空气动力学 chap 11

PART3Inviscid,CompressibleFlow无粘可压缩流邓磊E-mail:leideng@nwpu.edu.cn2018年5月22日星期二DepartmentofFluidMechanics,SchoolofAeronauticsNorthwesternPolytechnicalUniversityCHAPTER11SUBSONICCOMPRESSIBLEFLOWOVERAIRFOILS:LINEARTHEORY绕翼型的可压缩亚音速流:线化理论问题：为什么需要把微分方程线性化？线性化有什么好处？当微分方程为线性方程，边界条件也是线性时，方程的解满足叠加原理。即，可以将一个复杂的问题，分解成若干简单的问题，分别求解，然后将解叠加。这样问题大大简化。如：绕翼型的流动=有攻角的平板+无厚度无攻角的弯度+无攻角无弯度的厚度++=11.1Introduction第四章学习了低速不可压流动流过翼型的问题。1）如果高亚音速流动流过翼型会发生什么?2）压缩性如何影响翼型的气动特性？3）如何分析和计算压缩性的影响？本章的目的是研究0.3<M<1时二维翼型的流动特性,这时不可压假设不再成立.Figure11.1RoadMapforChap.11.速度势方程线性化的速度势方程Prandtl-Glauet压缩性修正改进的压缩性修正临界马赫数跨音速面积律超临界翼型Figure11.111章路线图阻力发散马赫数:音障亚音速气动特性跨音速气动特性REVIEWContinuityEquationTrueforallflows:SteadyorUnsteady,ViscousorInviscid,RotationalorIrrotational2-DIncompressibleFlows(Steady,InviscidandIrrotational)2-DCompressibleFlows(Steady,InviscidandIrrotational)steadyirrotationalLaplace’sEquation(linearequation)Doesasimilarexpressionexistforcompressibleflows?Yes,butitisnon-linear11.2TheVelocityPotentialEquation(速度势方程)STEP1:VELOCITYPOTENTIAL→CONTINUITYFlowisirrotationalx-componenty-componentContinuityfor2-DcompressibleflowSubstitutevelocityintocontinuityequationGroupingliketermsExpressionsfordr?STEP2:MOMENTUM+ENERGYEuler’s(Momentum)EquationSubstitutevelocitypotentialFlowisisentropic:Changeinpressure,dp,isrelatedtochangeindensity,dr,viaa2SubstituteintomomentumequationChangesinx-directionChangesiny-directionRESULTVelocityPotentialEquation:NonlinearEquationCompressible,Steady,InviscidandIrrotationalFlowsNote:Thisisoneequation,withoneunknown,fa0(aswellasT0,P0,r0,h0)areknownconstantsoftheflowReview:Incompressible,Steady,InviscidandIrrotationalFlowsVelocityPotentialEquation:LinearEquationInthisequation,thespeedofsoundisalsothefunctionofφ(from8.34):结论：1）速度势方程是只有一个未知变量的偏微分方程（PDE）；2）11.12式是连续方程、动量方程和能量方程的综合。3）理论上，给出远场边界条件和物面边界条件，就可以通过上式求解出绕二维外形的流动参数。infiniteboundarycondition：wallboundarycondition：4）Howtouse?Onceφisknown,alltheothervalueflowvariablesaredirectlyobtainedasfollows:(a0,T0,P0,r0,h0areknownquantities)1.Calculateuandv:and2.Calculatea:4.CalculateT,p,ρ:3.CalculateM:WHATDOESTHISMEAN,WHATDOWEDONOW?线性偏微分方程:偏微分方程分为线性和非线性线性偏微分方程:方程未知数φ以及未知数的所有导数只以线性形式存在，不存在交叉乘及平方等等可压缩流动非线性速度势的偏微分方程不存在解析解借助于数值求解方法是否可以将非线性方程在一定的条件下，简化为线性方程(easytosolve)?Slenderbodies细长体Smallanglesofattack小攻角如果可以，就可以应用于翼型的研究中，并提供在亚音速可压缩流中的定性和定量的特性Nextsteps:介绍小扰动理论(finiteandsmall)在1、2的条件下线化速度势方程。11.3THELINEARIZEDVELOCITYPOTENTIALEQUATION线化速度势方程对二维、无旋、等熵流动：perturbationvelocitypotentialequation(扰动速度势方程).(11.14)Perturbationvelocitypotential:sameequation,stillnonlinear(11.14a)(11.15)为了加深理解,我们将(11.14)用扰动速度表示:用扰动速度表示的能量方程为:将(11.15a)代入到(11.14a),并重新整理可得:即:(11.15a)(11.16)方程(11.16)仍然是无旋、等熵流动的精确方程。这时扰动速度、的值可大、可小，即对于大扰动、小扰动都成立。线性非线性assumethatthebodyinFig.11.2isaslenderbodyatsmallangleofattack(假设物体是细长的,迎角为小迎角).在这种情况下,有:smallperturbation(小扰动)situation:同时、与它们的导数也非常小。Compareterms(coefficientsoflikederivatives)acrossequalsignCompareCandA:If0≤M∞≤0.8orM∞≥1.2C<<ANeglectCCompareDandB:IfM∞≤5D<<BNeglectDExamineEIfM∞≤5,E~0NeglectENotethatifM∞>5(orso)termsC,DandEmaybelargeevenifperturbationsaresmallAABCDEHOWTOLINEARIZERESULTAfterorderofmagnitudeanalysis,wehavefollowingresultsMayalsobewrittenintermsofperturbationvelocitypotentialEquationisalinearPDEandisrathereasytosolveRecall:EquationisnolongerexactValidsituation:SlenderbodiesSmallanglesofattackSubsonicandSupersonicMachnumbersKeepinginmindtheseassumptionsequationisgoodapproximation(11.18)(11.17)Summaryofcommonly-usedequationsandthecorrespondingassumption(常用控制方程及其相应假设小结):求解速度势方程的目的在于得到物体表面的压强分布，进而得到气动力。下面我们推导用速度势表示的压强系数的表达式：(11.19)(11.21)(11.22)回忆：(11.27)(11.27)仍然是一个精确表达式。忽略(11.32)式（11.32)是亚音速或超音速小扰动线化压力系数公式，只适用于小扰动情况；压强系数只依赖于x方向的扰动速度。远场边界条件:物面:(11.34)V∞Vθuv(11.34)物面流动相切条件的近似表达式(11.18)(11.32)小结：本节推导的三个重要公式亚音速或超音速小扰动速度势方程亚音速或超音速小扰动线化压力系数公式速度势方程线性化的速度势方程Prandtl-Glauet压缩性修正改进的压缩性修正临界马赫数跨音速面积律超临界翼型Figure11.111章路线图阻力发散马赫数:音障(11.18)HOWDOWEUSEEQUATION(11.18)？11.4PRANDTL-GLAUERTCOMPRESSIBILITYCORRECTION(PRANDTL-GLAUERT压缩性修正)通过修正不可压缩流的结果来近似考虑压缩性影响的方法称为压缩性修正。我们考虑绕某翼型的无粘、亚音速流动问题：HOWDOWESOLVEEQUATIONNotebehaviorofsignofleadingtermforsubsonicandsupersonicflowsEquationisalmostLaplace’sequation,ifwecouldgetridofbcoefficientStrategyCoordinatetransformationTransformintonewspacegovernedbyξandηIntransformedspace,newvelocitypotentialmaybewrittenTRANSFORMEDVARIABLES(1/2)Definitionofnewvariables(determiningausefultransformationisdone)PerformchainruletoexpressintermsoftransformedvariablesTRANSFORMEDVARIABLES(2/2)DifferentiatewithrespecttoxasecondtimeDifferentiatewithrespecttoyasecondtimeSubstituteinresultsandarriveataLaplaceequationfortransformedvariablesRecallthatLaplace’sequationgovernsbehaviorofincompressibleflowsTransformationrelatescompressibleflowoveranairfoilin(x,y)spacetoincompressibleflowin(ξ,η)spaceoversameairfoil变换将(x,y)空间的翼型上的可压缩流动和(ξ,η)空间内相同翼型上的不可压流动联系起来翼型外形小扰动边界条件：精确：物面：（11.42）（11.48）在转换空间的翼型形状与物理空间的翼型形状相同。因此，上述变换将(x,y)空间的可压缩流与绕相同翼型的(ξ,η)空间的不可压缩流联系起来了。翼型相似FINALRESULTSInserttransformationresultsintolinearizedCPPrandtl-Glauertrule:Ifweknowtheincompressiblepressuredistributionoveranairfoil,thecompressiblepressuredistributionoverthesameairfoilmaybeobtainedLiftandmomentcoefficientsareintegralsofpressuredistribution(inviscidflowsonly)连续方程动量方程能量方程φ速度势方程（非线性）扰动速度扰动速度势方程（非线性）小扰动假设小扰动速度势方程（线性）转换空间拉普拉斯方程（线性）(ξ，η)结论：满足小扰动假设条件的可压缩流动的压力系数可以通过绕相同外形的不可压缩流动的压力系数，修正而得到。ForM∞<0.3,r~constCp=Cp,0=0.5=constEffectofcompressibility(M∞>0.3)istoincreaseabsolutemagnitudeofCpandM∞increasesPrandtl-Glauertruleappliesfor0.3<M∞<0.7(WhynotM∞=0.99?)SoundBarrier?M∞COMPRESSIBILITYCORRECTION:EFFECTOFM∞ONCPResults:1、压缩性修正只改变不可压压力分布的大小，不改变形状；2、随马赫数增加，升力系数和升力系数的斜率增加；3、随马赫数增加，最大升力系数和失速迎角减小；4、翼型阻力基本不随马赫数变化（对无粘流动，达朗贝尔徉谬仍成立）；5、翼型的压力中心位置基本保持不变。例11.1在翼型表面一给定点，已知在绕流速度极低时的压强系数为-0.3。如果自由来流马赫数为0.6，计算这一点的压强系数。例11.2由第四章，我们得出绕对称、薄翼型的不可压流动的理论升力系数为。计算自由来流马赫数为0.7时的升力系数。11.5IMPROVEDCOMPRESSIBILITYCORRECTIONS改进的压缩性修正公式Prandtl-GlauretShortestexpressionTendstounder-predictexperimentalresultsToaccountforsomeofnonlinearaspectsofflowfield1、Karman-TsienMostwidelyused2、LaitoneMostrecent三种修正公式的比较Prandtl-Glauert压缩性修正：基于线性理论，因此适用于薄物体、小迎角、亚音速、不适合高亚音速。Karmen-Tisen和Laitone公式都试图反映高亚音速时流动的非线性特征。Wedealwithseveralaspectsoftransonicflowfromaqualitativepointofview.在本节我们定性地讨论一下跨音速流动的特征。11.6CRITICALMACHNUMBER（临界马赫数）前面讨论了线化流动和可压缩性修正，这些线化理论不适用于跨音速流动。M∞=0.3α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.4α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.5α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.6α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.7α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.73α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.74α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.80α=0度NACA0012翼型等马赫数云图M∞=0.74α=0度NACA0012翼型表面压力系数分布M∞=0.80α=0度NACA0012翼型表面压力系数分布临界马赫数：在翼型表面速度最大点刚好达到声速时对应的自由来流马赫数，称为翼型的临界马赫数。WhatisthedefinitionofCriticalMachNumber?ThecriticalMachnumberisthatfreestreamMachnumberatwhichsonicflowisfirstachievedontheairfoilsurface.速度和压力的关系？速度最大点即压力最小点。临界压强系数:当地马赫数为1时对应的压强系数称为临界压强系数。CRITICALFLOWANDSHOCKWAVESMCRSharpincreaseincdiscombinedeffectofshockwavesandflowseparationDerivationofcriticalpressurecoefficient:(临界压强系数的推导)11.2211.59我们可以利用上式计算流场中M=1的任意一点的压强系数。则有：如果，流场中刚好只有一点的马赫数达到1，方程(11.60)表明：1）临界压强系数是临界马赫数的唯一函数。2）公式11.60是个普适公式，和翼型外形无关。3）公式的推导过程没有用到小扰动假设。(11.60)3、求出曲线B与方程（11.60）代表的曲线C的交点，对应的横坐标位置就是的估算值。•Estimationof(临界马赫数的估算)结合压缩性修正公式和临界压强系数计算公式，我们可以估算出一个翼型的临界马赫数：1、通过实验或理论方法，得到翼型在低速不可压绕流下的表面最小压力点的压强系数Cp。2、用压缩性修正公式得到最小压强系数Cp随自由来流马赫数M∞的变化曲线B。图11.6临界马赫数的估算问题：刚才的处理中，我们首先通过计算或者试验得到翼型在不可压情况下的最小压力点，而后通过压缩性修正公式，计算最小压力点随马赫数的变化。这其中我们基于这样一个假设：即最小压力点不随马赫数的变化而变化。这个假设是否成立？成立的。压缩性修正，只改变了压力分布的大小，不改变压力分布的形状，因此最小压力点在压缩性修正后，仍为最小压力点。结论：临界马赫数与迎角有关。迎角越大，临界马赫数越小。翼型厚度对临界马赫数的影响ThickairfoilshavealowercriticalMachnumberthanthinairfoilsDesirabletohaveMCRashighaspossibleImplicationfordesign→highspeedwingsusuallydesignwiththinairfoils本节小结：一、临界马赫数的定义；临界压强系数的定义及计算公式二、临界马赫数的估算方法三、翼型厚度对临界马赫数的影响例11.3(a)用作图法求NACA0012翼型的临界马赫数；M∞0.40.50.60.70.80.9Cp,cr-3.66-2.13-1.29-0.779-0.435-0.188M∞00.20.40.60.8(Cp)min-0.43-0.439-0.469-0.538-0.717公式（11.60）：例11.3(b)用解析法求NACA0012翼型的临界马赫数。0.72-0.6196-0.69960.73-0.6292-0.66210.74-0.6393-0.62600.738-0.6372-0.63310.737-0.6362-0.63670.7371-0.6363-0.6363讨论：本例结果的精度11.6.1对最小压力点（速度最大点）的讨论结论：（1）速度最大点出现在最大厚度之前，其出现的位置取决于整个翼型的形状而不是当地局部区域的形状。（2）对于不同马赫数，最大速度点位置基本不变。11.7DRAG-DIVERGENCEMACHNUMBER:THESOUNDBARRIER（阻力发散马赫数：音障）MCRdragdivergenceMachnumber(阻力发散马赫数）:ThevalueofatwhichthesuddenincreaseindragstartsisdefinedtheasdragdivergenceMachnumber.（阻力开始急剧增大时所对应的自由来流马赫数，称为阻力发散马赫数）。道格拉斯定义(常用):波音定义(较少使用):注：1）阻力发散马赫数与迎角相关；2）工程上经常使用零升力或者指定设计升力下的阻力发散马赫数。IMPACTONAIRFOIL/WINGDRAG波阻OnlyattransonicandsupersonicspeedsDwave=0forsubsonicspeedsbelowMdrag-divergenceProfileDrag(型阻)coefficientrelativelyconstantwithM∞atsubsonicspeeds下表面激波移至后缘临界M数，机翼上表面达到音速下表面达到音速上表面激波移至后缘IMPACTONAIRFOIL/WINGLIFT(补充)ABCDEFMl,d注：翼型实际可用马赫数为临界马赫数至阻力发散马赫数和升力发散马赫中的小者。11.8TheAreaRule（跨音速面积律）这一节我们将对跨音速的定性讨论扩展到三维问题。我们引入一个使整个飞机在马赫数1附近阻力增加大大减小的设计概念——跨音速面积律。(Inthissection,weintroduceadesignconceptwhichhaseffectivelyreducedthedragrisenearMach1forcompleteairplane).FIGURE11.10FIGURE11.11由弹道学家对子弹或炮弹壳的阻力研究得到启发，NACALangleyAeronauticalLaboratory的RichardT.Whitcomb,（惠特科姆）在1967年发现了跨音速面积律。AreaRuleSubsonicWingSweepThearearulefortransonicflow:(跨音速面积律)Thecross-sectionalareadistributionofanairplane,includingfuselage,wing,andtail,shouldhaveasmoothdistributionalongtheaxisoftheairplane.沿机身轴线，一个飞机包括机身、机翼和尾翼的横截面积分布应该是光滑连续的。11.9THESUPERCRITICALAIRFOIL（超临界翼型）Thepurposeofasupercriticalairfoilisincreasethevalueofdrag-divergenceMachnumber.Supercriticalairfoilsarespeciallydesignedprofilestoincreasethedrag-divergenceMachnumber，delayandreducetransonicdragrise.超临界翼型是经过特殊设计的、以增加阻力发散马赫数，延迟和减小跨音速时阻力增加为目的的翼型。什么是超临界翼型？超临界翼型的特点：前缘钝圆，上表面相对平缓，因此激波较弱，产生的波阻较小。由于超临界翼型上表面比较平，翼型在前60%的部分具有负弯度，所以使升力降低，为弥补这一不足，超临界翼型的后30%一般具有较大的正弯度，称为“后加载”。超临界翼型是由RichardT.Whitcomb在1965年发展出来的，被广泛应用于现代高速飞机上。如：Boeing757andBoeing767.1.Forgiventhickness,supercriticalairfoilallowsforhighercruisevelocity2.Forgivencruisevelocity,airfoilthicknessmaybelargerStructuralrobustness,lighterweight,morevolumeforincreasedfuelcapacity自1945年来，跨音速飞机空气动力学的两个重大突破——跨音速面积律和超临界翼型，均是由RichardT.Whitcomb提出来的。（还有个是翼尖小翼）DESIGNBOX高速机翼的特征（1）薄翼型A-10(雷电，疣猪攻击机)Root:NACA6716TIP:NACA6713F-15（鹰式战斗机）Root:NACA64A(.055)5.9TIP:NACA64A203FlightMachNumber,M∞Thicknesstochordratio,%DESIGNBOX（2）后掠翼Allmodernhigh-speedaircrafthavesweptwings:WHY?WHYWINGSWEEP?V∞V∞WingseescomponentofflownormaltoleadingedgeWHYWINGSWEEP?V∞WingseescomponentofflownormaltoleadingedgeV∞,nV∞,n<V∞WWRecallMCRIfM∞>MCRlargeincreaseindragBysweepingwingsofsubsonicaircraft,dragdivergenceisdelayedtohigherMachnumbersWHYWINGSWEEP?WHYWINGSWEEP?AlternateExplanation:AirfoilhassamethicknessbutlongereffectivechordEffectiveairfoilsectionisthinnerMakingairfoilthinnerincreasescriticalMachnumberSweepingwingusuallyreducesliftforsubsonicflightSWEPTWINGS:SUPERSONICFLIGHTIfleadingedgeofsweptwingisoutsideMachcone,componentofMachnumbernormaltoleadingedgeissupersonic→LargeWaveDragIfleadingedgeofsweptwingisinsideMachcone,componentofMachnumbernormaltoleadingedgeissubsonic→ReducedWaveDragWINGSWEEPCOMPARISONF-100DEnglishLightningSWEPTWINGS:SUPERSONICFLIGHTM∞<1M∞>1(5.69)机翼升力线斜率的压缩性修正(大展弦比直机翼）(11.64)(11.65)(11.66)(5.69)(5.81)(11.67)机翼升力线斜率的压缩性修正（小展弦比直机翼）(5.82)(5.82)机翼升力线斜率的压缩性修正（后掠翼）将上式中用代替：(11.68)为1/2弦线后掠角11.10CFD应用：跨音速翼型和机翼亚声速可压缩流线化理论的限制：1、薄翼小攻角2、来流马赫数不超过0.73、无粘、无旋假设采用CFD方法求解跨声速流动的历史发展过程：1、跨声速小扰动非线性方程2、全速势方程：(11.69)(11.12)3、Euler方程的CFD求解（7.39）（7.41）（7.43）4、NS方程的CFD求解（2.48）（2.95）（2.96）NACA0012翼型，Grid:265*65优化设计11.12小结对于二维、无旋、等熵、定常的可压缩流，精确的速度势方程为：（11.12)其中(11.13)这一方程是精确的，但它是非线性的，因此很难求解。在目前，还找不到该方程的解析解。对于小扰动情况（细长体、小迎角），精确速度势方程可以近似为：（11.18）以上小扰动速度势方程是近似的，但它是线性的，因此求解容易得多。这一方程在亚音速下（）和超音速下（）成立。在跨音速（）和高超音速（）不成立。线性化压强系数表示为：（11.32)近似物面边界条件为:(11.34)Prandtl-Glauert相似律是一个压缩性修正公式，可将不可压流动的结果经过修改来考虑压缩性的影响。(11.51)(11.52)(11.53)ThecriticalMachnumberisthatfreestreamMachnumberatwhichsonicflowisfirstachievedatsomepointonthesurfaceofabody.Forthinairfoils,thecriticalMachnumbercanbeestimatedasshowninFig.11.6.临界马赫数是指物体表面流速度最快点达到音速时所对应的自由来流马赫数。对于薄翼型，可由图11.6估算出其临界马赫数．Thearearulefortransonicflowstatesthatthecross-sectionalareadistributionofanairplane,includingfuselage,wing,andtail,shouldhaveasmoothdistributionalongtheaxisoftheairplane.跨音速面积律指出，沿飞机轴线其包括机身，机翼，尾翼的横截面积分布应该是光滑连续的，这样其跨音速阻力可以得到有效减小．Supercriticalairfoilsarespeciallydesignedprofilestoincreasethedrag-divergenceMachnumber.超临界翼型是经过特殊设计的翼型,其目的是增大翼型的阻力发散马赫数.Thedrag-divergenceMachnumberisthatfreestreamMachnumberatwhichalargeriseinthedragcoefficientoccurs,asshowninFig.11.8.阻力发散马赫数是指如图11.8所示的阻力系数开始急剧增大时所对应的自由来流马赫数．