第 29卷第6期
2009年 12月
东 北 电 力 大 学 学 报
Journal Of Northeast Dianli University
Natural Science Edition
V01．29．No．6
DeC．，2009
文章编号：1005—2992(2009)06—0085一O3
关于解决函数零点问题的几种方法
赵 丽萍
(东北电力大学 理学院，吉林 吉林 132012)
摘 要：归纳了数学
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
中函数 自身及其导函数零点的存在问题，运用相关定理如费尔马定理，罗
尔定理，拉格朗日定理，积分中值定理等，对这一类问题给予分析与讲解，从中学习和掌握该类问题的解
决方法和技巧。
关 键 词：函数零点；微分中值定理；积分中值定理
中图分类号：G642．0 文献标识码：C
关于初等数学中所研究的方程根的存在问题，是许多数学爱好者所热衷的，这个问题延伸到数学分
析里称之为函数零点问题。在数学分析中，从数列(函数)极限到连续函数，从函数微分到函数积分，都
涉及到许多关于函数 自身及其导函数根的存在问题。在这里，我们用高等数学中相关定理——数列致
密性定理，费尔马定理，微分中值定理中的罗尔定理，拉格朗日定理，积分中值定理——对这一类问题给
予分析与讲解。本文通过对例题的讲解，不仅加深对概念，定理的理解，同时掌握解决该类问题的技巧
和方法，从而提高解决相关问题的能力。
1 利用“零点定理”来求证函数零点(或方程的根)
若函数 )，=／ )在[a，b J上连续，且／【口)‘ b)<0，则函数Y=／ )在la，b J上必存在零点。
例1证明：超越方程 =c。s 在(0，詈)内至少存在一个实根。
分析：对于此方程 =COS~；而言，要证明其存在实根实质就是证明 ( )= —COSI在所给定的区域
内存在零点，因此转化为分析中的函数零点存在问题。
证明：令函数 ( )= —cos，则函数 ( )在[o，孚]上连续，且 (o)=一1
0。由
零点定理，函数 ( )在f0，詈1内至少存在一点c，使 (c)=c—c。SX=0，即超越方程 =COSX在(0，等)
内至少存在一个实根。
W E设，( )在[口，6]连续，Rf( )≠0，证明：J ) +J
． L_ =o在[a,b]有唯一根。
分析：若令函数 ( ) J。 ) + 五，则问题即为解决方程 ( )=0根的存在性，进而转
化为函数 ( )的零点问题 ，利用函数的连续性及积分性质，即可得出结论。
证明：令 ( )= ) + l_ ，则 (。)= l_ ， (6)= ) ，
收稿日期：2009一lO一10
作者简介：赵丽萍(1978～)，女，讲师，硕士研究生，研究方向为低维拓扑
86 东北电力大学学报 第29卷
(a)‘ (6)= ‘ ) =一 。 y)
岫=』=c J．= = J=b而1 = b而1
ff f(Y))dxd，21 i]'f_． ．~捌y+ 岫)=÷． 岫·
贝4÷ d)，≥ 1·2
。
dxdy=(6一1) >。贝0 (n)‘ (6)<。，从而 ( )：J= )
+ 南 =0在(。，6)内至少有一个根。
又由于 ( )= )+ >0，则 ( )在[口，6]上是严格增加的，
所以 ) + 寿 =0在[口，b]i-~一根。
2 利用“微分中值定理”来求证函数零点
若函数，( )在[a，b]上连续，在(a，b)可导 a)= b)，则在至少存在一点 ∈(a，b)，使厂( )=
0。利用微分中值定理，我们往往可以解决有关导函数的零点存在问题，同时，在运用微分中值定理解决
相关问题时，也会发现积分中值定理以及零点定理在其中的灵活运用。
例3设函数 )在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且3』 ) = o)，证明：在(0，1)内至少存
亍
在一点C，使厂(c)=0。
分析：要证明存在一点c，使厂(C)=0，则由罗尔定理知，需函数 )在[0，1]内至少有两点函数值
是相等的，因此，由题意推知存在一点 ∈[寺，1]使3 f ，( ) =厂( )，进而有 0)= )。
J 了
，' 1
证明：因函数 )在[0，1]上连续，则由积分中值定理，至少存在一点 ∈[÷，1]，使f ，，( )
J 亍
，’ 1 ，1
= )·(1一寺)= )，即3 f： )d( ) )。
一 V ’ 3
，1
又因为3 f )出 0)，所以厂( ) 0)，且由函数厂( )在[0， ]上连续，在(0， )内可导，由罗
了
尔定理知，至少存在一点 c，使厂(C)=0。
例4设函数 )在[0，1]连续，在(0，1)内可导，且 0)=，(1)=0， ÷)=1，试证明至少存在一
个 ∈(0，1)，使厂( )=1。
分析：此类证明的关键是由题目中的结论构造出罗尔定理中的函数，方法如下：
由厂( )=1得f(x)=1．进而得厂( )= +c，于是有 )一 =C，令F(x)= )一 。
证明：令 F( ) )一 ，显然，F( )在[0，1]连续，在(0，1)内可导，又 F(1)= 1)一1=一1<0，
F(专)：，(告)一 1：1，)>0。由零点定理可知，存在一个 ∈(÷，1)，使F(田)：0．又F(o)： 0)一0
=0对F(x)在[0，叼]上，用罗尔定理，至少存在一个 ∈(0， )c(0，1)，使得 ( )=0，即厂( )=1。
3 利用“压缩影射原理"来求证函数零点
设 )为[口，b]的一个压缩映射，则 z)在[a，b]上有唯一的不动点 ‘，即 ‘)= ’，也就是方
第6期 赵丽萍：关于解决函数零点问题的几种方法 87
程 )= 在[a，b]有唯一的解。为了证明一个微分方程、积分方程或其他类型方程解的存在性，我们
往往可以将它转化为求某一个映射的不动点。
例5若函数 )在[口，b]上连续，且对V ∈[n，b]，]Y∈[口，b]，使if(Y)l≤÷ )I，
证明： E[a，b]，使 )=0。
分析：由于题目中所给的函数为满足压缩影射原理中的压缩函数，证明的关键在于运用压缩原理证
1 1
明的方法构造出{ }c[0，b]：If( )l≤÷if( )I≤⋯≤ if( )I，则结论由数列及连续函数的性
厶 二
质即可得证。
证明：由题意，任取一点 ∈[0，b]，则 。∈[0，b]，使if( )l≤÷if( 。)l，对 E[口，b]，则了 2
∈[Ⅱ，b]，使If( 2)l≤寺 )I≤ If( )}，
厶 二
依次下去，可以归纳地得到一个数列{ }c[ ，b]，使得 )I≤下1 If( )l≤⋯≤ 1 if( 。)I，
从而lira Jf( )=0，可推出limf( )=0。对数列{ }c[口，b]，由聚点定理，存在收敛的子列} }，设
=
， ∈[n，6]，又因 )在 点连续，则坦 )=flim =f(sr)，Y-I~I{ )}是{八 )}的子
列，所以 iⅡ )=0= )，从而函数厂( )在[a，b]中有零点。
例 6 设 是R到 尺的可微映射，且 ( )I≤0<1，则方程 )= 存在唯一解 ∈R。
分析：由于题目中所给的是导函数为满足压缩影射原理中的压缩函数，证明的关键在于运用微分中
值定理得出函数自身所满足的条件：dCf(x) )，))≤Od( ，Y)，则结论即可得证。
证明：当0<-0<1时，由微分中值定理知，if( )一 Y)I=I厂( )I l —YI≤0l —Yl，其中 介于
与Y之间，即 d(f(x) Y))≤ ( ，Y)又因 是完备的，所以／是完备空间 到 自身的压缩映射，由压
缩映射原理知，方程 )= 存在唯一解 ∈R。
参 考 文 献
[1] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明
教程
人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程
[M]．高等教育出版社，1999
[2] 孙涛．数学分析经典习题解析[M]．高等教育出版社，2004．
[3] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析[M]．高等教育出版社，2001．
[5] 李秀珍，隋梅真．高等数学学习指导[M]．机械工业出版社，2005
[6] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社，2006．
The M ethods to Solve the Problems of Function Zero
ZHAO Li-ping
(Mathematics and Science College of Northeast Dianli University，Jilin，Jilin，132013)
Abstract：This paper induces the existence of the function zeros and derived function zeros，applies the related
theorem such as Fermat theorem，Roll theorem，and Lagrange theorem，etc；at the same time，the paper analyzes
and solves this problem according to conclusions，studies and masters some methods and skills to solve this
problem．
Key words：zero of function；differential median theorem；integral median theorem
浙公网安备 33021202002483