pg- Pd+ hQ x ) + D ( Pd- hQ x - c- d- K Q ) ( 1 1- �) - hQ( 1- �)2 ( 3) ( 3)式是在经典库存条件下的利润模型。 下面考虑在损耗率和需求都不确定情况下,如何确定其订购批量,使得总的利润达到最大。为 了方便起见, 记 = 1- �,这样可以将( 3)式化为 � ( Q) = D Pg- P d+ hQ x - D ( hQx + KQ + c+ d - Pd ) + hQ 2 ( 4) 然后,将 和 D 看成是三角模糊数, 即 ~= ( - ! 1, , + !2 ) , D~= ( D- ! 3, D , D+ ! 4) , 其中 0< !1< , 0< ! 2< 1- = �, 0< !3< D , 0< ! 4. 将上述模糊数代入( 3)式,可以得到单位周期的总利润的模糊 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式: �~( Q) = D~( Pg- P d+ hQ x ) - [ D ~ ~( hQx + KQ + c+ d - Pd ) + hQ ~ 2 ] ( 5) 3　模型求解 现在对 �~ 使用符号标记法进行逆模糊化,由文献[ 2] , 有 �~ 与 0～1的符号距离为 d( �~ , 0～1) = d( D~ , 0～1 ) Pg- Pd+ hQ x - d D ~ ~ , 0 ～ 1 hQ x + K Q + c+ d - Pd + hQ 2 d( ~, 0 ～ 1 ) ( 6) 下面确定 d ( D~ , 0～1 )、d( ~, 0～1)以及 d D~ ~ , 0 ～ 1 的符号距离。 152 模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　 　　　　　 　2006 年 我们可知模糊数 ~和 D~ 的符号距离分别为[ 2] d ( ~, 0～1 ) = 14 [ ( - ! 1) + 2 + ( + !2 ) ] = + 14 ( ! 2- !1 ) ( 7) d ( D~ , 0 ～ 1 ) = 1 4 [ ( D- !3 ) + 2D+ ( D+ !4 ) ] = D+ 1 4 ( !4- ! 3) ( 8) 而 d D~ ~ , 0 ～ 1 的符号距离的具体求法如下: 模糊需求 D~ 的 ∀( 0≤∀≤1)左、右端点的截集值分别为 D L (∀) = ( D- ! 3) + ! 3∀> 0, DR (∀) = ( D+ ! 4) - ! 4∀> 0 ( 9) 而 ~的 ∀( 0≤∀≤1)左、右端点的截集值分别为: L (∀) = ( - ! 1) + ! 1∀> 0, R( ∀) = ( + !2 ) - !2∀> 0 ( 10) 由于 0< L (∀) < R (∀) ,又由文献[ 3] ,我们可以得到D~ ~的 ∀( 0≤∀≤1)左、右端点的截集值分别为 D L ( ∀) = D L (∀) R( ∀) = ( D- !3 ) + ! 3∀( + ! 2) - !2∀, D R (∀) = DR(∀) L (∀) = ( D+ ! 4) - !4∀( - !1 ) + !1∀ ( 11) 则由符号距离的性质[ 2] ,结合( 11)式可得: 　　　　d D~ ~ , 0 ～ 1 = 1 2∫10 D L (∀) + D R( ∀) d∀ = 1 2 !4 + D! 1!21 ln - !1 - ! 4 ! 1 + ! 3 + D!2! 22 ln + ! 2 - ! 3 !2 ( 12) 易知( 12)式为正值,因为在( 12)式中的D~ ~的 ∀( 0≤∀≤1)截集的所得到的闭区间的左、右端点的值 都为正的。 将 d( D~ , 0～1)、d ( ~, 0～1 )以及d D~ ~ , 0 ～ 1 的结果代入( 6)式,得: 　　　� * ( Q) = d( �~, 01) = ( D+ ! 4- !3 4 ) ( P g- Pd+ hQ x ) - hQ 2 ( + ! 2- !1 4 ) + ( hQ x + K Q + c+ d - Pd ) 　× 1 2 !4+ D! 1! 21 ln - ! 1- !4!1+ ! 3+ D! 2!22 ln + !2 - !3!2 ( 13) 其中, � * ( Q )是从模糊角度对单位总利润的一种 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 。 现在我们的目的是从( 13)式中利用最优化原理确定出最优的经济订购批量 Q * , 使得 � * ( Q ) 的值达到最大。对( 13)式求一阶、二阶导数得: 　　d� * ( Q ) dQ = h x ( D+ ! 4- !3 4 ) - h 2 ( + !2- ! 14 ) 　+ 1 2 h x - K Q 2 ! 4+ D! 1!21 ln - !1- ! 4 ! 1+ ! 3+ D!2! 22 ln + ! 2 - ! 3 ! 2 ( 14) d2� * ( Q ) dQ2 = - K Q 3 !4+ D! 1! 21 ln - ! 1- ! 4 !1+ ! 3+ D! 2! 22 ln + ! 2 - ! 3 !2 ( 15) 由于d 2� * ( Q) dQ 2 < 0,所以一定存在最优的 Q * , 使得 � * ( Q )的值达到最大; 即令一阶导数等于 0, 则 可得最优订购批量为 Q * = Kx # h[ #+ x ( + !2 - !1 4 ) - 2( D + ! 4 - ! 3 4 ) ] ( 16) 这里, #= ! 4 + D!1! 21 ln - ! 1 - !4!1 + !3 + D! 2!22 ln + !2 - ! 3! 2 . 153第 5期　 　　　　　　徐鑫,何先枝等: 基于损耗率和需求不确定情况下的订购批量 4　特例 ( 1) 当 ! 3= !4= 0时,即年模糊需求变成了 D~= ( D , D , D ) ,在这种情况下 d( D~ , 0～1 ) = D , 则 d D ~ ~ , 0 ～ 1 = D 2 1! 1ln ln - !1- 1! 2ln ln + ! 2 = Dd 1 ~ , 0 ～ 1 上述模型变成了需求是确定的、而损耗率仍是模糊的情况; d 1 ~ , 0 ～ 1 = 1 2∫10 1 L (∀) + 1 R (∀) d∀= 12 1! 1ln ln - ! 1 - 1!2 ln ln + !2 ( 17) 将( 17) 和 d( D~ , 0～1) = D 代入( 13) 式,化简后将( 13) 式变为 � *1 ( Q) = d( �~, 0～1 ) = D ( Pg - Pd + hQ x ) - D 2 hQ x + K Q + c + d - P d 　　　 　× 1!1 ln - ! 1 - 1!2 ln + ! 2 + hQ2 + !2 - ! 14 ( 18) 由最优化理论,我们可知在该情况下的最优订购批量: Q * 1 = DK ( 1!1 ln - !1- 1! 2ln + ! 2 ) h[ + ! 2- !14 ) + Dx ( 1!1 ln - ! 1- 1! 2 ln + !2- 2) ] ( 19) ( 2) 在( 1)的讨论的基础上,再考虑 ! 1= !2= 0, 则很容易发现, 模型退化成经典的库存模型, 即 ( 3)式; 通过对( 3)式采用如上的最优化处理, 可以得到在经典库存情况下的最优订购批量为 Q * 0 = 2DK x h[ 2x + 2D ( 1- ) ] ( 20) 综上所述,我们可以得到在三种情况下的最优订购批量和相应总利润的表(见表 1)。 表 1　三种情况下的最优订购批量和相应总利润(表中 = 1- �) 模型 最优订购批量 利润 经典库存模型 Q *0 = 2DK x h[ 2x+ 2D ( 1- ) ] � * 0 (Q * 0 ) D 是确定, 而 是 模糊的库存模型 Q*1 = DK ( 1!1 ln - !1- 1!2 ln + ! 2) h[ + !2- ! 1 4 ) + D x ( 1!1 ln - ! 1- 1! 2 ln + ! 2- 2) ] � *1 (Q*1 ) D、 都是不确定 的库存模型 Q* = K x# h[ #+ x ( + !2- ! 1 4 ) - 2( D+ !4- !3 4 ) ] 这里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 #= !4+ D! 1!21 ln - ! 1- ! 4! 1+ !3+ D! 2!22 ln + ! 2 - ! 3! 2 � * (Q* ) 5　模糊损耗率和模糊需求的确定 在一般的模糊优化中, 实际的损耗率 (为方便起见令 = 1- �)和需求数量 D 都是未知的, 所 以我们很难用( 16)式来确定最优的库存策略;再加上, !1、! 2、! 3、!4 除了满足 0< ! 1< , 0< !2< 1 - , 0< !3< D , 0< ! 4这些条件外,在参与实际计算时, !1、!2、!3、! 4的值都是决策者根据自己的经 154 模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　 　　　　　 　2006 年 验决定的,有一定的局限性。为了能够合理估计实际的损耗率 和实际的需求数量 D ,我们可以通 过历史数据来计算样本的均值结合文献[ 9] ,采用置信区间估计的方法来构建实际的损耗率 和实 际的需求数量 D 的置信区间;这时我们从所构建的置信区间来找出和衡量在模糊环境下的损耗率 和需求数量的值。我们以确定模糊需求的数量为例,来阐述该置信区间的构建过程如下: ( 1) 首先从历史数据中随机收集m 个需求的样本值: D 1, D 2 ,⋯, Dm; ( 2) 求出所采集的 m个需求样本的样本均值和样本方差, 即: D - = 1 m∑ m i= 1 D i s 2 = 1 m - 1∑ m i= 1 ( D i - D- ) 2 ( 3) 通过采用统计的方法,我们可以得到需求 D 的( 1- ∀)×100%的置信区间为 [ D-- t∀ 1 (m- 1)· s m , D- - t∀ 2 (m- 1)· s m ] 其中, ∀1 , ∀2> 0, ∀1+ ∀2= ∀; 而 t∀ i (m- 1) ( i= 1, 2)是 ∀i 水平下、自由度为 m- 1的 t 分布, 即 t∀ i (m- 1)应该满足: P[ T > t∀ i (m- 1) ] = ∀i , i= 1, 2。 ( 4) 一旦我们得知需求数量 D 的( 1- ∀)×100%的置信区间, 我们可以运用统计的方法得到模 糊需求数量 D~ 的( 1- ∀)水平的三角模糊数表示为 D ~ * = [ D- - tm- 1(∀1 )· s m , D- , D- - tm- 1(∀2 )· s m ] 与 D~= ( D- ! 3, D , D+ ! 4)相对照,我们可以发现只要取 D= D- , 则 !3= tm- 1( ∀1 )· s m , !4= tm- 1(∀2 )· s m 这样就可以通过利用历史数据, 采用统计的方法来确定有决策者主观随意确定的 ! 3和 ! 4, 减少了 由于主观因素所造成的误差。同理,我们可以利用上述所阐述的统计方法来确定损失率的三角模糊 数。 6　算例及算例分析 为了减少篇幅,而且我们在上节中通过收集样本,确定样本均值和样本方差以及查统计表所得 的 ! 1、! 2、!3、!4 的过程比较简单,所以在算例中省去了其计算过程,上述相关参数结果直接通过计 算给出。 例 1　我们将相关的数据列成表格形式如表 2。 表 2　相关数据的取值 D 单位/年 K 元/周期 h 元/单位 x 单位/年 d 元/单位 c 元/单位 P g 元/单位 P d 元/单位 � 40000(均值) 100 6 175200 0. 5 30 60 30 0. 02(均值) 　 　　　(注: = 1- �= 0. 98) 由于在第 5节中, 我们采用了统计的方法来确定 ! 1、! 2、!3、!4 的值,从该节的分析, 可以看出: 随着对 ∀分割的不同,会得到不同的、不对称的 !1和 ! 2以及 !3和 ! 4, 所以我们在考虑算例的时候 对 ! 1和 ! 2以及 ! 3和 ! 4的关系除了满足其自身有意义的条件之外,还分别从三个角度考虑它们 各自的关系, 即: ! 1> !2、! 1< !2、!1= ! 2和 !3> ! 4、! 3< !4、!3= ! 4。我们由上述分析并结合( 16)式, 得出在需求数量和损耗率都为模糊情况下的最优订购批量和最大利润(见表 3)。 155第 5期　 　　　　　　徐鑫,何先枝等: 基于损耗率和需求不确定情况下的订购批量 表 3　在需求数量和损耗率都为模糊情况下的最优订购批量和最大利润 !1 ! 2 ! 3 ! 4 Q* � * (Q* ) !Q !� 0. 0010 0. 0150 1000 750 1564. 6 1055159 - 0. 294 - 0. 028 1000 1565. 5 1056405 - 0. 235 0. 090 1250 1566. 4 1057703 - 0. 162 0. 213 0. 0050 0. 0050 1000 750 1568. 5 1055444 - 0. 042 - 0. 120 1000 1569. 2 1055455 0. 000 - 0. 001 1250 1569. 8 1056742 0. 042 0. 122 0. 0150 0. 0010 1000 750 1572. 0 1052267 0. 176 - 0. 302 1000 1572. 8 1054483 0. 235 - 0. 092 1250 1573. 9 1056974 0. 298 0. 144 　　　 　(其中, !Q = Q* - Q*0Q *0 × 100% , !� = � * ( Q* ) - � *0 ( Q *0 )� *0 ( Q*0 ) × 100% ) 通过表格 3中的数据, 可以看出: ( 1) 当固定 ! 1和 ! 2,而 !3和 ! 4发生变化时,我们可以看出 Q* 、� * ( Q * )、!Q以及 !� 都在增 大; ( 2) 当固定!3和! 4,而 !1和 !2发生变化时,我们可以看出Q* 逐渐增大, 而� * ( Q * ) 却逐渐降 低; !Q增加而 !� 减少; ( 3) 当 ! 1和 !2 , !3和! 4都发生变化时,我们可以发现在 !1 = ! 2 = 0. 0050, 而! 3 = !4 = 1000 时, Q* → Q*0 ,则此时 !Q = 0, !� ≈ 0; 例2(特例)　在例1的条件下, 取!3 = ! 4 = 0, 则模型变成了只有损耗率是模糊数的模糊库存 模型了,我们结合( 20) 式,可得只有损耗率都为模糊情况下的最优订购批量和最大利润(见表 4)。 表 4　只有损耗率都为模糊情况下的最优订购批量和最大利润 ! 1 ! 2 ~ Q*1 � *1 (Q*1 ) !Q1 !� 1 0. 0010 0. 0150 ( 0. 9790, 0. 98, 0. 9950) 1565. 3 1056397 - 0. 235 0. 090 0. 0050 0. 0050 ( 0. 9750, 0. 98, 0. 9850) 1569. 2 1055455 0. 000 0. 000 0. 0150 0. 0010 ( 0. 9650, 0. 98, 0. 9810) 1572. 5 1054479 0. 235 - 0. 091 　　　 　(其中, !Q = Q*1 - Q*0Q *0 × 100% , !� = � * 1 ( Q*1 ) - � *0 ( Q *0 )� *0 ( Q*0 ) × 100% ) 从表4中很明显看出当 !1 = !2时, !Q 1 = !� 1 = 0, 这说明此时的只有损耗率都为模糊情况下 的库存模型变为需求数量和损耗率都确定的经典库存模型。 7　模型分析总结 从上述例 1、例 2, 我们虽然不能确定所得的结果(无论是从模糊模型还是从经典库存模型)哪 个是最优的,但我们可以发现模糊库存模型的优点在于它自生所具有的不确定性;从数据上看, 模 糊库存模型比经典的库存模型更能反映出实际情况,而在现实生产决策中,决策者可以通过建立模 糊库存模型来进行相关参数的灵敏度分析来衡量种种不确定性所带来的实际影响有一定的指导意 义。 156 模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　 　　　　　 　2006 年 参考文献: [ 1]　彭祖赠,孙韫玉. 模糊( Fuzzy )数学及其应用[ M ] . 武汉: 武汉大学出版社, 2002. 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This paper w e regard the at trit ion rate and demand as fuzzy number at the same time, the sale price of product is divided into tw o parts, i. e. , the sale price of good product than that of the part ial defective product ; A inventory model w hich makes the total profit s maximize is constructed, we can obtain the opt imal ordering lot-sizing using t riang le fuzzy number、the method of the sign distance and the optimal theory. Finally , the model analysis and examples are given. Though the analysis of model, w e find the advantage of the fuzzy inventory model lies in it self uncer- tainty; From the analy sis of data, the fuzzy inventory model can reflect the fact circumstance than the classic inventory model. Key words: T riangular Fuzzy Number; Sign Distance M ethod; Fuzzy ; At trition Rate; Demand; Order Lot-sizing 157第 5期　 　　　　　　徐鑫,何先枝等: 基于损耗率和需求不确定情况下的订购批量