全国大联考2020届高三第五次联考数学试题及答案

全国大联考2020届高三第五次联考·数学试卷考生注意：本试卷共150分，考试时间120分钟．请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上．本试卷主要考试 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ：前四次联考内容（30%），计数原理、概率与统计（40%），算法初步、推理与证明、复数（30%）．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足(zi)(i)5，则z（）A．6iB．6iC．6D．62．已知全集UR，集合Ax|x30，Bx|2xx20，则CAIB（）x1UA．{x|3x1}B．{x|1x2}C．{x|3x1}D．{x|1x2}已知随机变量X服从正态分布N4,9b，且PX2PXa，则a（）A．3B．5C．6D．7国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，由下表可知下列叙述错误的是（）随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（）1112A．2B．4C．3D．3执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）7153115A．8B．8C．16D．16已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同结束的概率为（）A．0.18B．0.3C．0.24D．0.36ar3r3(2rr(r4r2rrr已知b，且ab)ab)，则ab在a方向上的投影为（）7A．3B．14C．203D．7甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）甲B．乙C．丙D．丁(x1)3(y2)5的展开式中，满足mn2的xmyn的系数之和为（）A．640观察下列各式：B．416C．406D．236xy2，x2y24，x3y39，x4y417，x5y531，x6y654，x7y792，L，根据以上规律，则x10y10（）A．255已知函数f(x)B．419C．414D．253x33alnxa在区间1,上恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围是lnxx（）A．(e,3)U(3,)B．0,eC．e2,D．(,e)U{3}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．某大学A、B、C、D四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D专业应抽取人．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数．”某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为．已知“在ABC中，abc”，类比以上正弦定理，“在三棱锥ABCD中，侧棱ABsinAsinBsinC5S与平面ACD所成的角为、与平面BCD所成的角为，则BCD．312SACD已知抛物线C:y216x的对称轴与准线的交点为M，直线l:ykx4k与C交于A，B两点，若AM4BM，则实数k．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2ab2b20．若C，证明：3sinBsinC．3若C2，c7，求ABC的面积．318．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，BCD90，PACD，BCCD1AD1，PAPD，E，F分别为AD，PC的中点．2求证：PC2EF．若EFPC，求二面角PBEF的余弦值．1已知函数F(x)6x3x22a，G(x)alnx，设f(x)F(x)G(x)．当a3时，求函数fx的单调区间；设方程fxc（其中c为常数）的两根分别为，，证明：f0．2（注：fx是fx的导函数）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行分类意识强分类意识弱合计试点后5试点前9合计50生活垃圾分类 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 ，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的22列联表．已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58．请将上面的22列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X，求X分布列及数学期望．n(adbc)2参考公式：K2，其中nabcd．(ab)(cd)(ac)(bd)PK2kk0下面的临界值表仅供参考0.150.100.050.0250.0100.0050.00102.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828已知椭圆C:x2y21的右顶点为D，E为上顶点，点A为椭圆C上一动点．43若DEAE，求直线AD与y轴的交点坐标；设F为椭圆C的右焦点，过点M4,0与x轴垂直的直线为l，FM的中点为N，过点A作直线l00的垂线，垂足为B，求证：直线AF与直线BN的交点在椭圆C上．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在65,85的为劣质品，在85,105的为优等品，在105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．图1图2求每件产品的平均销售利润；该企业主管部门为了解企业年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用xi和年销售量yi，i1,2,3,4,5数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及5i1ui5i1vi5i1uuvvii5i1uu2i16.3523.40.541.62一些统计量的值．表中uilnx，viilnyi，u15u5ii1，v15v．5ii1根据散点图判断，yaxb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．①求y关于x的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取e3.5936）附：对于一组数据u,v，u,v，L，u,v，其回归直线vˆˆˆu的斜率和截距的最小二乘估计1122nn5分别为ˆuuviiv，ˆvˆu．i15uii1u22020届高三第五次联考·数学试卷参考答案1．A本题考查复数的运算．因为(zi)(i)5，所以z5i6ii2．B本题考查集合的运算．依题意A{x|3x1}，CUA{x|x3或x1}，B{x|1x2}，故CUAIBx|1x2．3．C本题考查正态分布的应用．Q4，3，P(X2)P(X42)P(X42)P(X6)P(Xa)，a6．4．C本题考查统计图表由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.467041万亿元，20183.55%年中国GDP为3.699090万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP的总值大约增加49万亿，故C4.11%项错误．5．A本题考查古典概型概率，由已知SA平面ABC，ABBC，可得SBBC，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有C2416种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为．26．D本题考查程序框图．执行该算法框图可得S0111115．21222324167．B本题考查独立性事件的概率．甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为P0.50.20.20.40.30.40.3．(2rrrr8．C本题考查向量的数量积与投影．由ab)(a4b)rrrrrrrrrrrrrrr可得(2ab)(a4b)2a27ab4b20，因为|a|3|b|3，所以ab2．故2ab在a方向rrrrrr(2ab)a上的投影为2a2ab18220．rr|a||a|339．D本题考查逻辑推理．由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．10．B本题考查二项式定理当mn2时，(x1)3(y2)5的展开式中xmyn的系数为Cmxm(1)3mCnyn(2)5nCnCn(1)8(mn)25nxmyn25nCmCnxmyn．当m0，n2时，系353535数为2311080；当m1，n1时，系数为2435240；当m2，n0时，系数为253196；故满足mn2的xmyn的系数之和为8024096416．11．B本题主要考查归纳推理，以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L构成一个数列an，可得数列an满足anan1ann2n3,nN*，则aa87a854928154，6aaa9879154929255，a10aa981025515410419x3alnx12．A本题考查复合函数的零点．由题意得3a0有四个大于1的不等实根，记lnxxx3g(x)lnx，则上述方程转化为(g(x)3)ag(x)10，即(g(x)3)(g(x)a)0，所以g(x)3或g(x)a．因为g(x)lnx1，当x1,e时，gx0，gx单调递减；当xe,时，gx0，gx(lnx)2单调递增；所以gx在xe处取得最小值，最小值为gee．因为3e，所以gx3有两个符合条件的实数解，故f(x)x33alnxa在区间1,上恰有四个不相等的零点，需ae且a3lnxx13．39本题考查分层抽样由于A、B、C、D四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D专业应抽取的人数为1291339．812101314．24本题考查排列组合第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有A222种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有A2A312种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必23须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为A2A2A324．2315．2本题考查类比推理．类比正弦定理可得63326Ssin223SBCDSA5CD，故BCDS32，5622sin3sin12ACDsin1244本题考查抛物线与平面几何知识直线l:ykx4k过抛物线C的焦点F4,0，过A，B分别3作C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，由抛物线的定义知APAF，|BQ||BF|．因为AP//MF//BQ，所以|PM||AF||AP|．因为APMBQM90，|QM||BF||BQ|所以APM:BQM，从而|AM||AP||AF|4．|BM||BQ||BF|设直线l的倾斜角为，0，则|AF||BF|pTcosp1cosp1cos1cos4，解得cos3，ktan4，或|AF|1cos1cos453|BF|p1cos1cos解得cos3，ktan4，综上，k4．533解：本题考查利用正余弦定理解三角形．由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2aba2ab2b23b2，由a2ab2b20得到c23b2，由正弦定理得sin2C3sin2B．因为B，C0,，所以3sinBsinC．由题意及余弦定理可知a2b2ab49，①由a2ab2b20得(ab)(a2b)0，即a2b，②联立①②解得b7，a27．所以S1absinC．73ABC22解：本题考查点线面位置关系的证明与求二面角．（1）证明：连接EC，QBCDADC90，ADCD．QPACD，PAIADA，CD平面PAD．QCD平面ABCD，平面ABCD平面PAD．QPAPD，E为AD的中点，PEAD．Q平面ABCDI平面PADAD，PE平面ABCD．QEC平面ABCD，PEEC．QF为RtPEC斜边PC的中点，PC2EF，（2）QEFPC，由（1）可知，PEC为等腰直角三角形，2则PEEC．以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，P(0,0,2)112，B(0,1,0)，F,,，222uuuruuur11则EB(0,1,0)EF,,r2，记平面EBF的法向量为mx,y,z222ruuury0mEB02由ruuur0得到1x1，yz0mEF222r2取x2，可得z，则m(2,0,2)．ruur易知平面PEB的法向量为nEA(1,0,0)．记二面角PBEF的平面角为，且由图可知为锐角，66|rr|2则cosmn，所以二面角PBEF的余弦值为．r|m||r6n|33解：本题考查函数的单调性、导数相关知识．f(x)F(x)G(x)1x22xalnx，函数fx的定义域为0,，2fxx2ax22xa．xx（1）当a3时，f(x)x22x3x22x3(x3)(x1)，xxx由fx0得0x3，由fx0得x3，故函数fx在0,3上单调递增，在3,上单调递减．（2）证明：由条件可得f(x)x2a，x0，f(x)1a，xx2Q方程fxc的两根分别为，，fc，且fc，可得a．2法一：f14a()214()2()2()20．法二：f14a1414，2()2()22Q0，01，2，fa14110成立．22a解：本题考查概率统计、独立性检验和数学期望．根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得22列联表如下：分类意识强分类意识弱合计试点后20525试点前91625合计292150因为K2的观测值k50(201659)260509.9347.879，25252921609所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X，则X0，1，2，3C35C2C115故P(X0)6，P(X1)63，C321C32899C1C23C31P(X2)63，P(X3)3，C39X0123P则X的分布列为14C384951531212814845115233121281484E(X)01．解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，（1）由题知D2,0，E0,3，则kDE．因为DEAE，所以k2，332AE32323yxx483则直线AE的方程为yx33，联立x243y232573，可得1y257348故A,73．则k25，直线AD的方程为y(x2)．令x0，32525DA481414322533得y，故直线AD与y轴的交点坐标为0,．77（2）证明：因为F(1,0)，M(4,0)，所以N5,0．设点Ax,y，则B4,y．2000当x1时，设A1,3，则B4,3，此时直线AF与x轴垂直，022其直线方程为x1，30直线BN的方程为y02x5，即yx5．52242在方程yx5中，令x1，得y3，得交点为（1,3，显然在椭圆C上．222同理当A1,3时，交点也在椭圆C上．2y52y5当x1时，可设直线BN的方程为y0x，即y0x．0452232yy2y5x302直线AF的方程为y0(x1)，联立方程，y0x1yx0(x1)12y5y05x8消去y得0x0(x1)，化简并解得x0．232x105x8yx503y将x0代入y0(x1)中，化简得y0．2x5x0012x505x83y所以两直线的交点为20,0．x52x00515x8213y2因为42000000x532x525x280x643y225x280x6412y25042x0022x500420x052，2x2y2又因为001，所以4y2123x2，4325x280x006412y24x220x252x52则0000001，42x0522x0522x0525x83y所以点20,0在椭圆C上．x52x005综上所述，直线AF与直线BN的交点在椭圆C上．解：本题考查离散型随机变量的期望以及非线性回归方程．设每件产品的销售利润为X，则X的可能取值为0.8，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1．所以P(X0.8)0.25；P(X4)0.65；P(X6)0.1．所以X的分布列为XP0.80.2540.6560.1所以E(X)(0.8)0.2540.6560.13（元）．即每件产品的平均销售利润为3元．①由yaxb，得lnylnaxblnablnx，令ulnx，vlny，clna，则vcbu，由表中数据可得bˆ5i1uuvvii0.541，5i1uu2i1.623则cˆvbˆu23.4116.354.681.093.59，535ˆ11133所以v3.59u，即lnyˆ3.59lnxlne3.59x3，11因为取e3.5936，所以yˆ36x3，故所求的回归方程为y36x3．1②设年收益为z万元，则z3yx336x311x108x3x令tx30，则z108tt3，z1083t23t236，当0t6时，z0，当t6时，z0，所以当t6，即x216时，z有最大值432．即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元．