二次函数性质及根的分布１

null二次函数的性质及根的分布二次函数的性质及根的分布null　　　　　　　 null　x＜x1或x＞x2 　x1＜x＜x2　空 集　空 集　全体实数　没有实根 在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）： 在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）：①标准式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a(x－k)2＋m；③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方程ax2＋bx＋c＝0的二根).null 例１ 已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都是 ，求f(x)．设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得解:解法一:null解二 ∵ f（－３）＝f（２）＝ ， ∴ 抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝ ，即x＝－ ， 故其顶点坐标为（－ ，－３）． ∵ f(2)＝a (2＋)２－３＝ ∴ a＝＝２．.null解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－ ＝０的两个实数根．又当x＝ ＝－ 时，f(－ )＝－３． ∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， － a＝－ ， a＝２． ∴ f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－ ．null例2　已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。 abf(x)为二次函数，f(a)=f(b) f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x) f(x)的对称轴为x=c若x<0,若x=0，则1>2x>3x∴ f(2x)< f(3x)则1<2x<3x∴ f(2x)< f(3x)则1<2x<3x，若x=0，综上所得，f(2x)≤ f(3x)。null例3　已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥1/2成立。 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根． 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围。变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围。null 二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1＜x２＜m ，则应有 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， － ＜m， Δ＝b2－４ac＞０， 或 (x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)＋(x2－m)＜０．x1x2mnull 二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (2)若x1>x２>m ，则应有 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， － >m， Δ＝b2－４ac＞０， 或 (x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)＋(x2－m)>０．x1x2mnull (3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．x1x2mnull (4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， f(n)＞０， m＜－ ＜n.x1x2mnnull (5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０， f(n)＜０．x1x2mn 例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围． 例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围． 解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件． 若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１． ∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根． 如方程有异号两实根，则x1x2＝1-m＜０，m＞１．null f(m)＜０(x1－m)(x2－m)＜０表示比较复杂，繁琐１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ ） 　　　　　　　　　　　　　 Ａ　　 　Ｂ Ｃ　　 　　　Ｄ１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ ） 　　　　　　　　　　　　　 Ａ　　 　Ｂ Ｃ　　 　　　Ｄ练习C2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则它的图像可能是（ ）B3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ ） Ａ.１　　　Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ ） Ａ.１　　　Ｂ. Ｃ. Ｄ. 4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等于１，则t的值是（ ） Ａ.１　　Ｂ.－１　　 Ｃ.２　　　Ｄ.－２5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３m＋６ 的图像如图所示，则实数m的取值范围 是（ ） Ａ.m＞２ Ｂ.m＞ Ｃ.m＞１ Ｄ.m＞０ CBA6. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能Anull