麻省理工学院
电子
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
和计算机科学
6.011：通信，控制和信号处理导论
测试 1 ，2005年 3月 15
答题纸
全名
答疑老师和时间
z 测试是闭卷的，允许携带两张笔记，计算器不是必需的也不允许使用
z 在上面指定的空格填写自己的名字，在老师的名字旁边填写考试时间
z 检查这份
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
是否为 16页，这份试卷包含答题空间
z 干练的工作和清楚的解释很重要，请写出所有的相关工作和推理过程。你可能首先在草
稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道，在评分中只考虑
答题纸，其他写到任何地方的答案将不予考虑。绝对没有例外。
z 试卷上有两个问题，分数如试卷上所示。
z 不要同 6.011班今天没有参加测试的学生讨论测试的内容。
问题 1（20分）
设 ( ) ( ) ( )cos ox t y t tω= +Θ ，其中 ( )y t 是均值为 yμ 自协方差为 ( )yyC τ 的广义平稳随机过
程； oω 是已知常量，Θ是独立于 ( )y i 的随机变量，在[ ]0,2π 上服从均匀分布。因为（b）
部分和（c）部分在一定程度上依赖（a）部分，请认真做（a）部分，
你可能发现记住如下公式在解决问题时非常有用
( ) ( ) ( ) ( )1cos cos cos cos
2
A B A B A B= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
（a）（8分）求随机过程 ( )x i 的均值 ( )x tμ 和自相关函数 ( ) ( )E x t x tτ+⎡ ⎤⎣ ⎦，并求互相关函
数 ( ) ( )E y t x tτ+⎡ ⎤⎣ ⎦。请认真解释答案的哪些部分说明：（i） ( )x i 是一个广义的平稳随机
过程（ii） ( )x t 和 ( )y t 是联合的广义平稳随机过程。
（b）（6分）设 ( )yyC e ττ −= 和 0yμ ≠ 。计算这种情况下功率谱密度 ( )xxS jω 和 ( )yyS jω 的
表达式并画出草图。
（c）（6分） ( )y t 具有（b）中指定的性质， ( )y t 的均值是否各态历经，请给出推理。 ( )x t
的均值是否各态历经并描述你的推理，如果能够根据你的答案计算下述两个积分，请计算
( )1lim
2
T
TT
y t dt
T −→∞ ∫ ，
( ) ( )1lim cos
2
T
oTT
y t t dt
T
ω−→∞ +Θ∫
在一个具体的实验中，这里的 ( )y t 和Θ是具体的值。
问题 2（30分）
设 [ ]y n 是一个广义的平稳随机过程，自相关函数如下：
[ ] [ ] [ ] [ ]( )9 1 1yyR m m m mδ αδ αδ= − − − +
其中 0α > 。
（a）（3分）α 可以取的最大值是多少？解释原因，如果α 趋向最大值，信号的功率是向高
频移动还是低频移动。
（b）（4分）计算如下（如果必要，使用α 表示）
（i） [ ]{ }E y n 和 [ ]{ }2E y n ；
（ii） [ ]4y 和 [ ]5y 相关系数 ρ 。
（c）（4分）设我们已知 [ ]4y 的观测值，根据 [ ]4y 求 [ ]5y 的估计器，使之具有线性最小均
方误差（LMMSE），并求关联的均方误差（MSE）。
（d）（8 分）设 [ ] [ ] [ ]x n y n nω= + ，其中 [ ]nω 是一个与 [ ]y i 无关的白随机过程，功率谱
密度为 ( ) 29jS eωω αΩ = 。计算功率谱密度 ( )jxxS e Ω 并写成如下形式
( ) ( )( )1 1j j jxxS e K e eβ βΩ − Ω Ω= − −
计算K和 β （如果必要的话，使用α 表示），并计算互功率谱密度 ( )jyxS e Ω 。
（e）（5分）计算非因果维纳滤波器的频率响应 ( )jH e Ω ，该滤波器将根据对整个随机过程
[ ]x i 的观测产生 [ ]y n 的 LMMSE估计 [ ]yˆ n 。
（f）（6 分）计算因果维纳滤波器的频率响应 ( )jG e Ω ，该滤波器在时刻 n根据对 [ ]x k
（ k n≤ ）的测量来产生对下一步测量的 LMMSE 估计，即对 [ ]1x n + 的 LMMSE 估计
[ ]ˆ 1x n + 。并计算相关的MSE。
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