4(135-152)不定积分

第四章 不定积分 §1.1 不定积分内容网络图 原函数 定义 不定积分 线性运算法则 性质 基本积分公式表 凑微积 不定积分 换元法 积分法 按公式 变量替换 分部积分法 有理函数的不定积分 按被积函数 三角函数的不定积分 简单无理函数的不定积分 §1.2 内容提要与释疑解难 定义 设 在区间I上有定义，若存在一个可微函数 ，使得对一切 。 定理 若 在区间I上的一个原函数，则 在区间I的全体原函数为 ， 是常数. 定义 若 则 在区间E上的全体原函数 称为 在区间I上的不定积分，记作 。 注：根据定义可知求出的 的定义域至少要与 的定义域一样。 基本积分表 注：从不定积分表中可看出，求出不定积分形式可以不一样，如何验证所求不定积分的正确性，只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可. 不定积分性质 性质1 . 性质2 . 性质3 若 的原函数都存在，则 （i） ； . 注1：从性质1可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导数为 ，则这个函数就是 的一个原函数 性质2 性质2告诉我们求不定积分的一个方法，即如何把 形式，实际上就是 这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本公式，微分的四则运算，尤其是一阶微分形式不变性，把 的不定积分。 §1.2 解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 基本方法与技巧 一、不定积分的基本方法 1.凑微分（第一换元法） 的一个原函数，由分析过程可知 定理（凑微分）设 注：给一个不定积分 ，要想运用凑微分，关键是能否把被积表达式 的形式，并且要求f(u)的原函数能求出来，在具体运用此定理时，一般不引入中间变量u ，而直接写出结果，即 为了熟练运用凑微分，记住下列微分关系是必要的（其实就是求原函数）. 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 2．变量代换法 由一阶微形式的不变性知 ， t= 定理（变量代换法）若 严格单调，可微，且 ，则 用变量代换求不定积分的具体步骤是 可导 ＝ 变量代换适合被积函数中含有根式且不能直接求出，也不能用线性运算法则或凑微分求出时，则需用变量代换，目的是为了去掉根号，一般来说，当被积函数中含有 变量代换不仅适合于去根号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用。 3．分部积分 定理（分部积分法）若 在具体运用这个公式时，关键是把被积函数表示成 的形式，而且目的是要把 转化，从而转化为求不定积分 分部积分适合下列情形，当 的n次多项式时， 1. . 2. . 3 . . 上面需要用n次分部积分. 在下列情形中， 的多项式或其它 的表达式，当不能凑微分求出时，常常要用分部积分 4. . 5. . 6. . 在求不定积分时，需要基本不定积分表（还有一些重要的不定积结果），线性运算法则，凑微分，变量代换，分部积分综合运用。 重要的不定积分有 EMBED Equation.3 . . 这些结果都要记住. 例1 求 . 解法一 解法二 解法三 EMBED Equation.3 同理可求 ，这两个结果要记住. 注：千万不要忘了加C，加了C是一族原函数，不加C只是一个原函数，相差甚远。 例2 求 （a＞0）. 解 令 , 原式 作出直角三角形,可知 于是 原式 . 同理可得 。 这两个结果要记住. 注1：在利用三角变换时,代换回原变量时,尽管可以三角公式,但有时很麻烦,我一般根据三角变换,画出直角三角形,求出三角形的各边长,然后根据三角函数的定义,非常方便地求出所需角t的三角函数。 注2：在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式子，有时正，有时负，被积函数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是一样的。 例3 求 . 解 原式 . 例4 求 . 解 原式 . 例5 求 . 解 由 , （i）当 , 原式 . （ii）当 时， 原式 . 例6 求 . 解法一 原式 = = 解法二 原式 = 例7 求 . 解法一 当 时, 原式 . 当 时, 原式 . 总之 . 解法二 原式 EMBED Equation.3 。 解法三 令 原式 = 注：从这两种解法中可看出不定积分的形式差别很大,但确实都是被积函数的原函数. 例8 求 . 解 令 EMBED Equation.3 于是 原式 = = . 例9 求 . 解 原式 设 = = = = . 例10 求 . 解法一 原式 = . 解法二 令 原式 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 例11 求 . 解 原式 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 注：结果不要忘了加c。有的读者可能会说，两个不定积分抵消了没有c，不论怎样，不定积分，结果都要加c。 例12 求 . 解 原式 例13 求 . 解 原式 例14 求 。 解 EMBED Equation.3 例15 设 且 求 . 解 由于 知 . 又 得 于是 例16 已知 是 的一个原函数，求 . 解 由于 是 EMBED Equation.3 的一个原函数。有 于是 例17 求 . 解法一 解法二 令 于是 原式 . 注：有时用变量代换，形式上比较简洁，不容易出错。 例18 求 . 解 EMBED Equation.3 , 化简得 , 解得 . 同理可得 . 例19 设 . 解 其中 注：对于这一类积分，直接求出原函数比较困难，常常是建立递推关系式，最后总可降到n=0或n=1等等，从而求出不定积分。 例20 设 解 f(x)= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 由f(x)在x=0处可导必连续，得 例21 求 解 由于 有原函数在x=0处可导必连续得 -1+ 故 注1：求带有绝对值式子的函数的不定积分需转化为分段函数来计算。 注2：求分段函数的不定积分，直接求出不同区间上表达式的不定积分。由于不定积分是区间上的原函数，故分界嗲是没有不定积分的，但要注意分界两测函数的不定积分要加不同的常数C1，C2，然后根据原函数在分界点可导必连接，确定 出C，C 之间的关系。 二、有理函数的不定积分 设 分别是n次和m次多项式，称 为有理函数，当mn时，称为有理假分式，利用多项式子除法，有理假分式可以化成多项式与有理真分式之和。由于多项式的不定积分可用敏函数的不定积分与线性运算法则求出，而有理真分式通过待定系数法或赋值法可化为第一类最简分式与第二类最简分式之和 第一类最简分式的不定积分 第二类最简分式的不定积分 EMBED Equation.3 而 EMBED Equation.3 对于积分 可利用例19的结果来计算，我们还有下面的结果。 定理 一切有理函数的原函数总可以用多项式、有理函数、对函数及反正函数表达出来，即有理函数的原函数一定是初等函数。 虽然理论上有理函数的不定积分可按部就班地求出结果，由于过程很繁，因此实际计算时，能不用尽量不用，实在无路可走，再用理论上的发放去计算。 例22 求 解 = 例23 求 解 EMBED Equation.3 本题若用待定系数法则麻烦。 例24 求 解 由于 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 于是，原式 由不定积分 EMBED Equation.3 所以，原式 三、三角函数有理式的不定积分 由 及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于 的有理式，记作R 由于三角函数有理式 R（sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx）=R(sinx,cosx)，所以，我们只要讨论 对于这类积分，我们可以利用变换t=tan , x 把它们转化为t的有理函数的积分，从而求得函数。这是因为 sinx= cosx= 故 . 显然，上式右端是关于变量t的有理函数的积分。求出t的原函数后，只需将t=tan 代入关于t的积分结果即可。 例25 求 解 令t=tan ,有 = 从理论上讲，对于 利用上述变量代换总可以算出它的积分，然而有时候会导致很复杂的计算。因此，对某些特殊类型的积分，可选择一些更简单的变量代换，使得积分比较容易计算。 1. 其中m,n中至少有一个奇数（另外一个数可以是任何一个实数）。 对这类积分，把奇次幂的三角函数，分离出一次幂，用凑微分求出原函数。 例26求 解 2. 其中m,n均是偶数或零 计算这类不定积分主要利用下列三角恒等式： sin 降幂，化成（一）的情况来计算。 例27 求 解 3. 其中m,n是常数，且m 计 算这类积分，可利用下述积化和差公式 sinmxcosnx= EMBED Equation.3 sinmxsinnx= 例28 求 解 4. 令 tanx=t, 有x=arctant. dx= 于是 例29 求 解 由于 于是，原式= 四、某些无理函数的不定积分 1. 形如 令 ，经整理得 例30 求 （n为正整数）。 解（i）当a=b时，原式= （ii）当a 设 所以原式 例31 求 EMBED Equation.3 解 令 原式 2. 形如 的一次多项式，k为常数，再用三角变换即可化三角函数有理式的不定积分，，有时我们也用欧拉变换： （1） 若a>0,可令 （2） 若c<0,可令 （3） 若 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在实际解题时，要灵活应用。 例32 求 解 令 从以上不定积分的计算中可以看出，求不定积分要比 求导数更复杂，更灵活。计算不定积分的基础是利用基本积分数、简单函数的不定积分、凑数分法、变量代换法及分部积分法。这几种都是将所求的不定积分化成基本积分表中被积函数的形式，从而求得不定积分，我们将一些不定积分公式汇编成表（可从教材中查到），这些公式也是建立在基本积分方法基础上的。在基本积分方法熟练掌握的基础上，要多做一些练习，才能熟能生巧，最后还要指出，有些不定积分，例如 等，它们的被积函数虽然是初等函数，但它们的原函数却不是初等函数，因此，用上述各种积分法都不能求出这些不定积分，这需要用其它的方法解决。 PAGE ·152· _1086788219.unknown _1149686624.unknown _1150371822.unknown _1150376838.unknown _1150383289.unknown _1150385866.unknown _1150387181.unknown _1150392865.unknown _1150393056.unknown _1150393390.unknown _1150392913.unknown _1150392758.unknown _1150392804.unknown _1150392721.unknown _1150386124.unknown _1150386990.unknown _1150387135.unknown _1150387019.unknown _1150386637.unknown _1150386075.unknown _1150385479.unknown _1150385741.unknown _1150385837.unknown _1150385582.unknown _1150383705.unknown _1150384118.unknown _1150384800.unknown _1150385410.unknown _1150384415.unknown _1150384196.unknown _1150383839.unknown _1150383924.unknown _1150383818.unknown _1150383838.unknown _1150383766.unknown _1150383573.unknown _1150383642.unknown _1150383476.unknown _1150379841.unknown _1150382302.unknown _1150382761.unknown _1150383089.unknown _1150383103.unknown _1150382839.unknown _1150382618.unknown _1150382745.unknown _1150382369.unknown _1150382456.unknown _1150382321.unknown _1150380206.unknown _1150380509.unknown _1150381050.unknown _1150382206.unknown _1150381827.unknown _1150380683.unknown _1150380300.unknown _1150380451.unknown _1150380275.unknown _1150380037.unknown _1150380137.unknown _1150379842.unknown _1150378133.unknown _1150379542.unknown _1150379612.unknown _1150379643.unknown _1150379774.unknown _1150379642.unknown _1150379556.unknown _1150378639.unknown _1150379031.unknown _1150379195.unknown _1150379522.unknown _1150378689.unknown _1150378451.unknown _1150377377.unknown _1150377830.unknown _1150377963.unknown _1150377569.unknown _1150377112.unknown _1150377199.unknown _1150377029.unknown _1150374883.unknown _1150375667.unknown _1150376029.unknown _1150376403.unknown _1150376695.unknown _1150376172.unknown _1150375749.unknown _1150375820.unknown _1150375712.unknown _1150375313.unknown _1150375484.unknown _1150375612.unknown _1150375360.unknown _1150375025.unknown _1150375112.unknown _1150374905.unknown _1150373714.unknown _1150374388.unknown _1150374605.unknown _1150374703.unknown _1150374526.unknown _1150373874.unknown _1150374228.unknown _1150373765.unknown _1150372591.unknown _1150373481.unknown _1150373659.unknown _1150373433.unknown _1150372191.unknown _1150372367.unknown _1150372148.unknown _1149688459.unknown _1150370758.unknown _1150371379.unknown _1150371731.unknown _1150371791.unknown _1150371650.unknown _1150370934.unknown _1150371079.unknown _1150370813.unknown _1149688673.unknown _1149688805.unknown _1150370613.unknown _1149688743.unknown _1149688548.unknown _1149688607.unknown _1149688529.unknown _1149687297.unknown _1149688226.unknown _1149688398.unknown _1149688421.unknown _1149688278.unknown _1149687401.unknown 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_1088955941.unknown _1088955873.unknown _1088955907.unknown _1088955767.unknown _1086793561.unknown _1086799707.unknown _1086800543.unknown _1086800659.unknown _1086800944.unknown _1086801026.unknown _1086800731.unknown _1086800564.unknown _1086799946.unknown _1086800447.unknown _1086800456.unknown _1086800376.unknown _1086799804.unknown _1086795210.unknown _1086796996.unknown _1086797432.unknown _1086797727.unknown _1086798410.unknown _1086799563.unknown _1086798786.unknown _1086798003.unknown _1086797543.unknown _1086797202.unknown _1086797308.unknown _1086797064.unknown _1086796383.unknown _1086796549.unknown _1086796926.unknown _1086796478.unknown _1086795667.unknown _1086796048.unknown _1086795635.unknown _1086793779.unknown _1086794974.unknown _1086795009.unknown _1086794936.unknown _1086794955.unknown _1086793928.unknown _1086793716.unknown _1086792830.unknown _1086793131.unknown _1086793521.unknown _1086793536.unknown _1086793446.unknown _1086793010.unknown _1086793046.unknown 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