欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
在理想情形下,一函数的最大值及最小值会出现在其导数为0的地方。同样地,求解变分问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点(x1,y1) and (x2,y2)最短曲线的例子,
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
求解的过程。曲线的长度为
其中
f(x1) = y1, f(x2) = y2.
函数f 至少需为一阶可微的函数。若 f0 是一个局部最小值,而 f1 是一个在端点 x1 及 x2 取值为零并且至少有一阶导数的函数,则可得到以下的式子
其中 ε 为任意接近 0 的数字。
因此 A[f0 + εf1] 对 ε 的导数( A 的一阶导数 ) 在 ε=0 时必为 0。对任何的函数 f1,下式均成立:
此条件可视为在可微分函数的空间中,A[f0] 在各方向的导数均为 0。 若假设 f0 二阶可微(或至少弱微分存在),则利用分部积分法可得
其中 f1 为在两端点皆为 0 的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例:
其中 f1 为在两端点皆为 0 的任意可微函数。
若存在 使 H(x) > 0,则在 周围有一区间的 H 也是正值。可以选择 f1 在此区间外为 0,在此区间内为非负值,因此 I > 0,和前提不合。 若存在 使 H(x) < 0,也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论:
由结论可推得下式:
因此两点间最短曲线为一直线。
在一般情形下,则需考虑以下的计算式
其中 f 需有二阶连续的导函数。在这种情形下,拉格朗日量L在极值 f0 处满足欧拉-拉格朗日方程
不过在此处,欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件,并不是充分条件。