电力电子器件orcad教程orcad教程第3章 瞬态分析

第3章 瞬态 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 线性网络的瞬态分析就是建立和求解常微分方程组的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。数值积分法是求解常微分方程组常用的有效 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。因为数值积分法可以将连续的解析解变成离散的数值解；将微分关系变成差分关系；然后，依据这种差分关系构成等效物理模型瞬态伴随网络模型。于是，就可以应用类似于直流电路的稳态分析的各种分析方法进行运算。下面先介绍几种常用的数值积分法，再介绍瞬态伴随网络模型。 1 常用的数值积分法 对于线性一阶电路进行瞬态分析时，可用下面的一阶常微分方程组的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式表示 式中，x是电路变量列向量，是x对t的导数，为x的初始值，t是连续区间[内的时间变量。 数值积分法的要点是：先将连续的时间区间，分成若干个离散的时间点，即令： 然后，在这些时间点上用差分方程（代数方程）代替微分方程，再逐点求出该时刻的近似解： 初始条件就是网络的静态工作点的x值。两相邻时间间隔： 称为第n步的时间步长（简称为步长）。当各步长均相等时，称为定步长计算，反之称为变步长计算。 数值积分法有多种，本节介绍：前向欧拉法、后向欧拉法和梯形法。吉尔算法在下节介绍。 1．1 前向欧拉法（Forward Euler Algorithm 简称FEA） 为简便起见，先以单个微分方程为例，即 其精确解为 x=x(t)。将它在 处，按台劳级数展开，则有 若令 ,由于 很小，可取前两项为近似解，即 若令 则得 ……（3-2） 此即前向欧拉法（Forward Euler Algorithm 简称FEA）的迭代公式，它的几何意义如图3-1所示。即在区间内，其真实解x(t)是以一条通过点的直线段来近似替代，其斜率等于曲线x(t)在点的斜率。 图3-1 前向欧拉法的几何意义 1.2 后向欧拉法（Backward Euler Algorithm 简称BEA） 如果用后向差商 代替微分方程 中的导数项，可得 ……（3-3） 此即后向欧拉法（Backward Euler Algorithm 简称BEA）的迭代公式。 在计算时，由于方程的右端含有未知量，故式(3-3)称为“隐式”积分公式。它比“显式”积分公式的计算，要困难得多。 如果用FEA公式(3-2)预估的值为，再代入式(3-3)去计算，则隐式方程(3-3)可用式(3-4a)及(3-4b)两个显式方程所代替，此时迭代公式为 (3-4a) (3-4b) 对于单个微分方程后向欧拉法（BEA）的迭代公式的几何意义如图3-2所示。即在 区间内，其真实解x(t)，以一条通过点的直线段来近似替代，其斜率等于曲线x(t)在点的斜率为。 图3-2 BEA迭代公式的几何意义 1.3 梯形法（Trapezoidal Rule Algorithm 简称TRA） 梯形法的迭代公式为 ……（3-5） 显然，式（3-5）为隐式方程，也可仿照BEA处理方法用两个显式方程来代替，此处从略。 对于单个微分方程来讲，梯形法的迭代公式的几何意义是在区间内，将真实解x(t)中第2项用两个时刻的曲线斜率的平均值进行计算。 1.4 FEA、BEA和TRA的稳定性 显然，用数值积分法求解微分方程时，每一步都会带来误差，如随着计算步数的增多，误差逐步扩大以致于远远偏离真实解时，则称其为不稳定的；如其误差逐步缩小，则称其为稳定的。关于局部截断误差等的介绍见第5章第8节。下面分别讨论FEA、BEA和TRA的稳定区域问题。 设含有线性定常元件的一阶电路的试验方程为 ……（3-6） 式中，当为实数时；当为复数时，则式(3-6)为稳定方程，其解答为 为初始值 ①应用FEA公式时 第1步 第2步 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET 第n步 显然，当时，要使有界，必须 ……（3-7） 式(3-7)即为FEA的稳定条件 当设为复数 ……（3-8） 将其代入式(3-7)则得 ……（3-9） 这是a b复平面上，圆心在(-1,0)处，单位圆的内域如图3-3所示。 图3-3 FEA的稳定区域 ② 应用BEA公式时 第1步 第2步 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET 第n步 显然，当时，要使有界，必须 ……（3-10） 若将式(3-8)代入上式，则有 于是 ……（3-11） 这是a b复平面上，圆心在(1,0)处单位圆的外域如图3-4所示。 图3-4 BEA的稳定区域 ③应用TRA公式时 若应用梯形公式：，求解： ，可得 第1步 第2步 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET 第n步 显然，当时，要使有界，必须 ……（3-12） 亦即 上下分别取绝对值 ……（3-13） 图3-5表示TRA的稳定区域。 图3-5 TRA的稳定区域。 2 刚性问题的求解 2.1 刚性（Stiff）问题 在求解稳定的高阶微分方程时，有时几个特征根（或为负实数或为负实部的复数）的数值可能相差极大，甚至大到几个数量级，这就是电路分析中遇到的刚性问题，这样的方程称为刚性方程。在电子电路的计算中，寄生电容、寄生电感等元件的衰减系数，往往比耦合电容或旁路电容等参数产生的衰减系数大几个数量级。事实上，非线性电子电路所列的微分方程，大多是刚性方程。 可用下例说明刚性问题：某电子电路输出电压的完全响应为 (3-14） u(t)的波形如图3-6所示。 图3-6 刚性问题解答的示意图 显然，式(3-14)的第二个分量的衰减系数极大，一瞬间即将结束；但式(3-14)的第一个分量却需4～5秒才会接近稳态，为了描述u(t)的全过程，计算时间至少需5秒以上。而开始瞬间为了保证计算精度，所取步长必须足够小，小到能与微秒相比较，但一旦瞬态分量结束，若还维持微小的定步长，必将浪费大量机时，有时还会达到无法实现的地步；所以，要求能自动地逐渐地加大步长，即采用变步长来加以调整。吉尔（Gear)算法能够满足这种变步长计算的要求。 2．2 吉尔（Gear)算法 不论是前向欧拉法还是后向欧拉法，都只是由一个时间点上的函数值来计算当前时刻的函数值，故称为单步（定步长）积分法。显然，它们不能用来计算刚性方程。吉尔（Gear)算法是多步积分法，为了确保此法的稳定，它的一般形式为 ……（3-15） 式中，P 为积分公式的阶或称积分步数，式（3-35）是利用各个不同时间点上的不同函数值及其一阶导数来计算时刻的函数值。显然，FEA、BEA及TRA均为其特例，因为当取积分步数p=1时： 如果 式(3-15)为FEA公式。 如果 式(3-15)为隐式的BEA公式。 如果 式(3-15)为隐式的TRA公式。 由此可见，只有取积分步数p＞1时，式(3-15)才是多步积分公式。 为了计算方便，Gear令从而提出了一种特殊的稳定的多步积分公式为 即 ……（3-16） 式中，取积分步数p=k＞1,但导数项只取时刻的值。显然，式（3-16）是由(k+1)项组成的。要得到精确解，必需确定k+1个系数。由于已知一个初值问题的解析解x(t)可用一个k次多项式来描述，即 x(t)（3-17） 若采用待定系数法确定式（3-16）中 诸参数，可写出不同时刻式（3-17）的一系列表达式。要注意，当t取不同时刻时，括号中的值将为步长h的不同整数倍。即当令 时，有 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image587.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image588.gif" \* MERGEFORMATINET 于是得 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image594.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET 依据式（3-17） 可得 若将上述各表达式代入式（3-16）则有 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image600.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image538.gif" \* MERGEFORMATINET 比较等式两端 相应项的系数，可得下列的矩阵 ……（3-18） 当选取不同的k值时，由式（3-18）可确定各不相同的 等系数，从而将得到不同的多步积分公式： 若取k=1，可求得 可得 是隐式BEA公式。 若取k=2，由式（3-18）得 解此方程组，可得 代入式（3-16） ，得二阶Gear公式： 若取k=3，由式（3-18）得 解此方程组将结果代入式（3-16），得三阶Gear公式： 再取k=4，5，6 同理可求得四、五、六阶Gear公式的系数。一～六阶Gear公式的系数，见表3-1。 表3-1(1) 一～六阶Gear公式a的系数 k 1 1 　 　 　 　 　 2 4/3 －1/3 　 　 　 　 3 18/11 －9/11 2/11 　 　 　 4 48/25 －36/25 16/25 －3/25 　 　 5 300/137 －300/137 200/137 －75/137 12/137 　 6 360/147 －450/147 400/147 - 225/147 72/147 －10/147 表3-1（2）一～六阶Gear公式的系数 k 1 1 2 2/3 3 6/11 4 12/25 5 62/137 6 60/147 由上可见，一个k阶Gear公式，就是一个k步数值积分公式。 3 瞬态伴随网络模型 前面曾提过，如果应用FEA、BEA…等数值积分公式，可把含动态元件（C或L）电路的微分方程转化为差分方程，而此差分方程可以用瞬态伴随网络模型来近似地描述。这样一来，动态电路的瞬态分析就可以转换为电阻电路的直流分析。下面介绍与FEA、BEA…等数值积分公式相对应的瞬态伴随网络模型。 3.1 线性无源元件的瞬态伴随网络模型 ① 电容元件的瞬态伴随网络模型 设线性电容C中电流与其端电压的参考方向一致，如图3-7所示。则有 图3-7 电容元件 （a）对应BEA公式（3-2），可得 即 ……（3-19） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）如图3-8所示。 图3-8电容的瞬态伴随网络模型 图中， 为等效电导； 为等效电流源。 （b）对应TRA公式（3-5），可得 即 ……（3-20） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）仍然如图3-8所示，只不过其中的：等效电导为，等效电流源为。 （c）对应二阶Gear公式（见表1-2），可得 即 ……（3-21） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）依然如图3-8所示，只不过其中的：等效电导为，等效电流源为。 从式(3-19)和(3-20)可以看出，当计算步长很小时，将累积很大的舍入误差，有时将导致计算的失败，而应用二阶Gear公式所得的式(3-21)则要好些。 ② 电感元件的瞬态伴随网络模型 设线性电感L中电流与其端电压的参考方向一致，如图3-9所示。则有 图3-9 电感元件 （a）对应BEA公式，可得 ……（3-22） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）如图3-10所示。 图3-10 电感的瞬态伴随网络模型 图中， 为等效电导； 为等效电流源。 （b）对应TRA公式，可得 即 ……（3-23） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）仍然如图3-10所示，只不过其中的：等效电导为，等效电流源为。 （c）对应二阶Gear公式，可得 即 ……（3-24） 对应这个公式（数学模型）的瞬态伴随网络模型（物理模型）依然如图3-10所示，只不过其中的：等效电导为，等效电流源为而已。 ③ 耦合电感元件的瞬态伴随网络模型 设耦合电感电压与电流为相关连的参考方向和同名端如图3-11所示。写出方程为 图3-11 耦合电感元件 可解出： 式中，，， 对应BEA公式时 ……（3-25） 对应TRA公式时 ……（3-26） 对应二阶Gear公式时 INCLUDEPICTURE "http://info.jlu.edu.cn/~jiaowuchu/dzjc/wang2/image666.gif" \* MERGEFORMATINET ……（3-27） 耦合电感元件的瞬态伴随网络模型，如图3-12所示。 　 若采用BEA公式，将时间离散化，则有 图3-12 耦合电感元件的瞬态伴随网络模型 图中，等效电导、 和等效互导，等效电流源 、 对应于各个积分公式其值是不同的： 对应式(3-25) 、、 、 对应式(3-26) 、 对应式(3-27) 、 、 3.2 非线性电容元件的瞬态伴随网络模型 一般电子电路中不仅有非线性电阻元件；还有非线性电容元件、非线性电感元件。可依上节所述得出相应的瞬态伴随网络模型。一般非线性电容元件，多是电压控制型的非线性电容元件；工程上，所用的非线性电感元件多是含铁心线圈的，而铁磁材料的韦安特性，要用磁滞回线来描述，因为之间不是单值函数，它既不是电流控制型的也不是磁链控制型的非线性电感，建立其瞬态伴随网络模型较比困难些。在这里，仅介绍电压控制型的非线性电容元件的瞬态伴随网络模型。 设电压控制型的非线性电容元件如图3-13所示。它的库伏特性为 ……（3-28） 若采用BEA公式，将时间离散化，则有 ……（3-29） 式中，是时刻的电荷待求量，是时刻的电荷量，步长。 图3-13 电压控制型的非线性电容元件 依据牛顿拉夫逊的迭代公式，求。 设在迭代第k步时，电压为u ，当很小，可在u附近展成台劳级数，并略去高次项，得 （3-30） 将式（3-30）代入式（3-29）可得第k+1步时的电流为 （3-31） 若定义非线性电压控制型的电容在第k步迭代时的表达式为 （3-32） 于是，式（3-31）可写成 （3-33） 式中， 对应式（3-33）得电压控制型的非线性电容元件的瞬态伴随网络模型，如图3-14所示。 图3-14 非线性电容元件的瞬态伴随网络模型 4 “瞬态伴随网络模型” 分析法 对于电子电路的动态过程分析，大多是非线性电路的瞬态分析。一般地说前面所述的几种数值积分法，皆可应用于非线性微分方程的求解。用“瞬态伴随网络模型” 分析法求解时，先应用FEA、BEA和TRA等的迭代公式，将其化为离散值（几十个点到几百个点），即将非线性微分方程转化为非线性代数（差分）方程，然后再用牛顿拉夫逊法的迭代公式求解每一个离散值，相当于求解一次非线性代数方程，即进行若干次牛顿迭代，于是，瞬态分析所需要的总的迭代次数是离散化迭代次数与牛顿迭次数的乘积，这意味着计算量是很大的。因此，电路分析中运用最多、最复杂，而且计算机资源耗费最高的部分是进行动态过程分析。现举例说明如下： 例：一个简单RC电路如图3-15a所示。t=0时将开关闭合，取步长h=0.1s，终止时间T=10s，电容电压的初始值为2V。试用“瞬态伴随网络模型” 分析法，计算节点电压和电容中的电流。 解：需分步进行。 第1步，求t=0时刻，节点电压和电容中的电流的初始值。按图3-8所示，将电容的初始电压用一个独立源替代，电容用（相对地）小电阻替代，构成t=0时刻的替代电路，如图3-15b所示。 列写节点电压方程为 　 图3-15 第2步，求t>0各时刻的节点电压和电容中的电流。 在计算各时刻值时，许将原电路用相应时刻的瞬态伴随网络模型替代。 t=h时，用瞬态伴随网络模型替代后的电路如图3-15c所示。图中， 列写图3-1c所示电路的节点电压方程 t>t1各时刻的求法与第2步相同，不再复述。 返回目录