Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法

Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法 第28卷第9期 2010年9月 河南 HENAN 科学 SCIENCE Vo1.28No.9 Sep.2010 文章编号:1004—3918(2010)09—1057—04 Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法 邢家省 (北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学,信息与行为教育部重点实验室,北京100191) 摘要:利用正弦函数的无穷乘积展开和Gamma函数的无穷乘积表示,给出了Gamma函数的欧拉反射公式的一 种证法;利用Beta—Gamma函数的级数表示和函数的傅里叶级数展开,给出了Gamma函数的欧拉反射公式的一种 证法. 关键词:Gamma函数;Beta函数;欧拉反射公式 中图分类号:O177.2文献标识码:A Gamma函数的欧拉反射公式(余元公式)是Gamma函数的一个重要性质,人们已给出了多种常见的证 法,证明过程是综合利用多处的知识结果.我们在数学分析的知识体系内,将已有的证法给予重新的整理, 为每一种证法构建一个完善体系,使之能更清楚的记载传承. 1伽玛函数与贝塔函数的关系 定理1El对任意p>0,g>0,有,g):. 1p+口 2正弦函数无穷乘积展开定理的数学分析证法 定理2『21对任意实数,成立sifix(1一斋). 定理3[2】对于?(0,1),成立_一:一1+?(一1). 3正弦函数无穷乘积展开定理的傅里叶级数展开证法 定理4is31已知厂)=COS似不是整数)在(一百,竹)上的Fourier展开式为 COS:S1’nO/1T {—+(一1)n},(1)0=——1T1——+,L—1)——},L1)1T【2:2一 nJ 则有下列展开式成立: :4. - ?(一1)n,一=一,—lJ一. :一 1 +?,竹:一1+?.—?—一一——1.一———’II—?——一一——1-一—了—?『_? sin肛1’一n1T’sin”fixn=1’,n’ 定理5对?(0,1),有 sin’fiX==x1… 3(卜 证明我们记=ln【盯(1一1J=ln盯+ln(1-/’t//1,显然有(o)_ln霄,容易得=lL,l=】\Jn=1nn= 收稿日期:2010—05—26 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771011) 作者简介:邢家省(1964一),男,河南泌阳人,副教授,研究方为偏微分方程. (2) (3) 2x 戈2-n2 —— 1058——河南科学第28卷第9期 由定理4中的展式订:+?,得竹一:,),两边积分,得ln:)+c.S1n叮rn=1.一nSln11 -- +0取极限,有c=o;于是1n里n一=),故=1T(1一),V?(0,1)? 定理6成立sjn垂(一斋 让 证明在定理5中,有sin=+o0(1一),V?(.,1).引入记号?=僦(1一X2), 我们指出函 数h)的重要性质:?h(0)=h(1)=0;?(一)=一h);?—1)=一h).性质?, ?是显然的,为证明性 质?,我们利用以下恒等式: 不?, N (一?I’I[ _ (n+ 丽 1+x) 广 (n-l 一 -x)] : 一 僦一 n=l x … 2)N+, 1+x 2一盯————=一竹llIl一(?!)?.… 让上式中?一十..,得到h+1):一h).根据以上所得,我们断定sin=),V?R;这就是sin僦= r亘i(一V棚.由此可n垂(一X2 4对数凸函数的唯一性和伽玛函数的无穷乘积展开 定理7l4_如果(0,+?)上的函数/.满足F歹U3个条件: 1)对任意x>0,厂)>0,Hf(1)=1; 2+1)),对任意x>O成立; 3)Inf是(0,+?)上的凸函数. 那么对任意>0,成立厂):FOr):lim—_—_. n一?L+上…+n 5Gamma函数的无穷乘积表示的直接证明法及反射公式 定理8_lI6】对任意z>0,有 = … limn, d拄 一 lim1- 1). 2.. 吨 ...n 00.J?J\/_+?(+】)…(z+忍) 定理9对任意z>O,有I1)r(1):—一. 证明在定理2或定理6中已给出了正弦函数的无穷乘积展开sin=亿 (1一),在定理7或定 理8中,已给出 = lim[1,n?l+l…+nj F(1-z)=l —im[], 从而得到Gamma函数的反射公式 2010年9月邢家省:Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法 ——1059—— r)r(1_z)=1竹竹 6利用函数的级数展开证明伽玛函数的反射公式 定理10对任意O<p<l,有F(p)F(1-p)=_一. sinIrp 证明因为r)r(1_P)=(1,p)=』:(1一_ld,令=1,得 fIt-p(1?dt:f_:f+r:10j01+x)01+xl11+x f+f卫dy=f+f1一~7(1-p)-1J01J01+vJ0l+xJ0l+x. 对0<1,有展开式享=_:?(一1)脚,,记Sn(x):?(一1)kx,显然())在(0,1)的任何闭子区间上一致l-I’-n=Ok--O 收敛于S(x)=鲁,由于.?Sn芝(-1:丛?2鲁?2XP-1,k- - O 而 U 收0用控 l十l+l+ 制收敛定理【”],得 同理 于是 == 1 = k=O古, = ?k=l ?寺;D一 鲁古+?毒=+寿. 利脆璇 S1n/9 + 1寿-/C:鲁S1n删r(1sm”Tr?p1T=p’’Jl+p耵D 2]求仁epy(.<1). 解作变量替换=e,则有 』二=鲁(p)rc_p)_, 故rdy:T_(0<P<1).J一 *1+eysinpTr 例2[12】试证xs-1= r)(1—2))(s>1),其中)=n=l/7,s. 证明由=?(一1)n--e一,利用逐项积分定理t,得e+1n=1 . ~s-1 = (?,dx=皇n=le, (一1)一1Jts-le-~1Ud=r)1(一1)=r)(1—2h))?n=nn=,r 一 卜 兀 一 卜 n 耋l -=加 击 ? ? 一 1O60一河南科学第28卷第9期 3t2】明dxF 1 例2】设>0,证明I三_=(,)().Jr一11一 证明由? = 寺1L:.11Xn一c一一1)一2.一旷=0一’ 利用逐项积分定理[12-13],得 』1=』1(一1)』 参考文献: 主』(?n一(:(y)t-le-(n+1)y)t-1Xn+2)dxt-le-(n=On=O = ?f(1n一c:?(),):1u 出=主n=0 面1. [1]华罗庚.高等数学引论:第3册[M].北京:科学出版社,2009. [2]陈纪修,於崇华,金路.数学分析: 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ,下册[M].北京:高等教育出版社,2004. [33黄玉民,李成章.数学分析:下册[M].2版.北京:科学出版社,2007. [4]张筑生.数学分析新讲:第3册[M].北京:北京大学出版社,1990. [5]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003. [63TaylorME.PartialDifferentialEquationsI[M].北京:世界图书出版公司,1999. [7]张励.级数理论在余元公式证明中的应用D].天津轻工业学院学报,2003,18(3):63—64. [83宋占奎,於全收.Beta—Gamma函数对余元公式的推导与实现[J].陕西教育学院学报,2007,23(4):85—88. 1 [9]梁世安,敬石心.关于Gamma函数的Legendre公式2V一F():2r()r+一1)的证明[J].长春大学学报,1994,1:48—52. 2 [1o]罗会兰.余元公式r(F(1一n)=—一及其他[J].邵阳高专学报,1994,7(4):301—304. sinaffr [11]赵凯荣.余元公式及简单应用[J].牡丹江师范学院学报,2007,4:3-5. [12]裴礼文.数学分析中的典型问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与方法[M].北京:高等教育出版 社,2002. [133邢家省,付传玲,郭秀兰.函数列积分的极限定理及其应用[J].河 南科学,2008,26(4):383—388. SomeProofsoftheReftectionFormulafortheGammaFunction XingJiasheng (DepartmentofMathematics,LMIBoftheMinistryofEducation,BeihangUniversity,Beijing100191,China) Abstract:ThispaperprovidestwoproofsofthereflectionformulafortheGammafunction.Oneisbasedonthe infinite-productexpansionandtheinfiniterepresentationofGammafunction,andtheothermakesuseofthe seriesrepresentationofBeta-GammafunctionandtheFourierseriesexpansionofthefunction. Keywords:Gammafunction;Betafunction;Reflectionformula