(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率

微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 36 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率 定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即 曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。 二 欧拉公式 结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿 u-线的主曲率为 1 ，沿 v-线的主曲率为 2 ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角 为 ,则沿（d）的法曲率 n 满足 2 21 2cos sinn      . 这个公式叫 做欧拉公式。 证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以 F= M =0,所以对曲面上 任意方向(d)=du:dv,与其对应的法曲率 2 2 2 2n Ldu Ndv Edu Gdv      . 沿 u-线 （ 0v  ）的法曲率为主曲率 1 LE  ,沿 v-线（ 0u  ）的法曲率为主曲 率 2 NG  . 因为(d)=du:dv 与 u-线的夹角是 ,所以 2 2 2 cos Edu u Edu Gdv E u    , 所以 2 2 2 2cos Edu Edu Gdv    , 2 2 2 2sin Gdv Edu Gdv    ,所以 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 2 2 cos sinn Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdv            三 主曲率的性质 命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法 曲率中的最大值和最小值。 Administrator 线条 Administrator 高亮 微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 37 证明 设 1 2  (如果 1 2  ,可以交换坐标u和v）由欧拉公式知： 2 2 2 1 2 2 1 2cos sin ( ) cosn             ,于是 22 2 1( ) cos 0n        , 所以 2 n  ,同样可得 21 2 1( )sinn       ，所以 1 n  ,故 1 2n    , 这就是说，曲率 2 1,  分别是法曲率 n 中的最大值和最小值。 四 主曲率的计算公式 结论 设(d)=du:dv 为曲面 S: ( , )r r u v  在 P 点处的主方向，沿主 方向的主曲率为 Nk ，则 Nk 的计算公式是 0N N N N L E M F M F N G         即 2 2 2( ) ( 2 ) ( ) 0N NEG F LG MF NE LN M        。 注：要求主曲率，只需求出两类基本量，然后由这个二次方程解 出主曲率 Nk 即可。 证明 由 Rodrigues 定理， Nk 为主曲率 dn dr  ，即 ( ) ( ) ( ) N u v N u v N Ldu Mdv Edu Fdv n du n dv r du r dv Mdu Ndv Fdu Gdv                     即 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 N N N N L E du M F dv M F du N G dv             有非零解 du:dv 0N N N N L E M F M F N G         即 2 2 2( ) ( 2 ) ( ) 0N NEG F LG MF NE LN M        五 高斯曲率、平均曲率 定义 设 1 2,  为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积 1 2  叫做曲面在这一点的高斯曲率，记为 K, 即 1 2K   ; 它们的平均数称 为曲面在这一点的平均曲率，记为 H，即 1 21 ( )2H    。 由主曲率的计算公式和韦达定理可知高斯曲率、平均曲率的计算 公式是：高斯曲率 2 2 LN MK EG F   ，平均曲率 2 2 2( ) LG MF NEH EG F    。 微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 38 注：由定义和前面的计算可知半径为 R 的球面的高斯曲率为 K= 2 1 R ,平均曲率为 1H R  或 1 R  。 例 求旋转曲面 { ( )cos , ( )sin , ( )}r u u u     ，（ ( ) 0u  ）的高斯曲率 和平均曲率。， 。 解 …………高斯曲率： 2 2 2( )( )K                 ， 平均曲率： 2 2 32 2 2 ( ) ( ) 2( ) H                        。 特别,若旋转曲面是xoz平面上的曲线 ( ) 0x z  绕z轴旋转而成, 则 { ( ) cos , ( ) sin , }r u u u    ，这时 ( )z u u  ，所以 1, 0    ， 高斯曲率： 2 2(1 )K      ，平均曲率： 2 32 2 1 2 (1 ) H         。 六 极小曲面 定义 一个曲面如果它每一点处的平均曲率都为零，则称该曲面 为极小曲面。 极小曲面的实际模型是：将在空间弯曲的铅丝侵入肥皂溶液中， 取出时所得的皂膜曲面。 由习题 3可知， 正螺面为极小直纹 面；下面的例子说 明，悬链面是极小 旋转曲面。 例 求极小旋转曲面 微分几何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 39 解 在上例中令 2 32 2 1 0 2 (1 ) H          得 21 0     ，所以 2 1 1      ，所以 2 12 1 ln(1 ) ln 1 2 C               1 1 2 11 ,( )cca a ee      ， 所以 2 2 1a    ， 2 2 1 1 a      ，积分后 得： 2 2ln( 1) ( ) ( )2 z z a az az e e a a a          是悬链线 ，因此由悬链线 旋转而成的曲面是极小旋转曲面。 习题：P114 16, 17, 18, 22, 23