关于混合偏导数的注记
二元函数 Z = f ( x，y ) 的两个二阶混合偏导数 f，f在 xyyx
区域 D 内连续,则在 D 内必有
f= f成立。xy yx 解: f ( x，y ) 一阶偏导数为 注 1 对于三元及三元以上的函数,也可类似地
定义高阶偏导数,且在偏导数连续的条件下,高阶混
合 偏 导 数 与 求 导 顺 序 也 无 关( 混 合 偏 导 数 的 无 序
性) 。
注 2 定理的条件充分非必要。
注 3 若 f，f，f在点 ( x，y) 的某邻域内存在,f xyxy 00 x
在点 ( x，y) 处连续,则 f( x，y) 存在,且 f( x，y) = 00 yx 00 xy 00 f( x，y) 。yx 00 于是
注 3 告诉我们,二元函数的二阶混合偏导数只
要求出一个是连续的,那么另一个不需求出也知道 它一定存在,且等于已求出的混合偏导数。
注 4 若 f，f在点 ( x，y) 的某邻域内存在,f在 xy 00 xy
( x， y) 的某去心邻域内存在,且 lim f( x， y ) 存 00 xy ( x，y) ? ( x，y) 00
在,则 f( x，y) 存在,且 f( x，y) = f( x，y) 。 yx 00 xy 00 yx 00
注 5 若 f， f在点 ( x， y) 的某邻域内存在且在 xy 00
点 ( x，y) 可微,则 f( x，y) = f( x，y) 。 00 xy 00 yx 00
注 3、注 4、注 5 是比定理 1 条件弱的两个混合 注意本例中 f ( x， y ) 在 ( 0， 0 ) 点的两个混合偏导 偏导数相等的充分条件。
收稿日期:2011) 0 5 )1 4
基金项目:福建农林大学青年教师基金项目( 201002)1 。
作者简介:薛凌霄 ( 1982) ) ,女,福建仙游县人,福建农林大学讲师,硕士,主要从事高等数学教学与研究工作。
求导,得:
例 2 设 z =x ln ( xy ) ,求
学生解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
如下: ? 混合偏导无序性,先对 x 后对 y 和先对 y 后 由( 2) 可得 代入( 1) 得: 对 x 一样。
上式对 y 求偏导( 此时 x，z 都当成常数) ,得: 事实上,这个理解出现了偏差,如何理解无序
性? 指的是两个同阶的连续的高阶混合偏导数若要
相等,两个混合偏导数对 x 和对 y 的偏导次数一样 解法 2 ( 无序性)z = sin ( x + z ) 确定了函数 z = z 时,可以通过交换,将对 x 和 y 求偏导的先后次序转 ( x ) ,于是 u = x ( z ( x ) + y ) ,此式两边对 y 求偏导得: 化 为 另 一 个 。本 题 中 对 x 求 偏 导 2
次,对 y 求偏导 1 次; 与 对 x 求偏导 由连续混合偏导无序性 1次 ,对 y 求 偏 导 2 次 ,它们的偏 导次数不一样 ,根
由例 2 和例 3 可知混合偏导如何求要视题目而 本 就 不 相 等 。但若混合偏导是连 续 的 ,则 定,有时利用无序性可以减少很多工作量。同样,若 f
( x， y ) 在点 ( x， y ) 有直到 n 阶的连续偏导数,就可简
写偏导数为: 在科学和工程技术的实际应用中,往往认为所
出 现 的 偏 导 数 是 连 续 的 , 所 以 不 介 意 求 偏 导 的
次 序。例如 就概括了六种不同次序的四阶混合 无论求导数的顺序如何,只要对 x 求偏导 次, λ 偏导数 对 y 求偏导 k ) 次即可。 λ
f，f，f，f，f，f。xxyyxyxyyxxyxyyxyxyxyyxx
求高阶偏导数时,只需要逐次地求偏导数就可 参考文献:
[ 1 ] 李德新 ,高等数 学 ( 理工类 ) [ M ] ,厦门 : 厦门大学出版 以了。例 2 的正确解答如下:
社,2007, 380 )4 30,
解: [ 2 ] 裴礼文 ,数学分 析中的典型问题与
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
[ M ] ,北 京 : 高等
教育出版社，2001, 567 )57 1,
[ 3 ] 李德新 ,高等数 学学习与解题指导 [ M ] ,厦门 : 厦门大学 出版社,2009, 321 )3 70,
例 3 设 u = x ( z +y ) ，z = sin ( x + z ) ,求 [ 4 ] 复旦大学数学系 ,数学 分析( 下册) [ M ] ,北京 : 高等教育 分析: 本题由 2 个方程确定,确定了 1 个二元函 出版社 ,1 9 83，144 )2 24,
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