一题多解与一题多变 一题多解与一题多变（一） 典型题 设 在[0，1]上具有二阶导数，且 ，求证： . 分析 考虑到题目涉及 、 与 的关系，首先联想到利用泰勒公式. 证一 将 在 处展开为一阶泰勒公式 （ 在 与 之间） ， (这一步也可由凹函数的性质直接得到) 由定积分的性质得 . 分析 考虑到题目涉及定积分，还可对 的原函数利用泰勒公式. 证二 令 ，则 ， . 将 在 处展开为二阶泰勒公式 （ 在 与 之间）. 利用公式 容易得证. 分析 所证不等式的几何意义是高为 、宽为1的矩形面积不小于以 为曲边（ ）的曲边梯形的面积，矩形可以认为是由曲边梯形增加一部分与减少一部分得到，而增加的一部分面积大于减少的一部分面积；为了证明这一点，可从 的左右对称点出发来研究. 证三 ，有 ， 在[0，1]上 ，即 ， （令 ） 故 . 分析 证明数字不等式往往是先设法转化为函数不等式，再利用函数的单调性加以证明；转化的方法是将结论中的积分上限（或积分下限）换成 ，式中相同的字母也换成 ，移项使不等式一端为零，则另一端的表达式即为需作的辅助函数。 前面乘以 是由不等式的几何意义想到的. 证四 设辅助函数 ， 。 （对 在[ ， ]上用Lagrange定理） (对 用Lagrange定理) 在[0，1]单调减少， ，即 ， . 分析 利用分部积分法可将被积函数求导，两次使用分部积分法就可得到二阶导数，从而可以利用已知条件加以证明. 证五 . 同理可证 , 两式相加得证. 下面我们再从特殊到一般思考，本题还能衍生出一系列类似的题目，推广到更一般的情况，从不等式的几何意义启发我们可以将区间推广为[0，b]或[a，b]，从而得到相应的不等式，上述证明方法仍然适用. ● 设 在[0，b]上 ，求证： . ● 设 在[a，b]上 ，求证： . 我们还可从另外一个角度推广，即将被积函数 变成 或 ，可以得到相应的不等式. ●设 在[0，1]上 ，求证： （ ） 或 （ ， ）. 证明的方法是先对函数 在 处展开为一阶泰勒公式，然后利用条件 变为不等式，再将 换成 ，最后在区间 上作定积分，即可证得，其他证法则不适用.
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