矩阵的合同与相似及其等价条件

矩阵的相似与 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 及其等价条件研究 （数学与统计学院  09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1  矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1]   定义1.1  如果矩阵 可以有矩阵 经过有限次初等变换得到，称 与 是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义1.2  如果 阶矩阵 可以由 阶矩阵 进过有限次初等变换得到，则称 与 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述： 定义1.3  设矩阵 , 为n阶矩阵，如果存在 阶可逆矩阵 和 ,使得 ,则称矩阵 与 等价，记作 ∽ . 1.2  矩阵相似的定义[2] 定义1.4  设矩阵 ， 为n阶矩阵，如果存在一个是 阶可逆矩阵P，使得 ,则称矩阵 与矩阵 相似，记作 ～ . 1.2.1  阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1  反身性，即任一 阶矩阵A与自身相似. 性质1.2  对称性，即如果 ～ ，则 ～ . 性质1.3  传递性，如果 ～ ， ～ ，则 ～ . 性质1.4  .    （ 是任意常数） 性质1.5  .      性质1.6  若矩阵 与矩阵 相似，则 与 相似.        （ 为正整数） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问   存在一个可逆矩阵 ，使得 ，那么 ，故可以得到 与相 相似. 性质1.7  如果矩阵 、 都是满秩，则 ～ ，那么 ～ . 证明 存在一个可逆矩阵 ，使得 ，那么 ，故可以得到 ～ . 性质1.8  如果矩阵 ～ ，那么 . 证明  存在一个可逆矩阵 ，使得 ，又因为 ， ，故可以得到 . 性质1.9  相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似. 证明   设 ，若矩阵B可逆， ，从而 和 也相似. 若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆. 性质1.10  相似矩阵有相同的特征值. 证明   设 ， 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值. 性质1.11  相似矩阵有相同的迹. 证明   可以设矩阵 与矩阵 相似，那么存在一个可逆矩阵 ,使得 ， 例1 ， ，求分别求矩阵 、 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵 与 是否相似，它们之间有什么关系？ 解  从已知可知 ， 对于 的特征多项式 故A的特征值为2和3. 对于矩阵 , ， 矩阵 的特征多项式 . 故矩阵 的特征值是2和3. 存在一个可逆矩阵 使得 ，从定义矩阵 与矩阵 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]. 例2  设实数域上的3级实对称矩阵 ，对角矩阵 .求矩阵 、 的特征值，特征多项式并且矩阵 与矩阵 相似吗？如果相似求出可逆矩阵 . 解  由矩阵 的特征多项式为 故矩阵 的特征值为5和—4. 容易知道矩阵 的特征多项式和矩阵A的相同， 故矩阵 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵 , 验证得到 ，那么矩阵 与矩阵 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3  矩阵合同的定义[2] 定义1.5  设 ， 为 阶矩阵，如果存在一个 阶可逆矩阵 ，使得 ，则称 与 合同，记作 . 阶矩阵的合同关系具有下列性质： ⑴ 反身性:  即任一 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性:  即如 与 合同，则 与 合同. ⑶ 传递性:  与 合同， 与 合同，则 与 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. 2.  合同矩阵与相似矩阵的关系 2.1  矩阵的相似与合同的相同点[5]. ⑴  从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性. ⑵  相似 、合同矩阵均有相同的秩. 若矩阵 相似与矩阵 ，则 ，若矩阵 合同于矩阵 ，则 .可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. ⑶  相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵 于矩阵 相似，则要求 、 都是方阵；若 合同与 ，则要求 、 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2  矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如 ～ ，则 ， 与 有相同的特征值.但若 ，那么 与 的行列式的值不一定相等； 与 也不一定有相同的特征值. 例1  设 , , , 不难验证： ，有 . 我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵 为正交矩阵，故 ～ ，矩阵 的行列式可以等于 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况. 例2  ， ， . 经过验证可以知道 ， ，然而 ， ，可以得到矩阵 合同于 ，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设 ～ ，则有可逆矩阵 ，使得 ，于是 = = 故特征值相同. 然而对于矩阵A合同与矩阵B，但是它们的特征值不一定相同: 例3  设 ， ， 不难验证 ,即 ，但是 的特征值为 和 ，B的特征值为 和 显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7]. 结论2.1  相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵. 证明  设 级矩阵 、 相似，从定义知道存在 阶矩阵 ，使得 ，从等价的定义 . 反过来，对于矩阵 ， ， 与 等价，但是 与 并不相似. 结论2.2  合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵. 证明  设 阶方阵 合同，由定义1.5有，存在 阶可逆矩阵 ，使得 ， 若记 ,则有 因此由定义1.3得到 阶方阵 等价. 反过来对于矩阵 , 等价，但是 与 并不合同，即等价矩阵未必合同． 2.4矩阵合同与相似的关系[7] 结论2.3  如果 与 都是 级对称矩阵，且有相同的特征值，则 与 既合同又相似. 证明  设 、 的特征值均为 、 、 ，因为 与 都是 级实对称矩阵，则一定存在 阶正交矩阵 ，使得： 同理，可以找到一个正交矩阵 ，使得： 从上面两式有：                        将上式两边分别左乘 和又乘 ，得： 由于                                  故 可逆，又由于：      （ 所以 是正交矩阵 故 ～ 结论2.4  若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同． 证明  不妨 是正交矩阵,则 可逆取, , 有 ，则 与 相似， 又 是正交阵，所以 与 既相似又合同. 结论2.5  若 ～ ,且 ， ～ 且 ，则                ～ ， 证明  从已知， ～ , ～ ，故存在可逆矩阵 ， 使得 令 则                            且                    故                        ～ 又因为 ，，故存在可逆矩阵 ， ， 使得                      令 则                        然而              故                            3  相似矩阵的应用 3.1  相似矩阵的简单应用[8] 在矩阵 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得 ，其中 为可逆矩阵, 对角矩阵，可知矩阵 与矩阵 相似，那么 ，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。利用相似的关系把矩阵化简为对角矩阵，但并不是所有的矩阵都可以对角化. 例1  求 （ 是任一个正整数）： 解  由已知矩阵A的特征多项式为   故                              故有特征值为: ，或3. 可以看到2阶矩阵 有两个不同的特征值，故可以对角化. 当 时, ， ，得到特征向量（2 ，1）. 当 时, ，同理可以得到特征向量（1 ，1）. 存在 ，求得 ， 即 3.1.1实对称矩阵一定相似于对角矩阵. 例2  设 ，求正交矩阵 ，使得 为对角矩阵. 解  计算可得 ，所以 , . 当 时,得到特征向量 , 当 时,得到特征向量 将特征向量单位化，得 ， ， 令 ，则 为正交矩阵，且 即 正交相似与对角矩阵. 3.1.2  矩阵不可以化为对角矩阵的情况[9]. 例3  设矩阵 ，可以得到 . 得到特征值 ( 重). 当 时,得到特征向量 当 时,得到特征向量 只有两个特征向量,故矩阵 不可以对角化. 3.2  矩阵合同的应用[10] 矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下面介绍几种求实对称矩阵合同标准型的方法： 3.2.1  非退化线性替换 例1  用正交替换把实二次型 化为标准型. 解  令 则                      3.2.2  利用配方法把二次型化成标准型. 例2 二次型 解   令 则                      3.2.3 通过矩阵成对的初等行、列变换法. 例3 用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K上二次型化成标准形， 解  的矩阵是 ，那么 .经过成对的初等行列变换得到: 对角矩阵矩阵 ，可逆矩阵 ，令 ， 得                      结论 基于对矩阵相关知识概念的了解.本文对矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的概念的把握,同时阐述了矩阵的等价、相似、合同的三者的关系.给予了矩阵的相似的应用,矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相似标准型和合同标准型把矩阵对角化使问题简单化.再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替换,配方法和成对的初等行列变换.通过一些实例使我们更清楚的了解矩阵的相似于合同及其等价三者的联系，对以后的学习提供的帮助和进一步了解.  参考文献 [1]  智婕. 矩阵等价、相似、合同联系[J].牡丹江师范学院报.2006,(3):6. [2]  张禾瑞. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社.1983:190-202. [3]  丘维声. 高等代数(第二版).北京:高等教育出版社.2002:192-199. [4]  卢刚. 线性代数[M].北京:高等教育出版社.2005:101-179.    [5]  耿秀荣. 概念辨析过程数学变式教学[D].山东师范大学数学系硕士学位论文.2001,32-42. [6]  王晓玲,候建文. 矩阵三种关系间的联系[J].山西农业大学学报.2004,(2):188-190. [7]  马蔚华. 矩阵的相似与合同之等价条件的探究[J].湖南广播电视大学学报.2000,(4):70-71. [8]  李样明，金玲玲. 关于矩阵合同关系的几个问题[J].广东教育学院学报.1995,(2):25-27. [9]  吴赣昌. 线性代数[M].北京:中国人民大学出版社.1994:198-224. [10]  同济大学教研室. 线性代数[M].北京:高等教育出版社.2003:215-243. 致  谢 我所撰写的学位论文是在导师王晶晶认真指导下完成的.她严格地要求我，认真的的指导. 老师渊博的知识认真的态度也使我受益匪浅，这对于我以后的工作学习都具有很好的示范作用.我的论文的撰写和校对过程中，还得到了许多同学的帮助，同学和老师都给予我很大的帮助,使我熟悉了撰写论文的一般格式和许多注意事项,对论文的写作又有了深刻的认识. 最后感谢王老师的辛勤指导.