运筹学——安全工程案例

运筹学典型题型案例集（附lindo软件使用） 河北科技大学 安全工程专业 第一章 线性规划 1 生产计划问题（（摘自王治祯 环境应用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 309页）） 某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。 副产品 废品 A B C 最大日产量/件 甲 10 5 3 400 乙 6 10 2 300 丙 4 5 4 200 利润 5 8 2 解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3 Max Z =5X1+8X2+2X3 10X1+5X2+3 X3<=400 6X1+10X2+2 X3<=400 4X1+5X2+4X3<=200 经过求解 X1=34.23，X2=8.19 X3=5.37 最大利润为274.4 2 投资问题 解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。 第一年资金量：30万，可投项目：A、B； 故：X1A+X1B＜=30。 第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。 第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D； 故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。 其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。 目标：第三年底收益最大。因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。 则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下： max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D; X1A+X1B<=30; X2A+X2C<=1.2*X1A; X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B; @bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10); 运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 27.50000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1A 12.50000 0.000000 X2A 0.000000 0.6000000E-01 X3A 16.25000 0.000000 X1B 17.50000 0.000000 X2C 15.00000 -0.1000000 X3D 10.00000 -0.2000000 X3B 0.000000 0.2000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 27.50000 1.000000 2 0.000000 0.8000000 3 0.000000 0.5000000 4 0.000000 0.2000000 投资计划解释： 第一年年初 投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元； 第二年年初 投资C项目15万元； 第三年年初 投资A项目16.25万元，投资D项目10万元； 第三年年年末可获最大收益27.5万元。 3 志愿者排班问题 志愿者排班问题解答 解：（1）假设从早上8点开始，整点时有xi位志愿者开始工作，如下表： 时间 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 开始工作人数 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 需要人数 4 4 6 6 8 8 6 6 4 4 6 6 8 8 从20：00开始，工作时间由3小时调整为2小时，但接待时间到22：00为止，刚好为2小时，故此条件不构成限制。 为方便计算，假定x6=x7=0。设每个时间段需要的工作人数为zi，则： ; 目标：所需志愿者最少。 LINGO Model如下： min= X8 +X9+ X10+ X11+ X12+ X13+ X14+ X15+ X16+ X17+ X18+ X19+ X20+ X21; X8>=4; X8+ X9>=4; X8+ X9+ X10>=6; X9+ X10+ X11>=6; X10+ X11+ X12>=8; X11+ X12+ X13>=8; X12+ X13+ X14>=6; X13+ X14+ X15>=6; X14+ X15+ X16>=4; X15+ X16+ X17>=4; X16+ X17+ X18>=6; X17+ X18+ X19>=6; X18+ X19+ X20>=8; X19+ X20+ X21>=8; 运行LINGO软件得到问题的最优解（只列出非零变量）： 最优目标函数值=32.00000 X8=4.000000 X10=4.000000 X11=2.000000 X12=2.000000 X13=4.000000 X15=2.000000 X16=2.000000 X17=4.000000 X19=2.000000 X20=6.000000 根据运行结果，最优时间表确定如下，此时最少人数为32人 时间 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 开始工作人数 4 0 4 2 2 4 0 2 2 4 0 2 6 0 需要人数 4 4 6 6 8 8 6 6 4 4 6 6 8 8 （2）没有志愿者愿意在12：00和18：00开始工作，即增加约束条件： X12=0； X18=0。 LINGO Model如下： min= X8 +X9+ X10+ X11+ X12+ X13+ X14+ X15+ X16+ X17+ X18+ X19+ X20+ X21; X8>=4; X8+ X9>=4; X8+ X9+ X10>=6; X9+ X10+ X11>=6; X10+ X11+ X12>=8; X11+ X12+ X13>=8; X12+ X13+ X14>=6; X13+ X14+ X15>=6; X14+ X15+ X16>=4; X15+ X16+ X17>=4; X16+ X17+ X18>=6; X17+ X18+ X19>=6; X18+ X19+ X20>=8; X19+ X20+ X21>=8; X12=0; X18=0; 运行LINGO软件得到问题的最优解（只列出非零变量）： 最优目标函数值=32.00000 X8=4.000000 X10=6.000000 X11=2.000000 X13=6.000000 X16=4.000000 X17=2.000000 X19=4.000000 X20=4.000000 根据运行结果，最优时间表确定如下，此时最少人数为32人 时间 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 开始工作人数 4 0 6 2 0 6 0 0 4 2 0 4 4 0 需要人数 4 4 6 6 8 8 6 6 4 4 6 6 8 8 第二章 灵敏度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解：（1）设每天生产A1产品用奶x1桶，生产A2产品用奶x2桶。则LINGO Model如下： max= 24*3*x1+ 16*4*x2; x1+ x2 <=50; 12*x1+ 8*x2 <=480; 3*x1 <=100; 运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 灵敏度分析结果如下： Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000 生产计划：每天用20桶奶生产A1产品，用30桶奶生产A2产品获利最大，每天可获利3360元。 附加问题： ①由影子价格可知，原料增加1单位，利润增长48元，成本为35元，所以可以买。由灵敏度分析结果，每天最多再购买10桶牛奶。 ②由影子价格可知，时间增加1单位，利润增长2元，所以聘用临时工人的工资最多2元/小时。 ③由灵敏度分析可知，x1系数范围是(72-8,72+24)，当A1产品获利增加到30元/kg时，即x1系数为30*3=90<72+24，在允许范围内，所以不应改变生产计划。 2 课本81页2.12 林敏度分析 第三章 运输问题 1产销平衡的运输问题（摘自王治祯 环境应用数学330页） 某城市有三个工厂,每个工厂生产都产出一定量的剩余物(通称为污染物),本着化害为宝的精神,需将各厂的废物分别输送到本市内其他单位搞综合利用,一直每厂的剩余物和各厂的需要量及运价表,试用表上作业法求满足现有条件的运费最少的分配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 需求地 废品产出地 A B C 产量 甲 10 30 27 30 乙 16 19 22 50 丙 20 15 10 80 需要量 35 40 85 160 解:(中间过程略)最优运送方案表为 需求地 废品产出地 A B C 产量 甲 30 30 乙 5 40 5 50 丙 80 80 需要量 35 40 85 160 此时总运费为2050 2 产销不平衡的运输问题 解：（1）设xij(i,j=1,2,3)为产地i运往客户j的运量，列表如下（运量、运费）： 客户1 客户2 客户3 发量 产地1 X11、10 X12、4 X13、12 3000 产地2 X21、8 X22、10 X23、3 4000 产地3（虚产地） X31、--- X32、--- X33、--- 1500 需求量 2000 1500 5000 建立数学模型如下： min=10*x11+4*x12+12*x13+8*x21+10*x22+3*x23; 目标 x11+x12+x13<=3000; 约束条件 x21+x22+x23<=4000; 约束条件 x31+x32+x33<=1500; 约束条件 x11+x21+x31>=2000; 约束条件 x12+x22+x32>=1500; 约束条件 x13+x23+x33>=5000; 约束条件 运行结果如下：（只列出部分结果） Objective value: 33000.00 Variable Value X11 1500.000 X12 1500.000 X13 0.000000 X21 0.000000 X22 0.000000 X23 4000.000 X31 500.0000 X32 0.000000 X33 1000.000 运输方案：产地1分别给客户1、2发货1500单位； 产地2给客户3发货4000单位； 产地3给客户1发货500单位，给客户3发货1000单位。最低运费为33000。 3 课本104页3.9飞行安全问题转化的运输问题 4 人员分配问题 某检测站在一定时间内要化验一批水样,共分析16个项目,其中重金属A4项,有机物B5项,物理分析C3项,其他分析D4项,在分析期间,一部分人外出采样,站立仅仅有4人能够承担化验任务,根据每人世纪工作情况,化验员甲乙丙丁能完成435４项任务，每人完成不同任务所需要时间见下表所示，求需时最少的分配方案． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 甲 ２ １．５ １．５ ０．５ 乙 １ － ２ １．５ 丙 １．５ １ － １ 丁 １．５ ２．５ ２．５ １．５ 注释：划横线为不能胜任此项工作 解：此例题为运输问题，经过表上作业法，结果为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 甲 ４ 乙 ３ 丙 ５ 丁 １ ３ 此时用时最少为１９． 第四章 整数规划与分配问题 （摘自北京工业大学薛毅编写的数学建模实验） 1监控摄像头的最优安装问题（0-1整数规划） 2 0-1整数规划 课本125页例题6 3 指派问题1 4 指派问题2 （摘自王治祯 环境应用数学334页） 利用5种不同质量浓度的有机废水灌溉5块土质相同的草地,各质量浓度的污水灌溉草地收获量见下表,求最优灌溉方案和最优分配下的最大生产量(单位公斤) 1 2 3 4 5 1 73 82 115 43 67 2 120 78 88 80 50 3 65 90 75 125 40 4 87 130 45 65 100 5 90 45 65 75 80 提示: 将各行都剪去该行最大数,再列效率表,则求最大生产量问题转化为求最小用时问题. 1 2 3 4 5 1 42 33 0 72 48 2 0 42 32 40 70 3 60 35 50 0 85 4 43 0 85 65 30 5 0 45 25 15 10 以下仍按照表上作业指派问题的求解方法来做.最优指派方案为 1 2 3 4 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 此时最佳收获量为120+130+115+125+80=570 第八章 动态规划 1　最短路径问题 ２电器安全可靠性问题（课本216页8.9） ３ 招聘问题（课本216页8.12） 第九章 决策分析 1 风险型决策的决策树法（课本317页11.511.611.8类似） 某厂因生产需要，考虑是否自行研制一个新的安全装置，首先，决定这个研制项目是否需要评审，如果需要评审，则需要评审费5000元，不评审，则可省去这笔评审费用，如进行评审，通过概率为0.8，不通过概率为0.2。研制过程可以采取独立完成和外厂协作形式，如果研制成功，有6万元的收益，若采用本厂独立完成形式，则研制费用为2.5万元，成功概率为0.7，失败概率为0.3；若采用外厂协作性质，成功概率为0.99，失败概率为0.01，但是需要支付4万元的研制费用。试问该厂决策者应该如何决策？（用决策树法求解） 摘自张景林主编安全系统工程149页 答案： 故决策者应该参加项目评审，并且评审通过后应该采用写作完成的策略，此时预期的收益最大为1.082万元。 2 不确定性决策 317页11.1 河北科技大学 环境科学专业 第一章 线性规划 1 生产计划问题（摘自王治祯 环境应用数学301页） 某厂生产甲乙两种产品，设生产1t单位甲产品，排放污水2个单位，排渣2个单位，生产1t单位乙产品，排放污水4个单位，排渣1个单位。甲产品单价位500元，乙产品单价为400元，按照环保部门要求，为了使生产中每天排放的废水和废渣不超过20个和10个单位，问甲乙两种产品各应生产多少，才能使产值最大？要求采用图解法和单纯性法求解，并与lingo求解结果作比较？ 解： 图解法 略 单纯性法略 Lingo程序 max =5X1+4X2 2X1+4X2<=20 2X1+X2<=10 运行结果有惟一最优解，生产甲10/3件，乙10/3件，产值为3000元。 2 江河水质管理问题（摘自王治祯 环境应用数学304页） 某地有三个大型污染源企业，根据江水稀释自净化能力以及下游饮用水要球，允许三个企业排放的BOD5的总量为2.99t/d，根据表求解每个企业排放BOD5的最佳削减率和达到这种削减所需要的资金。 污染源 治理措施 BOD5的最大日削减量 实现最大日削减量所需要的费用万元 削减率% A1 a 1.872 90 80 B2 b 2.628 135 73 C3 c 1.368 43 36 目标函数 min Z =90X1+135X2+43X3 1.872X1+2.628X2+1.368 X3>=2.99 X1<=1 X2<=1 X3<=1 计算结果 X1=0，X2=0.859 X3=0.542 所需要的资金最少为132.977万元 3 城市安全供水问题（摘自王治祯 环境应用数学312页） 一个40万人口的城市，由于工业及人口的不断发展，面临缺水问题，初步估计全市缺水约5000t/d，水源及有关资料见下表，同时要求水质中硫化物，氯化物和可溶性固体分别不超过650，200，100mg/L，是决定最低成本的供水策略。 A河 净化水 B河 地下水 可溶性固体mg/L 100 150 50 20 氯化物mg/L 700 500 800 600 硫化物mg/L 300 100 250 40 价格 元/t 0.5 0.4 0.7 0.6 解： 设X1X2X3 X4位分别来自4个水源地的最低成本下的供水量(单位万t)。 Min Z =0.5X1+0.4X2+0.7X3 +0.6X4 700X1+500X2+800X3 +600X4<=650 （X1+X2+X3 +X4） 300X1+100X2+250X3 +40X4<=200 （X1+X2+X3 +X4） 100X1+150X2+50X3 +20X4<=100 （X1+X2+X3 +X4） X1+X2+X3 +X4>=0.5 经过求解 X1=0.29，X2=0.14 X3=0, X4=0.11 最低成本为2.67万元 运筹学软件LINGO的使用 一 LINGO简介 LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等。其特色在于可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。 二 LINGO在各类问题中的应用实例 1 课本27页例题5的lingo程序 max 2x1+3x2 ST 2x1+2x2 <=12 4x1 <=16 5x2 <=15 End lingo求解结果 Global optimal solution found. Objective value: 15.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Model Class: LP Total variables: 2 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 4 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 6 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 3.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 15.00000 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 4.000000 0.000000 4 0.000000 0.2000000 2 数学建模基础216页0-1整数规划的lingo程序 max 3x1-2x2+5x3 ST x1+2x2-x3 <=2 x1+4x2+x3 <=4 x1+x3 <=3 4x2+x3<=6 end INT 3 lingo求解结果 Global optimal solution found. Objective value: 8.000000 Objective bound: 8.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Model Class: PILP Total variables: 3 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 3 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 13 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -3.000000 X2 0.000000 2.000000 X3 1.000000 -5.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8.000000 1.000000 2 2.000000 0.000000 3 2.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 5.000000 0.000000 3 课本126页例题6的0-1整数规划的lingo程序 min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 ST x1+x2 >=1 x1+x7 >=1 x3+x4+x5+x6>=1 x6+x8 >=1 end INT8 lingo求解结果 Global optimal solution found. Objective value: 2.000000 Objective bound: 2.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Model Class: PILP Total variables: 8 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 8 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 18 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 1.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 4 数学建模基础215页线性规划的lingo程序 Min -3x1+x2+x3 ST x1-2x2 +x3<=11 -4x1++x2+2x3 >=3 -2x1+x3=1 End lingo求解结果 Global optimal solution found. Objective value: -2.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Model Class: LP Total variables: 3 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 4 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 11 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000 X3 9.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -2.000000 -1.000000 2 0.000000 0.3333333 3 0.000000 -0.3333333 4 0.000000 -0.6666667 　 5 人力资源分配问题 某中型商场经过统计对销售人员的需求如下周一至周五20,16,13,16，19,14,12人，销售人员每周连续工作5天，休息2天，试求应该如何安排销售人员的休息时间，使销售人员总数为最少？ 解：设某天开始休息的人数为xi， 目标函数min=∑Xi St x2+x3+x4+x5+x6>=20 x3+x4+x5+x6+x7 >=16 x1+x4+x5+x6+x7 >=13 x1+x2+x5+x6+x7>=16 x1+x2+x3+x6+x7>=19 x1+x2+x3+x4+x7>=14 x1+x2+x3+x4+x5>=12 Xi>=0, Xi∈Z Lingo求解结果 Global optimal solution found. Objective value: 22.00000 Objective bound: 22.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 6 Model Class: PILP Total variables: 7 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 7 Total constraints: 8 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 42 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.000000 X2 6.000000 1.000000 X3 3.000000 1.000000 X4 3.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 8.000000 1.000000 X7 2.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 22.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 6 指派问题 例2．（选自《运》P94 习题2.4；整数规则）有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每个人做各项工作所消耗的时间如表。问应该如何指派，才能使总的消耗时间为最小？ 工人 任务 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 这是一道典型的整数规则问题。 我们记派第I 去做工作记为Xij 注意到每人只能做一项工作。每项工作一人做。我们得到目标函数和约束条件： min 15x11+19x21+26x31+19x41+18x12+23x22+17x32+21x42+24x13+22x23+16x33+23x43+24x14+18x24+19x34+17x44 ST x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1 end int 16 运算结果 Global optimal solution found. Objective value: 70.00000 Objective bound: 70.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Model Class: PILP Total variables: 16 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 16 Total constraints: 9 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 48 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 15.00000 X21 1.000000 19.00000 X31 0.000000 26.00000 X41 0.000000 19.00000 X12 1.000000 18.00000 X22 0.000000 23.00000 X32 0.000000 17.00000 X42 0.000000 21.00000 X13 0.000000 24.00000 X23 0.000000 22.00000 X33 1.000000 16.00000 X43 0.000000 23.00000 X14 0.000000 24.00000 X24 0.000000 18.00000 X34 0.000000 19.00000 X44 1.000000 17.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 70.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 三 实践环节作业 占总成绩12%。在实践成绩环节，学生可以根据所学的运筹学知识，结合所在专业寻找问题，自己建模，通过计算机软件求解，通过对计算结果进行数据分析，结合实际问题给出可行性建议，最后以课程读书报告或者实践报告形式的形式以电子版提交。 提交时间15周以前。 评审，-0.5 不评审 通过0.8 不通过，0.2不再承担此项目 0 0 0 独立完成，-2.5 协作完成，-4 成功0.7 失败0.3 6 成功0.99 失败0.01 6 0 4.2 5.94 1.94 1.582 1.082 _1321733664.unknown