高中数学新人教必修2课时跟踪检测（十一） 正弦定理

课时跟踪检测（十一）正弦定理A级——学考合格性考试达标练1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是(　　)A.eq\f(5,3)　　　　　　　　　　B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7)D.eq\f(5,7)解析：选A　根据正弦定理得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).故选A.2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B　由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意有eq\f(a,sinA)＝b＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq\r(3)，A＝30°，则B为(　　)A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°解析：选B　由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.4．已知△ABC中，b＝4eq\r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．解的个数不确定解析：选C　由正弦定理和已知条件得eq\f(4\r(3),sinB)＝eq\f(2,sin30°)，∴sinB＝eq\r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq\f(π,4)，c＝eq\r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))B．(eq\r(2)，2)C．(1,2)D．(1，eq\r(2))解析：选B　在△ABC中，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)即eq\f(x,sinA)＝eq\f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq\f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq\f(\r(2),2)<eq\f(1,2)x<1，解得eq\r(2)<x<2.则x的取值范围是(eq\r(2)，2)．故选B.6．在△ABC中，若BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，则AB＝________.解析：由正弦定理，得AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5). 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：2eq\r(5)7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(1×sin30°,sin45°)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3)).∴sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(1×sin45°,sin75°)＝eq\r(3)－1，所以最小边长为eq\r(3)－1.10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.(1)求角A的大小；(2)求eq\f(bsinB,c)的值．解：(1)由题意知，b2＝ac⇒cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由b2＝ac，得eq\f(b,c)＝eq\f(a,b)，∴eq\f(bsinB,c)＝sinB·eq\f(a,b)＝sinB·eq\f(sinA,sinB)＝sinA＝eq\f(\r(3),2).B级——面向全国卷高考高分练1．[多选]下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析：选ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq\f(π,2)，则eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0，所以sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，故B正确；对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq\f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C　∵c＝2acosB，∴sinC＝2sinAcosB，∴sin(A＋B)＝2sinAcosB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝(　　)A．6B．5C．4D．3解析：选A　∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(b,c)＝6.故选A.4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4eq\r(3)，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)A．10B．12C．8＋eq\r(3)D．8＋2eq\r(3)解析：选B　∵2bcosA＋a＝2c，∴2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又∵A＋B＋C＝π，∴2sinBcosA＋sinA＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB，∴sinA＝2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，又∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).由△ABC的面积为4eq\r(3)得eq\f(1,2)acsinB＝4eq\r(3)，∴ac＝16，又∵a＋c＝8∴a＝c＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为3×4＝12.故选B.5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7.答案：76．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)　37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(7)，b＋c＝4，求bc的值．解：(1)根据正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝3.C级——拓展探索性题目应用练在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解：(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，0＜C＜π，∴sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)及0＜C＜π，得cosC＝±eq\f(\r(6),4).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－12＝0(b＞0)，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))