高数定积分习题-33

高数定积分习题-33 第6章 定 积 分 第6章 定 积 分 ?6. 1 定积分的概念与性质 1(概念 定积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一个和式的极限 nnb,等分abn,,fxdxfx()lim(),,,lim()fx,, ,,iiii,a,,0,,n,1,1ii ,,xx,其中:，;; ,,,,max,x,,x,？,,x,x,x,x,,iii,112niii,1 yfx,()y,0xb,几何意义:表示，，，所围曲边梯形面积的代数和 xa, fx()可积的必要条件:在区间上有界 ,,a,b 可积的充分条件:(可积函数类) bfx()fxdx()(1)若在上连续，则必存在; ,,a,b,a bfx()fxdx()(2)若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在; ,,a,b,a bfx()fxdx()(3)若在上单调、有界，则必存在。 ,,a,b,a 2. 性质 bbb,(())0fxdx,fxdxftdt()(),(1) ; ,,,aaa baafxdxfxdx()(),,fxdx()0,(2) ; ,,,aab bbkdxkba,,()dxba,,(3) ; ,,aa bbb,,,,fxgxdxfxdxgxdx()()()()，,，(4) ,,,,,aaa bcbfxdxfxdxfxdx()()(),，(5) ,,,aac bbfxgx()(),fxdxgxdx()(),(6)若，， 则 x,,,a,b,,aa bfx()0,fxdx()0,推论1:若，， 则 x,,,a,b,a bb推论2: fxdxfxdx()(),,,aa bmfxM,,()mbafxdxMba()()(),,,,(7)若，， 则 x,,,a,b,a fx()gx(),,(,)ab(8)若在上连续，在上不变号，存在一点 ,,a,b,,a,b 211 第6章 定 积 分 bbfxgxdxfgxdx()()()(),, ,,aa gx()1,,,(,)ab,,ab,特别地，若，则至少存在一点，或，使得 ,, bb1fxdxfba()()(),,, ,ffxdx,,()(),,aaba, xfx(),()()xftdt,(9)若在上连续，则其原函数可导，且 ,,a,b,a xd, ,()(())(),,xftdtfx,adx ,fx()Fxfx()(),(10)若在上连续，且，则 ,,a,b bbfxdxFxFbFa()()()(),,, ,aa ?6. 2 定积分的计算 b,xt,(),fxdxfttdt()()(),,1. 换元法 ,,,,a, bbbbbb,,udvuvvdu,,uvdxuvvudx,,2. 分部法 ，或 ,,,,aaaaaa 3. 常用公式 a,aa2()()fxdxfx为偶函数,,0fxdxfxfxdx()()(),，,,(1) ,,,,,,0a,0()fx为奇函数, aafxfxC()()，,,gx()fxgxdxCgxdx()()(),(2)，其中，为连续偶函数 ,,,0a aTT，,fxdxfxdx()(),,,0a,fxTfx()()，,(3)，其中 ,nTT,fxdxnfxdx()(),,,00, ,,,22fxdxfxdx(sin)(cos),,,,00,(4) ,,,,22fxxdxfxxdx(sin,cos)(cos,sin),,,,00, ,,1n2xdxcos,,n,0,2nn2(5) xxdxcossin,,,0,1n,2xdxsinn,,0,2 212 第6章 定 积 分 ,,2,fxdx(sin),,,0,xfxdx(sin)(6), ,,0,,,fxdx(sin),0,2, ,,n2,2,n4sinxdxn为偶数,sinxdx,(7) 0,,0,0n为奇数, (1)!!n,,,为偶数n,,,n!!2,nn22(8) sincosxdxxdx,,,,,00(1)!!n,,为奇数n,n!!, ,,()x,,ftdtfxxfxx()()()()(),,,,,,(9) ，，，，，，,()x, 2bbb22，，(10) fxgxdxfxdxgxdx()()()(),,,,,,aaa，， ?6. 3 广义积分 1. 无限区间的积分(无穷积分) (1)定义与性质 ，,bfxdxfxdx()lim(),，若极限存在，则原积分收敛; ,,aab,，, bbfxdxfxdx()lim(),，若极限存在，则原积分收敛; ,,,,a,,,a ，,，,cfxdxfxdxfxdx()()(),，，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛; ,,,,,,,c ，,，,，,fxdx()fxdx()kfxdx()，，，具有相同敛散性; ,,,aba ，,，,，,fxgxdx()(),,,fxdxgxdx()()，即收敛积分和仍收敛 ,,,,,aaa (2)审敛法 比较审敛法: ，,，,,gxdxfxdx()()收敛 收敛,,,,aa0()(),,fxgx设，则 ,，,，,,fxdxgxdx()()发散 发散,,,aa, 比较法的极限形式: 213 第6章 定 积 分 ，,，,0,,，,l收敛性相同,fx()设，则 ,limlgxdxfxdx()()与,,,，aaxa,gx()0,,，,l发散性相同,柯西审敛法: ，,0,1,,，,,lp收敛,p设，则 lim()xfxl,fxdx(),,,a,，,x0,1,,，,,lp发散, ，,收敛p,1,dx特别地， ,,p,ax发散p,1, 绝对收敛与条件收敛: ，,,收敛，则收敛， 称绝对收敛fxdx()，,,,afxdx(), ,,，,a,发散，而收敛，称条件收敛fxdx(),a, 2. 无界函数的积分(瑕积分) (1)定义与性质 bb,,lim()fx,,fxdxfxdx()lim(),()，若极限存在，则原积分收敛; ,,,，aaxb,0,, bblim()fx,,fxdxfxdx()lim(),()，若极限存在，则原积分收敛; ,,，，，,aaxa,0,, bcblim()fx,,fxdxfxdxfxdx()()(),，()，两积分都收敛，原积分才收敛; ,,,xc,aac bbfxdx()kfxdx()，，具有相同敛散性; ,,aa bbbfxgxdx()(),,,fxdxgxdx()()，即收敛积分和仍收敛 ,,,,,aaa (2)审敛法 fxgx(),()lim()fx,，,lim()gx,，,比较审敛法:设非负，且， ，，xa,xa, bb,gxdxfxdx()()收敛收敛,,,aa,0()(),,fxgx若，则 ,bb,fxdxgxdx()()发散发散,,,aa, fx()比较法的极限形式:若,liml，则 ，xa,gx() bb0,,，,l收敛性相同, gxdxfxdx()()与,,,aa0,,，,l发散性相同, pp柯西审敛法:若，或，则 lim()()xafxl,,lim()()bxfxl,,，,,,xaxb b0,01,,，,,,lp收敛, fxdx(),,,a0,1,,，,,lp发散, 214 第6章 定 积 分 bb收敛p,1,dxdx特别地， 或,pp,,aa()()xabx,,发散p,1, ?6. 5 典型例题解析 1(变限积分的求导与应用 解题思路 ,,()x,,ftdtfxxfxx()()()()(),,,,,,(1)利用公式 ，，，，，，,()x, (2)若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解; (3)变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。利用变限积分的 求导同样可以分析函数的特性。 例1 求下列函数的导数 1yFxfxtdt()(),Fyfxydx(),,(1); (2); ，，,,00 2yx22t,y(5)，求; edttdty,，cossin,,00 t2,2xfudu,(),dy,0fu()fu()0,(6)设，其中具有二阶导数，且，求 ,22dx2,，，yft,()，，, 1t,0u,0t,1(1)解 令，当时，;当时，. u,xtdt,duu,xx xxx1111,, Fxfudufudu,,Fxfudufx,,，()()()()()()2,,,000xxxx x,0u,0dx,du(2)解 令，当时，;当时，. u,x,yu,,yx,y y0,Fyfyfy()()(1)(),,,,,,Fyfxydxfudu()()(),,,; ,,,0y 222cosxxy22,,,eyxxyyy,，,2cos2cos(5)解 ,y,2y2eyy,2cos ,ydydxdy2222t,,4(),,tft(6)解 ， ,ft(),4()()tftft,,dxxdtdtt 2222,,,,,,()ydyddydydtfttft4()8()，t ,,,,()22,dxdxdxdtdxxft()t xx222Fxtfxtdt()(),,Fxxtdt()sin(),,习题(3); (4) ,,00 215 第6章 定 积 分 x22例2 设fxatadt()2(),,，,，求 ,0 fx()1)将的极大值用表示出来; (Ma (2)将(1)的看作的函数，求为极小值时的值。 MMaa 22,,,,fxx()2,fx()0,解(1)，，令，得 xa,,fxxa(),, ,,faa()20,,,,a,0时，，极大值为 当 ,a2223Mfaatadt,,,,，,()2() ,,，2aa,03 ,,faa()20,,a,0当时，，极大值为 a2223Mfaatadt,,,，,()2() ,,,2aa,03 2,,,Ma(1)440a,0a,1,,,a,12)当时，令，得，，故(Maa()220,,，,a,1 2,a,0时，为极小值;当时，，单调下降，无极值。 MMMaa()220,,,, 2(利用定积分定义求和式的极限 ba,ba,ab,解题思路 若将积分区间等分，，取，则 ,,,x,,，xai,,iiinn nnbbaba,,lim()lim()(), fxfaifxdx,,，,,,ii,a,,,,nnnn11,,ii 例3 求下列极限 111,,(1)lim，，，？ ,,n,,nnnn，，，122,, 2n2111111,,,,,dxlimln3解法1 lim，，，？ ,,,,0,,n,,ninnnnnx，1，，，122,,,i11，n 21i0,22n等分，， 其中，将,,,,,,xx,,ii2nnn 2n3111111,,,,,dxlimln3lim，，，？解法2 ,,,,1,,n,,ninnnnnx，，，122,,,i11，n 311,i1,32n其中:将等分，， ,,,，1x,,,x,,iin2nn n1lim(2) ,2n,,1i，i1,n，n 216 第6章 定 积 分 nn111limlim,解法1 ,,22nn,,,,ii，，11nii,,11n，，12nn 222111ii，1(i，1),,由于 ,,,222222(1)1iii，，nnn111，，，222nnn nn11111,111,lim,,dxlim,,dx且 ; ,,222,,00,,n,,ni，1inx14，nx，142,i1,i1，1()1，2nn ,故由夹逼定理知 原式 ,4 nnn11111()n,,, 解法2 由于，则 ,,,222iii，11nn,,,111iiin，，，，11222nnnn nn11111,limlim,,,dx ,,222,0,,,,nnii，1nx14，,,ii11n，，12nn 12n1nn？lim()()()ffffx()(4)，其中连续，并求 nlim!,,n,,nnnnn 1ln()fxdx121n，，,0解 原式,，，，explimln()ln()ln()fff？ ,e,,n,,nnnn，， 1nlnxdx1!1ni,,1n0n ,,,,lim!limexplimlnnee,n,,,,,,nnnnnnn,1i nk1nlim2习题(3) ,,,nnk，1/,1k 3. 利用定积分的性质求极限 解题思路 (1)若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解;或利用定积分的估值性质建立 不等式，用夹逼定理求解; (2)若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。 例4 求下列极限 nx1xelim(1)dx x,0,,n，1e 217 第6章 定 积 分 nxnx11xexe1nn0,,x解法1 ， 0,,,dxxdx,x,,,0,1x,,x0011，，en1，e nx1xe1limdx,0 lim,0,x,0,,nn,,1，en，1 解法2 由定积分的第一中值定理有 nx,,11xeee1n,,(0,1),,,， limlimlim0dxxdxx,,,,00,,,,,,nnn，，，，1111eeen 2xe1(2) ，tdtlimln(1),2cosx,0x,,x11 2x2(0)x,11,,x 解 由于，则 2 22xxee11 ，,，tdttdtlimln(1)limln(1)2,,2coscosxx,,00xxx/2,,x11 22xxln(1)2ln(1cos)(sin)，,,，,,exexx,lim ,0xx 2x2sinxex，,,ln2lim3ln2 ,0xx b2nfx()fx()0,ab,lim()xfxdx例5 设在上连续，且，求 ,,,a,,n nnnfx()ab,mfxM,,()解法1 由于在上连续，必有，则 ,, bbb222nnnmxdxxfxdxMxdx,,() ,,,aaa bb12233nnn limlim1mM,,,xfxdxxdxba,,,lim()(),,,,,,,,aannn3 解法2 由定积分的第一中值定理有 bbb122233nn,,(,)ablim()lim()xfxdxfxdx,,， ,,,xdxba(),,,aa,,,,nna3 axx,sina,b,c(0)c,lim,c例6 确定常数的值，使 3x,0xln(1)，tdt,bt 3xln(1)，tlim(sin)0axx,,b,0解 由于 lim0dt,,,,x,0b,x0t 218 第6章 定 积 分 axxaxax,,,sincoscoslimlimlim,,,c 332xxx,,,000xln(1)ln(1)，，txxdt,0tx 1cosx1,，，lima,cosx,0a,1,0a,1clim ， ,,,,2x,0x,02x 1xx，n,lim()hxgxftdt()(),设，，求 例7 hxngtdt()(),nn,,a,,nx 1,x，1n，，,，，limhx解 limn(g(x，),g(x))lim()ngtdt,,n,,,n,,xn,,n,,n，， ,xgxngx(1/)()，,，，,,,ftdtfx()() ,,lim()gx,,,an,,，，1/n 5(利用换元法求定积分 解题思路 (1)计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。 (2)应用第一类换元法(凑微分法)直接求解; 222222ax,,()ax，,(),()xa,,()sinxat,(3)若被积函数含，，，分别令，，; attanatsec (4)作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为，令;积xt,,,,,a,a 0,a分区间为，令。 xat,,,, ux()vx()(5)被积函数为，或型积分变量代换条件:积分上下限不变uxvx()()，uxvx()()， ux()vx()vx()ux()或换位，变换前后形式为 ;或 ,,uxvx()()，uxvx()()，uxvx()()，uxvx()()，例12 求下列定积分 eln21ln,x,2x1,edx(1); (2); dx2,,01(ln)xx, 3,,xxsin4dx(5); (6) ln(1tan)，xdx2,,00，1cosx eee1ln1ln1ln,,xxx(1)解 dxdxd,, 2,,,111lnlnxx(ln)xxx,222x(1)(1),,xx eln11x,,11,,,,,,(1)(1)1 1,xee1 219 第6章 定 积 分 cost,,,xet,sinx,0x,ln2(2)解 令，，，;， t,t,dxdt,,26sint 2,,ln2/6/2,,cos1sintt,x2 1cos,,,edxtdtdt,,,0/2/6,,sinsintt ,,/2/21cos3,t，， ,,，,,ln(csccot)coslnttt,,,,/6/6,,sin2t，， 13/233,,,,,,,ln1ln()ln(23) 1/222 x,0t,0(5)解法1 令，，;， xt,,,t,,x,,3333,,,0xxttxxxsin()sinsinsin,,, dxdtdxdx,,,,2222,,,,000,1cos1cos1cos1cos，，，，xtxx 322,,,移项1sinsincos,,xxdx,2(1cos),，x, ,,dxcosdx222,,,000，，21cos，x21cos21cosxx ,,,12,,，,,arctan(cos)cos(2)xx ,,,0022 ,,2解法2 利用公式求解 xfxdxfxdx(sin)(sin),,,,00 332,,,xxxdxxsinsin2(1cos),，2,, dxdx,,cos222,,,0001cos1cos1cos，，，xxx ,,/2/212,,，,,,,,,2arctan(cos)cos(2)xx 002 ,,,x,0t,0(6)解 令xt，，;x， t,,,,444 ,,0,1tan,t，，44ln(1tan)ln1tan()ln(1)，,,，,,，xdxtdtdt ,,,,,,00441tan，t，， ,,244 ,,,，ln()ln2ln(1tan)dxxdx,,,,00，1tanx,移项1,4 ,ln2ln2dx,028 例13 求下列定积分 sinx,4ln(9),xe2(1)dx; (2) dxsincosxx,,02，eeln(9)ln(3),，，xx 220 第6章 定 积 分 ,,,x,0t,0(1)解法1 令，，;， xtxt,,,,222 sincoscosxtx,,0eee22,,,, Idxdtdxsincossincossincosxxttxx,,,,002，，，eeeeee sincosxx,,,ee,,2222,，,, IIdxdxdx,,sincossincosxxxx,,,000，，24eeee ,,22解法2 利用公式 fxxdxfxxdx(sin,cos)(cos,sin),,,00 sincosxx,,ee22,, Idxdxsincossincosxxxx,,00，，eeee sincosxx,,,ee,,2222,，,, IIdxdxdx,,sincossincosxxxx,,,000，，24eeee 93,,，xtx,2t,4x,4t,2(2)解 令，，;， 42ln(9)ln(3),，xt Idxdt,,,,,24ln(9)ln(3)ln(3)ln(9),，，，，,xxtt 44ln(3)x，移项1 ,dxdx,1,,222ln(9)ln(3),，，xx ,,dx22习题(3) (4) lnsinxdx1993,,001tan，x ,(4)解 令，则 xt,,2,,022 Ixdxtdttdt,,,,lnsinlncoslncos,,,,002 ,,,,1111112222 ,，,,，(lnsinlncos)lnsin2xxdxxdxlnlnsin2dxxdx,,,,0000222222,,,2xt,,1,112 ,，tdt,,，，ln2lnsinln2lnsinlnsintdttdt,,,,00244444,,tu,,,,1122 ,，,tdtuduln2lnsinlnsin,,00444 II,, I,,，，ln2,I,,ln22444 6(利用分部法求定积分 解题思路 一般计算方法与不定积分分部法类似。 ,,,,,,,fx()fx()fxdxdfx()(),fxdxdfx()(),dv(1)若被积函数含，，将，取作， 其余部分取作; u dv(2)若被积函数含变限积分，将变限积分取作，其余部分取作;或将原积分化为u 221 第6章 定 积 分 二重积分，再改变积分次序求解。 例14 求下列定积分 x,21x(sincos)xxe,4arcsindx(1); (2); dx,,,0,1，x4cosx ,,,fx()0,,fxfxxdx()()sin，5)设(在上二阶连续可微，求 ,,,,,0 111xxx(1)解 arcsinarcsindxxdx,,,,00011，，xx2(1)xx， 11,,x1 ,,,,,dxdx()(1)(),,00，，4141xx 1,,,,3,,,,,，,,(arcsin)11xx 04424 xx,,,22x(sincos)sinxxexe,4442(2)解 dxdxexdx,,cos,,,,,,,,,444coscosxx x,,,,24xxxsinxe444222,,,,，因为 dxedxexexdx2(cos)2coscos,,,,,,,,,,,4444cosx x,2xxxx(sincos)22xxe,,,448888所以 dxeeee,,，,,228(),,,422cosx ,,,,,,fxfxxdxfxxdxxdfx()()sin()sinsin()，,，(5)解 ,,,,,000 ,,,,,,，,fxxdxfxxfxxdx()sin()sin()cos ,,000 ,,,,fxxdxxdfx()sincos() ,,00 ,,,,,,,，fxxdxfxxfxxdxff()sin()cos()sin()(0), ,,000 1,ln(1)，xn,1sincos(1)xnxdx，习题(3)dx; (4) 2,,00(2),x 例15 求下列定积分 ax,a(2)yay,fxedy(),fxdx()(1)设，求 ,,00 解法 a,,aaaxaxa22(2)(2)(),,,yayyayax，，fxdxedydxxedyxedx()(1),,,,1 ,,,,,,,000000，， 222 第6章 定 积 分 aa22222111()22(),,axaxx,,,,,,,edaxee ()(1),00222 aaaxaay,,(2)(2)yayyay,,，，解法2 fxdxedydxdyedx(),,,,,,,,,00000，， aa221(2)()2,,,，yayaya ,,,,,eaydyeday()(),,002 a22211,,()aaya，，,,,,,eee(1) ，，022 111fx()0,1fxdxA(),dxfxfydy()()(3)设在上连续，且，求 ,,,,,0x0 xx，，,(())()ftdtfx,，则 解法1 由于fxdxdftdt()(),,,00,,，，111111x，，，，，， dxfxfydyfydyfxdxfydydftdt()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,0000xxx，，，，，， 1xx111x，，，， ,,,ftdtfydyftdtfxdx()()()(),ftdtfxdx()(),,,,,,,,,,,,x000000，，，， 221x11xx1112，，，，，，，，,,,ftdtftdtA()() ,ftdtdftdt()(),,,,,,,,,00,,,,0000，，，，，，，，222 1111yxIdxfxfydydyfxfydxdxfyfxdy,,,()()()()()()解法2 ,,,,,,00000x 111x2()()()()Idxfxfydydxfxfydy,， ,,,,000x 1111x，， ,，,fxfydyfxfydydxdxfyfxdy()()()()()(),,,,,,,0000x，， 112,,fxdxfydyA()() ,,00 1112 IdxfxfydyA,,()(),,x02 x12,，2yy2fxedy(),(1)()xfxdx,习题(2)设，求 ,,00 7(利用公式求定积分 解题思路 利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解 例16 求下列定积分 a,dx(1)sin，xx(1); (2); dx2,,22001cos，xxax，, 4,sinx2(3)dx; ,x,,,，21e ,,,(1)sinsinsin，xxxdxxdx2(1)解 ,dx,，222,,,0001cos1cos1cos，，，xxx 223 第6章 定 积 分 ,2,2,,,,,arctancosarctancosxx 004 ,,,xxxxxxsinsinsin2其中， ,，dxdxdx222,,,,00，，，21cos1cos1cosxxx ,0xt,,,xxttsin()sin(),,,,2 dxdt,22,,,021cos1cos()，，,xt, ,,,xxtttsinsinsin,,222,，，dxdtdt222,,,0001cos1cos1cos，，，xtt,,sinx2 ,dx2,0，1cosx xat,sindxatdt,cos(2)解 令，，则 ,,adxtdttdtcossin22,,, I,,,22000，，sincossincostttt，,xax ,,,cossintdttdt,,222 I,,，,,,2Idt,,,0004，，sincossincos2tttt,,0,cossinsinxdxtdtxdx22其中，令， xt,,,,,,,,,002，，，2sincossincossincosxxttxx 444x,,,,sin(11)sinsinxexx，,22224(3)解法1 dxdxxdxdx,,,sin,xxx,,,,,,,,,,,,2222111，，，eee 4,,,sint移项3!!3,,222xt,,44, 2sinxdxdt,,sinxdx,t,,,,,002，1e4!!216 x11e,,,解法2 由于1，则 ,xxx，，，111eee 4,,sin3!!3x,,224,,,, dxxdx1sin,x,,,,02，14!!216e ,12dx习题(4)，为任意实数 ,,,0，1tanx 8(利用积分区间的对称性计算定积分 解题思路 (1)若被积函数是奇、偶函数，用奇偶函数的定积分性质求解 a,aa2()()fxdxfx为偶函数,,0,fxdxfxfxdx()()(),，, ,,,,,,0a,0()fx为奇函数, (2)若被积函数不是是奇、偶函数作负代换求解; xt,, 224 第6章 定 积 分 llfxfxC()()，,,gx()fxgxdxCgxdx()()(),(3)若，为连续偶函数，则，,,,0l ,,fxfx()()0，,,xaa,,,注意，可直接验证，则， Cfxfx,，,()(),,000 例17 求下列定积分 1111,dx(3)(); x,2,1，e12,x4 x1111111e,,,,,,,,,(3)解 由于为奇函数，故 1(),xxxx，，，，12121212eeee 1111,,dx()0 x,,21，e12,x4 b()ba,()cos()0xcxcdx，，,例19 已知 ，试求值。 c,a bbc，()cos()cosxcxcdxuudu，，,解 令，则 xcu，,,,aac， ab，acbc，,,，()0c,,由于为奇函数，故取，可使积分为，即 uucos2 fxgx(),()gx()fxfxC()()，,,,，ll,C例18 设在上连续，为偶函数，且，,, ,ll2xfxgxdxCgxdx()()(),为常数，证明:(1);(2)求解 sinarctanxedx,,,,,0l,2 gxgx()(),,证(1) 令，又，故有 xt,, ll0fxgxdxfxgxdxfxgxdx()()()()()(),， ,,,,,ll0 0l,,,,，ftgtdtfxgxdx()()()() ,,l0 ll,,，ftgtdtfxgxdx()()()() ,,00 ll,,，,fxfxgxdxCgxdx()()()() ,,,,00 xx,xx,,arctanarctaneeC，,x,0解(2) 因为，所以，当(arctanarctan)0ee，, ,,xx,时，，即。由(1)的结论有 C,arctanarctanee，,22 ,,,2,,,22xsinarctansin(cos)xedxxdxx,,,, ,,,,002222 2,,1sinx4222cosarccosxxdxdx习题(1); (2); (4) sinln(4)xxxdx，，,x,,,,,,,1,4，1e2 225 第6章 定 积 分 9(分段函数及含绝对值号函数的定积分 解题思路: (1)以函数分段点将积分区间分为相应子区间，利用定积分的对区域可加性求解; (2)当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换化为给定函数的形式求解; (3)令绝对值表达式为零，去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解。 例20 求下列定积分 1,x,0,2,x，1fxdx,1fx(),(1)，其中 ，，,,01,x,0x,1，e, u,x,1x,0u,,1x,2u,1du,dx解 设 ，当时，;当时，， x111010dxdxedx()()ln(1),,，,，，fudufxdxx xxx,,,,,,,,,11101011(1)，，，exee 011x ,,，,，dee()ln2ln(1)xx,,1ee，1 1,,,,,,,11xx,2,111,fxxx(),,,,fxnxdx()sin(2)设，求 ,,,122, 1,11,,,xx,2, 1,,,，,,,,,1(1)1xxx,,2,,11,,fxnx()sinfxxxfx()(),,,,,,,,解 为偶函数 ,,,22,, 1,,1(1)1，,,,,,,,,xxx,,2,, 11112 fxnxdxfxnxdxxnxdxxnxdx()sin2()sin2sin2(1)sin,,，,,,,,1,1002 111tx,,14222 xxdxttdtxxdx,,,，,,2sin2sin4sin,,,2000, 1ttxdt,习题(3) ,0 10(含定积分、变限积分方程的求解 解题思路 A(1)若方程含定积分，令定积分为，方程两边再取相同积分限的定积分求解; (2)若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解; 例21 求解下列各题 1fx()fx()fxxftdt()2(),，(1)设是连续函数，且，求 ,0 226 第6章 定 积 分 1fxxA()2,，ftdtA(),0解 设，则，两边取到 的定积分 1,0 11111，，2 fxdxxAdxxAxA()222,，,，,，，，,,,,0022，，0 111 A,,,ftdtAA()2,,，,022 1 fxxAxx()22()1,，,，,,,2 x342,fx()fx()(2)设，求， xfxxxftdt,,，，()34(),22 3,解 两边求导 fxxfxxxfx()()66()，,,， 23, ,fxx()66,,fxxxC()26,,，x2(2)241240f,,，，f(2)8,ftdt()0,x,2C,4当时，，得 ,,,2 3 fxxx()264,,， 112fx()fxafxdxax()()，,fxdx()(3)已知是连续函数，且满足，求使达到,,00 极大与极小值时的取值。 a 21111a2fxdxA(),fxdxaAdxaxdx()，,A,解 令，则 ,,,,,00002(1)a， aa(2)，,a,0a,,2 ， A,,0,22(1)a， 2a,,A(2)0,A(2)0,,,,,，,,,,2A， ,极大a,,22(1)，a 2a,,A(0)0,A(0)0,,,，,,,0A， ,极小0a,2(1)a， fx()(0,)，,gx()0,(4)设函数在内可导，其反函数为，且满足方程 fx()312fx()，求 gtdtx,,()(1),13 1,gfxx(),x,0解 当时，对等式求导得，又，则 gfxfxx()(),,,,,2 11,fx(), ,fxdxxC(),,，,2x2x 227 第6章 定 积 分 f(1)gx()0,f(1)1,gtdt()0,x,1C,0当时，，由可知，得，故 fxx(),,1 x,,fx()gx()fxgx()(),f(0)0,(5)设函数，满足，，且，gxefx()2(),, ,，，gxfx()()g(0)2,，求 ,dx,,2,01(1)，，xx，， x,,,解 ，得微分方程 fxgxefx()()2(),,, x,,,fxfxe()()2，,x ,fxxxe()sincos,,，,,ff(0)0,(0)2,,, ,,,,，，gxfxgxxfxfxxfx()()()(1)()()(1)()，,，, ,,,dxdxdx,,222,,,0001(1)(1)(1)，，，，xxxx，， ,,,fxfxe()()1，,,,d ,00,111，，，xx 11(利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧 解题思路 (1)利用已知不等式将函数改写为和式的极限，再由定积分的定义求证; (2)当函数单减时，曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和; ,n 11fx()ln()ln()fxdxfxdx,例22 设为正值连续函数，求证 ,,00 xxx，，？12nn证 利用已知不等式 0,,xxx？12nn nkn1121，，？ln()ln()()()ffff,，，， ,,,nnnnnn，，,1k 1nn121nk，，？,,,,,ln()()()ln()ffff ,,,nnnnn，，,k1 nnkk11,limln()limln()ff ,,,,,,nnnnnn11,,kk 11ln()ln()fxdxfxdx, ,,00 ,,2,()x0,,例23 设在上连续，证明 nxxdxxdx,,,limsin()(),,,,00n,,,解 由定积分的对区域可加性质有 n31,nk21,,,,,,nnnnfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()(),，，，,？ ,,,,,,nk,,111121,,0,,,,nnnn,1k nnkk,,,nnlimsin()limsin()nxxdxnxxdx,,,,lim()sin,,nxdx则 ,,k,1k,1,,,k0,,,,,,nnn,,nn1,,1kk 228 第6章 定 积 分 nn,,k,tnx11,,tdt,,,tdx lim()sinlim()sin,,kk,,(1)0,k,,,,nn,nn1,1,kk nn,222,kk,1，，,,,,,xdx,,,lim()lim()()，,, ,,,,,kkk,,,0,,,,nnnnnn,,，，,1,1kk ,k,0,,等分，，取 其中，最后一步为对,,x,n,,,kknn例24 证明下列各题 xa，fx()(,),,，,ftdta(),(1)设a,0在连续，且对任意有，(常数)证明:x,xfx()为周期函数。 xa，,fxafx()()，,(())()()0ftdtfxafx,，,,Ta,证 ,,,x abfx()(0,)，,fxdx()b(2)设在连续，且对任意正数积分与a无关，求证: a,,a c，为常数。 fx(),cx abfxdx()证 因为与a无关，所以 ,a abdbfabfa()()0,, (())0,fxdx,,ada fc(1)a,1bx,取， ,fx(),,xx x1,tftdtx,()0,,0fx()0,，,(3)设，其中在上连续，单调递增，且Fx,()，,x, ,x,00, f(0)0,Fx()0,，,，证明:在上连续且单调递增。 ，, Fx()x,0证 当时，显然连续，又 x1 FxtftdtxfxF,,,,lim()lim()lim()0(0),，，，0,,,000xxxx Fx()Fx()0,，,x,0故在处连续，从而在上连续 ，, x2xfxxtftdt()(),,,xfxf()(),,,,,xfxfx()(),,0,,0,x,， ,Fx(),,,,22xxx ,fx()fxff()()(0)0,,,,Fx()0,Fx()由于单调递增，，则，故单调递增 12(应用介质定理、微分和积分中值定理的命题 解题思路 229 第6章 定 积 分 ,Fx()0,(1)若结论不含，则将结论改写为的形式，左边设为辅助函数，用介质定理、微分和积分中值定理求解; ,,2)若结论含，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式(右边含)，再由此( 作辅助函数(有时需将所含定积分化为积分上限的函数)，用微分和积分中值定理求解; ,(3)若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。 xx1fx()fx()0,例27 设在上连续，且，证明方程，ftdtdt，,()0,,a,b,,abft() ab,在内有且仅有一个实根。 ，， xx1Fx()证 存在性:设，由题设知在上连续，且 Fxftdtdt,，()(),,a,b,,abft() ab1Fbftdt()()0,,; Fadt,,()0,,abft() F()0,,,,ab,由零点定理必有 ， ，， 1,Fx(),ab,唯一性:，故在内单调增加，零点唯一 Fxft()()2,，,，，ft() fx()gx()例28 设，在上连续，证明至少，使得 ，，,,a,b,,a,b bfxdx()b,,f(),agx()0,,fgxdxgfxdx()()()(),,,(1);(2)， b,,a,g(),gxdx(),a ,bxb,，，(1)证 由于 fgxdxgfxdxftdtgtdt()()()()()(),,,,,,,,,,aax,，，,x, xbFx()Fxftdtgtdt()()(),，显然在上连续，在内可导，且设，，,,a,ba,b,,ax ,FaFb()()0,,F()0,,，由罗尔定理至少，使得，即 ，，,,a,b b,fgxdxgfxdx()()()(),,, ,,a, xxFx()Gx()Fxftdt()(),GxGtdt()(),(2)证法1 设，，显然，在上,,a,b,,aa Fa()0,Ga()0,满足柯西条件，且，，所以 230 第6章 定 积 分 bfxdx(),,,,,FbFaFf()()()()a,,,， ，，,,a,bb,GbGaGg()()()(),,,gxdx(),a xxFxftdt()(),Gxgtdt()(),证法2 令， ,,aa xxWx()WxFbgtdxGbftdx()()()()(),,设，显然在上连续，又 ,,a,b,,aa Wa()0,WbFbGbGbFb()()()()()0,,,， ,,W()0,,由罗尔定理，在内至少存在一点，使，即 ，，a,b bfxdx(),,,FbFbFaf()()()()aFbgGbf()()()()0,,,,,,, ,bGbGbGag()()()(),,gxdx(),a 1k1,xfx()(0,1)0,1例29 设在上连续，在内可导，且满足，fkxefxdx(1)(),,,,0 ,1,,,(0,1)k,1()，证明:至少存在一点，使得 ff()(1)(),,,,, 1k1,x证 由于结论为微分方程型，而端点函数值的被积函数即为方fkxefxdx(1)(),,0 1,x程的解，故设， Fxxefx()(), ,,(0,1/)k由积分中值定理至少存在一点，使得 1k11,,x,FfF()(1)(1),,, ,fkxefxdxef(1)()(),,,,,0 Fx()(,1),,,,,(,1)(0,1),,1又在上连续，在内可导，由罗尔定理有，使得 ,, 1,,,1,,,Fefff()()()()0,,,,,,,,，, ,ff()(1)(),,,,,,, bbfx()(,)abab,fxdx()0,xfxdx()0,例30 设在上连续，，，求证:在内,,,,aa 至少存在两点，使得 ,,,ff()()0,,,,1212 x,Fxfx()(),FaFb()()0,,Fxftdt()(),证法1 令，则，且，又 ,a bbbbb xfxdxxdFxxFxFxdxFxdx()()()()()0,,,,,,,,,,aaaaa 由积分中值定理有 bF()0,,,,(,)abFxdxFba()()()0,,,, ， ,,a 231 第6章 定 积 分 FaFFb()()()0,,,,Fx()a,,,,b于是，对在，上分别应用罗尔定理得 ,,,, ,,，;， Ff()()0,,,,,(,)aFf()()0,,,,,(,)a,,,,121122 x,Fxfx()(),FaFb()()0,,Fxftdt()(),证法2 令，则，且 ,a bbbbb xfxdxxdFxxFxFxdxFxdx()()()()()0,,,,,,,,,,aaaaa bFx()(,)abFx()(,)abFxdx()0,若在内无零点，则在内不变号，矛盾，故必有,a Fc()0,cab,(,)，，由罗尔定理有，使得 acb,,,,,,12 ,, FF()()0,,,ff()()0,,,,,,1212 bfxdxfba()()()0,,,,证法3 ， ,,(,)ab,f()0,,111,a bxfxdxfba()()()0,,,,,， ,,(,)ab,f()0,,2222,a fx()fx()若只有一个零点，则在及内定号。 ,,,(,)a,(,),b1211 bfx()fx()0,fxdx()0,1在及内同号，不妨设，则，矛盾 (,)a,(,),b?11,a fx()fx()0,fx()0,2在及内异号，不妨设，;， (,)a,(,),bxa,(,),?111 ，则 xb,(,),1 bbb0()()()(),,,,xfxdxfxdxxfxdx,, 11,,,aaa ,b1,,，,,()()()()0xfxdxxfxdx,, ，矛盾 11,,a,1 fx()(,)ab故在内至少存在两点，使得 ,,,ff()()0,,,,121213(定积分不等式的证明 解题思路 常用定理:定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理， 泰勒公式; 122abab，,2(0)a,常用不等式:，，柯西不等式 a，,2a 2bbb22，，fxgxdxfxdxgxdx()()()(), ,,,,,aaa，， bxbfa()0,时b1,badx,,fxfxfaftdt()()()(),,常用等式:，， ln,dx,,,aaaax 232 第6章 定 积 分 (1)利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证; (2)若仅知被积函数连续:作辅助函数，将结论所含定积分化为变限积分，移项使右 边为零，左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证。 fa()0,(3)若已知被积函数可导，且至少有一端点:将函数化为变限积分，即 x,,fxfxfafxa()()()()(),,,,,fxftdt()(),，或求证; ,a (4)若已知被积函数二阶可导:将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较 定理求证。 xnxn,,,,，(1)Sxtdt()cos,例32 设，(1)当为正整数，且时，证明:n,0 Sx()2()2(1)nSxn,,，;(2)求 limx,,x nn,,(1)，cos()cosxdxSxxdx,,T,,证(1)， ,,00 n,,(1)n，,,coscos2xdxnxdxn,,cos(1)cos2(1)xdxnxdxn,，,，; ,,,,0000 2()2(1)nSxn,,，nxn,,,,，(1) ， , 2()2(1)nSxn，Sx()2(2)，由夹逼准则 ,,,,limx,,,,(1)nxn，,x fx()0,101,,,例33 设在上连续且单调递减，证明:当时， ,, ,1fxdxfxdx()(),, ,,00 证法1 由定积分对区域的可加性和中值定理有 ,,,11fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()(),,,,,,, ,,,,,0000, ,,,,(1)()(1)(),,,,,,ff12 ,,,,,,,,(1)()()0ff (01),,,,,,,,,1212 ftft()(),,xt,,01,,,,tt,证法2 令，则， ，，故 ,fx(), ,111fxdxftdtftdtfxdx()()()(),,,,,,, ,,,,0000 ,1,,(1)(0)0,,,,,()()(),,fxdxfxdx证法3 令，则 ,,00 1,,,,,,()()()()(),,,,ffxdxff,,0,1， ,,,0 ,,,,,,,,,,,,,,()0()(1)0, ,fx(),,,,()0()(0)0,,,,,,,,,,,,, 233 第6章 定 积 分 ,1,,(0,1),,()0,fxdxfxdx()(),,故时， ,,,00 bbfx()gx()ab,例35设,在上连续，且满足关系式，f(t)dt,g(t)dt,,,,aa xxbbxab,,，，证明:. f(t)dt,g(t)dtxf(x)dx,xg(x)dx,,,,,,aaaa xxxFxfxgx()()(),,GxftdtgtdtFtdt()()()(),,,证 设，，则 ,,,aaa ,GaGb()()0,,Gx()0,G(x),F(x)xab,,，， ,, bbbbbxFxdxxdGxxGxGxdxGxdx()()()()()0,,,,,,由于，故 ,,,,aaaaa bbbbbxFxdxxfxdxxgxdx()()()0,,,xfxdxxgxdx()(), ,,,,,,aaaaa ,fx()(,)abfxM(),fbfa()()0,,ab,例36 设在上连续，在内可导，且，，,, bM2证明: ()()fxdxba,,,a4 xx,,证法1 fxfxfaftdtftdtMxa()()()()()(),,,,,,,,aa bb,, fxfxfbftdtftdtMbx()()()()()(),,,,,,,,xx ab，bb2 fxdxfxdxfxdx()()(),，,,,ab，aa2 ab，bM22 ,,，,,,()()()MxadxMbxdxba,,ab，a42 证法2 由拉格朗日定理有 ,fxfxfafxa()()()()(),,,,,fxMxa()(),,， ,,(,)ax,1 ,fxfxfbfxb()()()()(),,,,,fxMbx()(),,， ,,(,)xb,2 ab，bb2 fxdxfxdxfxdx()()(),，,,,ab，aa2 ab，bM22 ,,，,,,()()()MxadxMbxdxba,,ab，a42 ,,fx()fx()0,fbfa()()0,,ab,例37 设在上有连续二阶导数，且，，证明: ,, b,,fx()4 dx,,afxba(),,,fx()0,fx()(,)ab证 在内必有最大值。设，由拉氏定理有 ,ffx,()max0 fxfafx()()(),00,,f(),, ,,(,)ax110xaxa,,00 234 第6章 定 积 分 fxfbfx()()(),00,,f(),, ,,(,)xb220xbxb,,00 bb,,,fx()112,,,,从而 dxfxdxfxdx()(),,,,,aa,1fxfxfx()()()00 ba,111,,,,ff()(),,, ,,21fx()()()bxxa,,xbxa,,00000 4()4ba, ,,2ba,()()bxxa,，,,,00 1xy，2其中最后一步运用了公式，) xyxyxy,，,,()()22 例38 证明下列不等式 fx()fa()0,ab,(1)设在上有连续导数，且，证明: ,, 2bb()ba,22, fxdxfxdx()(),,,,,aa2 x,fxfxfaftdt()()()(),,,xab,,证 ， ,,,a 2xxx222，，,,fxftdtdtftdt()()1(),, ,,,,,,,aaa，， xb22,,,,,,()()()()xaftdtxafxdx ,,,,,,aa 2bbbb()ba,222,, fxdxxadxfxdxfxdx()()()(),,,,,,,,,,,aaaa2 ppq,ln,0,,pq(3)证明:， qpq 1gx()1,，，由柯西不等式 证 令fx(),x 2pppppq(),ppq,11222(ln),ln, dxdxdx,,,,()(),,,qqqqqpqxxpq fx()1()3,,fxab,(4)设在上连续，且，证明: ,, bb4122bafxdxdxba,,,, ()()(),,aafx3() 235 第6章 定 积 分 bbb1122fxdxdxfxdxba,,,()(())()证 ,,,aaafx()fx() 1()3,,fxfx()10,,fx()30,,(()1)(()3)0fxfx,,, ， ,, (()1)(()3)fxfx,,3 ,0fx()4，,,fx()fx() bbbb33两边积分 bafxdxdxfxdxdx,,，,4()()2(),,,,aaaafxfx()() bb412 bafxdxdx,,()(),,,aafx3() 0(),,,mfxMfx()ab,注意:一般地，若，在上连续，则有 ,, 2bb1()mM，fxdxdx(), ,,aafxmM()4 bfx()fx()0,ab,fxdx()1,习题(2)设在上连续，且，，证明 ,,,a bb22(()sin)(()cos)1fxxdxfxxdx,,，, ,,aa 例39 证明下列各题 2M,,,,fx()f(1)0,0,2fxM(),(1)设在上连续且，，证明: fxdx(),,,,03 12,,,,,(1,)x证 ， ,，,，,,fxffxfx()(1)(1)(1)()(1)2! 22212,,,,,，,,fxdxfxdxfxdx()(1)(1)()(1) ,,,0002 32,,2f(),MxM(1),2 ,,,,(1)xdx,002233 ,,fx()0,xab,,(2)若，，证明: ,, babfafb，，1()() ffxdx()(),,,a22ba, ab，,,fx()fx()0,x,证法1 将在展开为一阶泰勒公式，并注意到 2 abababab，，，，12,,, ,fxffxfx()()()()()(),，,，,2222!2 ababab，，，, ,，,ffx()()()222 236 第6章 定 积 分 bbabababab，，，，, ()()()()()()()fxdxfbafxdxfba,,，,,,,,aa2222 bab，1 左边得证 ,,ffxdx()(),,a2ba, bab，其中， ()0xdx,,,a2 ,,fa()fb()fx()0,将，分别在处展开为一阶泰勒公式，并注意到，有 x 12,,,, ,，,，,,，,,fafxfxaxfaxfxfxax()()()()()()()()()2! 12,,,, ,，,，,,，,,fbfxfxbxfbxfxfxbx()()()()()()()()()2! ,,fafbfxabfxxfx()()2()()()2()，,，，, , bbbb,fafbdxfxdxabfxdxxdfx()()2()()()2()，,，，, ,,,,,,,aaaa bbfafbbafxdxabfbfaxdfx()()()2()()()()2()，,,，，,, ,,,,,,,aa b,,,，4()()()()fxdxbafbfa ,,,a bfafb()()1， 右边得证 ,,,fxdx(),a2ba, xax，证法2 由左边不等式，设 ()()()()Fxftdtxaf,,,,a2 axxaax，,，,, Fxfxff()()()(),,,222 axxaxaax,,，，,, x ff()(),,,,,,2222 axxaaxxaax,，,，，，，,,,,ff()(),,, f()()0,,,,,,,,,,,22222，， Fx()FbFa()()0,,Fx()0,故单调不减， 左边得证 ,, xfafx()()，右边不等式，设 由Gxxaftdt()()(),,,,a2 1,, Gxxafxfafx()()()()(),,，,,,2 1,,ax,,, ,,,,()()()xafxf,,2 1,,,,,,x ,,,,,,()()()0xaxf2 Gx()GbGa()()0,,Gx()0,故单调不减， 右边得证 ,, 237 第6章 定 积 分 babfafb，，1()()综上所述 ffxdx()(),,,a22ba, 14(广义积分的计算 解题思路 分清积分的类型。一般将无穷积分，瑕积分化为常义积分，再取极限求解; 混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。 例40 计算下列广义积分 ,x，,，,xe1dx(1); (2)dx; 2,x,,201(1)，e,xx1 2n,dx(5); 44,0sincos，xx ，,，,axax,,(0)a,Iebxdx,sinJebxdx,cos(7)， ,,00 ,x，,，,，,，,xe11xdx,,,(1)解法1 xddx()2xxx,x,,,,,,0000(1)，e，，，111eee ，,xxx，,，,，，xeexexln(1),,,,，dxe ,,xxx,00111，，，eee，，0 xxx，，xeee,，，(1)ln(1)x，， limln2limln(1)ln2xe,，,,，，,,x，，,，,,，,xx1，e，， xexx，，,,，，,，,limlnln(1)ln2limlnln2ln2 eex，，,，,,，,xx1，e xxxxxxxeeexeee,，，,，(1)ln(1)ln(1)x()x,，,其中， ,,，xeln(1)xx1，ee ,xx，,，,，,，,，,xexex11,,,，,dxdxdxdx解法2 22,xxxxx,,,,00000，，，，，(1)(1)111eeeee 1xet,令，，则 dxdt,t ,x，,，,，,，,，,xet1111,,,,,,dxdxdtdt()lnln2 2,xx,,,,00111，，，，，(1)1(1)11eettttt ，,，,，,dx111,,d,,arcsin(2)解 ,,22111xxxx,1,11/x 11, ,,，,limarcsinlimarcsin，x,，,x,1xx2 T,,(5)解 ，由定积分周期函数的性质有 ,,2n,dxdxdx22,,24nn 4444,,44,,,002sincos(tan1)cosxxxx，，sincos，xx 238 第6章 定 积 分 1，122,2，,，,tanxt,t(tan1)tanxdx，，12tndtndt, ,4n4444,,,0001t，1tan1x，2t，2t 11,,dtt()，,，,4ntt,,,, 4arctan22nn,001222,，()2tt ，,，,，,11bbaxaxax,,,,,,,，,(7)解 IbxdeebxebxdxJsinsincos,,000aaaa ，,，,，,111bbaxaxax,,,,,,,,,, JbxdeebxebxdxIcoscossin,,000aaaaa ba ; ,I,J,2222ab，ab， ，,，,dx1习题(3); (4)dx; e2k,,e2ln(lnln)xx(ln)xxx ，,，,22,t,2x,()edt,xedx(6); ,,0,,2 2,1,,例41 计算下列广义积分(已知) ,26nn,1 ，,，,1xdx(1); (2) dx,,x,300x1，e,xe(1) ,,(1)解 令，dxdy,,，则 y,2yx ,y,，,，,，,，,1111yye,nydx,,,dydyyedy ,,222yy,,,,,30000x,,,,,ee11xe,(1)1n, ,,nyny,,，,，，1111yee ,,,,,,,,22220,,nnn611nn,,，， ,x,,，,，,，,，,xdxxe1,，,xnnnx,,,,,,()(1)dxxedxxedx(2)解 ,,xx,,,,,000011，，ee11nn,, ,,，nxnxn1,,，,，，xee(1)111,n，1？ (1)1,,,,,,,，,，,,,,222220nnn234nn,,11，， 239 第6章 定 积 分 111111 ,，，，，,，，，(1)2()？？222222234246 2,11111111,,，，，，,，，，,,？？(1)(1) ,222222n234223212n,1 15(广义积分审敛法技巧 解题思路 熟记各种审敛法，注意求极限的主部原则和等价无穷小的应用 例42 讨论下列广义积分的敛散性 11(1); dx,,221,，(1)(1)xx ，,1ln1，x，，pq,,11xxdx(1),(3); (4); dxp,,00x ，,sinxdx(5); 2,0xx， (1)解 利用柯西审敛法 1122(1)(1)11xx，，limlimlim,,, ，，，2222xxx,,,,,,1112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),，,，，,，xxxxxxx 1122(1)(1)11,,xxlimlimlim,,, ,,,2222xxx,,,1112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),，,，，，，xxxxxxx 1由于，故原积分收敛 p,,12 ，,，,1ln1ln1ln1，，，xxx，，，，，，(3)解 dxdxdx,，ppp,,,001xxx ln1ln1，，xx，，，，p,1利用柯西审敛法， limlim1x,,p，，xx,,00xx 1p,,11ln1，xp,2收敛,，，,dx ,,,,p,0xp,2发散p,,11,, 1,,ln1ln1，，xx，，，，1xp,,,,,(，01)p， limlimlimlim0x,,,,p,1,,xxxx,，,,，,,，,,，,,,xxxxx()()11，， ，,ln1，x，，p,,,1 收敛 dx,p,1x ，,ln1，x，，12,,p故 收敛 dx,p,0x 240 第6章 定 积 分 112pqpq,,,,1111(4)解 利用柯西审敛法，原式 ,,，,xxdxxxdx(1)(1),,102 pqp,,,11111,,pp,0 收敛 ,,lim(1)1xxx,,,，x,0 pqq,,,11111,,qq,0 收敛 ,,lim(1)1xxx,,,,x,1 p,0q,0 ，原积分收敛 , ，,，,1sinsinsinxxx,，(5)解 dxdxdx 222,,,001，，，xxxxxx 11sinx1sin1xx，dx，收敛 收敛 dx,(0)x, ,2,,200xx，xxx，xx ，,，,sin1xsinx1()x,，,dx,，收敛 绝对收敛 ,dx2222,,11xx，xxx，x 故由比较法知原积分收敛。 2，,xdxab,习题(6)(为正常数) ba,1()()，，xaxb 22xx1()x,，,,~(6)解 由于 baabab，，,2，，()()xaxbxx ab，,,21ab，,3当，即时，原积分收敛; 021,，,,ab03,，,ab当，即时，原积分发散 2，,,,2xbxa，，b例44 设 ，求常数 ，( ,,10dxa,,2,12xax，,, 2，,，,baxa,，,,,,，，2xbxa，，dx0解 1dx,,,,,,,22,,112xax2xax，，,,,, ，，b,ax，ab,ap,1b,a,0当时，lim，，发散， x,,2x,，,22x，ax a1()x,，,p,,21b,a,0当时， ，，原积分收敛 2222xaxx， ，,，,，,2，a12xa,,,,,ln,ln,0原式,,,dxdx ,,,,2,,112，2xa，，22xaxxxa1,,,, 2，aa,0b,0 ， ,,1,22x,t例46 求函数的最大值与最小值。 fxtedt()(2),,,0 fxfx()(),,fx()0,，,解 由，只需求在的最大值与最小值 ，, 241 第6章 定 积 分 22,x,,fx()0,fxxxe()2(2)0，令 (唯一极值) ,,,,x,2,,且;，故为极大值即最大值 f(2)0,,,f(2)0，,,f(2) 222,,,,ttt2fftedtteedte,,,,,,,,，(2)(2)(2)1 max,,000 ，,，,tt,,f(0)0,又ftedtte()(2)lim(1)1，,,,,,,，，所以 ,00t,，, ,2ffe,,,，(2)1; ff,,(0)0maxmin ，,dx与无关，并求该积分的值 例47 证明积分,2,,0(1)(1)，，xx ，,，,1dxdxdx ,，,,,222,,,001(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxx，，，，，， 1xy,1/令，， dxdy,2y 22,，,11dxyydyxdx(1/),,, ,222,,,,,,，,01(1)(1)(1)(1)(1)(1)，，，，，，xxyyxx ,，,，,，,dxxdxdx,， 222,,,,,,011(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxx，，，，，， ，,，,dx,,,,arctanx 2,1114，x ,fx()(,),,，,fxfx()()1，,fx()1,例48 设函数在有界且导数连续，，证明 xxxx,,,1()1fx证 要证，即证，设，则 ,,,efxee()Fxfxe()(), xxxx,,,,Fxefxfx()()(),，Fxe(), ,,,,,eFxe(),, xxxxx,,,,edxFxdxedx() ,,,,,,,,, xxxxx ,,,,,eefxefxefxe()lim()(),,,x xxx,,,1()1fxfx()1,即 ,,,,,efxee() 16(利用函数和函数计算广义积分 ,, 解题思路 利用换元法或分部法将积分化为函数或函数，用函数或函数的性,,,, 242 第6章 定 积 分 质求解 3,,(2)()112例49 已知，计算， ,,,,，()n()722,()2 1111211n,解 ,，,,，,，,，,,，,,,，,()(11)(1)(1)(1)nnnnn222222 21121231nnn,,, ,,，,，,,，,，,(21)(31)nn？22222 (21)!!1(21)!!nn,, ,,,,()nn222 311111,,,，,，,,,,(2)()(11)(1)1(1)()()4222222 ,,,,715!!15311,,15,,，,,()(3)()()33222222 ，,2,t,edt,例50 利用函数和函数计算下列积分() ,,,02 ，,，,3214x2nx,,2xedxxedx(1); (2) ; ()n,,,,002 14xt,(1)解 令， dxdt,4 ，,，,，,3331113t11，,4xtt,,,222 ,,,,，xedxedttedt()(1),,,0004432322 1113!!3 ,,，,,,,,(2)2322322128 11,22xt,(2)解 令，， xt,,dxtdt2 ，,，,，,1121111nn1,，,2nxtt,,,22 xedxtedttedtn,,,,，(),,,0002222 1(21)!!1(21)!!nn,, ,,,,,()nn，12222 243