第34周 行程问题

第三十四周 行程问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （二） 专题简析： 在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。 例题1： 甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后1 EQ \F(1,4) 分钟于到丙，再过3 EQ \F(3,4) 分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的 EQ \F(2,3) ，湖的周长为600米，求丙的速度。 甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。甲、乙的速度和为600÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) ）=120米/分。甲、乙的速度分别是：120÷（1+ EQ \F(2,3) ）=72（米/分），120—72=48（米/分）。甲、丙的速度和为600÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) +1 EQ \F(1,4) ）=96（米/分），这样，就可以求出丙的速度。列算式为 甲、乙的速度和：600÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) ）=120（米/分） 甲速：120÷（1+ EQ \F(2,3) ）=72（米/分） 乙速：120—72=48（米/分） 甲、丙的速度和：600÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) +1 EQ \F(1,4) ）=96（米/分） 丙的速度：96—72=24（千米/分） 答：丙每分钟行24米。 练习1： 1、甲、乙、丙三人环湖跑步。同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。在甲第一次遇到乙后1 EQ \F(1,4) 分钟第一次遇到丙；再过3 EQ \F(3,4) 分钟第二次遇到途。已知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。 2、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，劢还要走多少米才能归到出发点？ 3、如图34-1所示，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。求这个圆的周长。 例题2： 甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的 EQ \F(2,3) ，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了 EQ \F(1,3) ，乙跑第二圈时速度提高了 EQ \F(1,5) 。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？ 根据题意画图34-2：甲、乙从A点出发，沿相反方向跑，他们的速度比是1： EQ \F(2,3) =3：2。第一次相遇时，他们所行路程比是3：2，把全程平均分成5份，则他们第一次相遇点在B点。当甲A点时，乙又行了2÷3×2=1 EQ \F(1,3) 。这时甲反西肮而行，速度提高了 EQ \F(1,3) 。甲、乙速度比为[3×（1+ EQ \F(1,3) ）：2]=2：1，当乙到达A点时，甲反向行了（3—1 EQ \F(1,3) ）×2=3 EQ \F(1,3) 。这时乙反向而行，甲、乙的速度比变成了[3×（1+ EQ \F(1,3) ）]：[2×（1+ EQ \F(1,5) ）]=5：3。这样，乙又行了（5—3 EQ \F(1,3) ）× EQ \F(3,5+3) = EQ \F(5,8) ，与甲在C点相遇。B、C的路程为190米，对应的份数为3— EQ \F(5,8) =2 EQ \F(3,8) 。列式为 1： EQ \F(2,3) =3：2 2÷3×2=1 EQ \F(1,3) [3×（1+ EQ \F(1,3) ）：2]=2：1 （3—1 EQ \F(1,3) ）×2=3 EQ \F(1,3) [3×（1+ EQ \F(1,3) ）]：[2×（1+ EQ \F(1,5) ）]=5：3 （5—3 EQ \F(1,3) ）× EQ \F(3,5+3) = EQ \F(5,8) 190÷（3- EQ \F(5,8) ）×5=400（米） 答：这条椭圆形跑道长400米。 练习2： 1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从A处到C处要12分钟，从B处到A处要15分钟，从C处到B处要11分钟。从A处到B处需要多少分钟（如图34-3所示）？ 2、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在B地相遇。已知B地与C地的距离是4千米。且小汽车的速度为摩托车速度的 EQ \F(2,3) 。这条长方形路的全长是多少千米（如图34-4所示）？ 3、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环形跑道有多少米？ 例题3： 绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？ 小张的速度是每小时6千米，50分钟走5千米，我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表： 小王 时间 1小时5分 2小时10分 3小时15分 行程 4千米 8千米 12千米 小张 时间 1小时 2小时 3小时 行程 5千米 10千米 15千米 12+15=27，比24大，从上表可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间。出发后2小时10分，小张已走了10+5÷（50÷10）=11（千米），此时两人相距24—（8+11）=5（千米）。由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是5÷（4+6）=0.5（小时），而2小时10分+0.5小时=2小时40分。 小张50分钟走的路程：6÷60×50=5（千米） 小张2小时10分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米） 两人行2小时10分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米） 两人共同行5千米所需时间：5÷（4+6）=0.5（小时） 相遇时间：2小时10分+0.5小时=2小时40分 练习3： 1、在400米环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？ 2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去4小时。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行驶30千米，那么甲、乙两站相距多少千米？ 3、龟、兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？ 例题4： 一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两人游10分钟。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出发后的两分钟 内，二人相遇了几次？ 设甲的速度为a，乙的速度为b，a：b的最简比为m：n，那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若m＞n，且m、n都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了2m次；若m＞n，且m为奇数（或偶数），n为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙（或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m—1）次。 甲速：乙速=3：2，由于3＞2，且一奇数一偶数，一个周期 内共相遇（2×3—1=）5次，共跑了[（3+2）×2=]10个全程。 10分钟两人合跑周期的个数为：60×10÷[90÷（2+3）×10]=3 EQ \F(1,3) （个） 3个周期相遇（5×3=）15（次）； EQ \F(1,3) 个周期相遇2次。 一共相遇：15+2=17（次） 答：二人相遇了17次。 练习4： 1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？ 2、一游泳池道长100米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？ 3、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为 每小时18千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又经过了2秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？ 例题5： 甲、乙两地相距60千米。张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？ 因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这样我们可以求出两人合走60千米所需的时间为[60÷（1+0.8）=]33 EQ \F(1,3) 分钟。因此，张明从甲地到乙地的时间列算式为 60÷（1+0.8）×2=66 EQ \F(2,3) （分钟） 答：张明经过66 EQ \F(2,3) 分钟到达乙地。 练习5： 1、A、B两地相距90千米。一辆汽车从A地出发去B地，前一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米。这辆汽车经过多少时间可以到达B地？ 2、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环行跑道行走。甲每分钟走80米，乙蔑分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？ 3、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？ 答案： 练1 1、 甲、乙的速度和：2000÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) ）＝400 甲速：400× EQ \F(3,3+2) ＝240米/分 乙速：400× EQ \F(2,3+2) ＝160米/分 1、 丙的速度和：2000÷（1 EQ \F(1,4) +3 EQ \F(3,4) +1 EQ \F(1,4) ）＝320米/分 丙速：320－240＝80米/分 2、 兄、妹二人共行一周的时间：30÷（1.3+1.2）＝12秒 第10次相遇时妹所行的圈数：1.2×10×12÷30＝4.8圈 即4圈又24米 再行的米数：30－24＝6米。 3、 A到D的距离：80×3＝240米 A到B（半周长）距离：240－60＝180米 圆的周长：180×2＝360米 练2 1、 绕一圈所需的时间：（12+15+11）÷2＝19分 从A到B处所需的时间：19－15＝4分 2、 4×2÷ EQ \F(3-2,3+2) ＝40千米 3、 100÷（2－1）×（3+1）＝400米 练3 1、 每跑100米，乙比甲多用时间：100÷4－100÷5＝5秒 甲追上乙要多跑100米需20秒，休息4次：20÷5＝4次 100×4＝400米 100×5＝500米 停了4次，共用的时间：20×5+40＝140秒 2、 45：30＝3：2 4× EQ \F(2,3+2) ×45＝72千米 3、 10000÷80＝125分钟 25×（10000÷400÷5－1）+10000÷400＝125分钟 练4 1、 【（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,3.2) ）】×48－1÷2+1＝16次 2、 【（81+89）×15－100】÷（100×2）+1＝13次（取整数部分） 3、 甲速：（5×6－15）÷6＝2.5米/秒 乙速；（15－5×20÷2=2.5米/秒 汽车离开乙时，两人相距的路程：5×（30+2）－2.5×（30+2）＝80米 相遇时间：80÷（2.5+2.5）＝16秒 练5 1、 90÷（60+40）×2＝1.8小时 2、 400÷80＝5分 400÷50＝8分 5和8的最小公倍数是5×8＝40 3、 甲、乙两人同时并排起跑到第一次相遇共用的时间：300÷（5－4.4）＝500秒 第一次相遇时，甲共行的路程：5×500＝2500米 第一次相遇在起跑线前面的距离：2500÷300＝8圈……100米