圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。图1（上）图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中点∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（S.S.S）图2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800-0-50050∴∠CBD=800答:∠CBD的度数是800.1例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度1数=（弧AD+弧BC）的度数。2证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A1∴∠C的度数=弧AD的度数21∠A的度数=弧BC的度数21∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。图32一、造直角三角形法1.构成Rt△,常连接半径例1.过⊙O内一点M最长弦,AB=最短弦26cm,CD=10cm求,AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2.是⊙ABO的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE=AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3割线.AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE∠OBF;=4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例4小.⊙O与大⊙O外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O、⊙O切于点B、C和D、1212E，并相交于P，∠P=°。60求证：⊙O与⊙O的半径之比为1：3；125．正多边形相关计算常构造Rt△例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6.是⊙ABO的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC=DF;(2)若AE=2,CD=BF=6,求⊙O的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例7.是⊙ABO直径,弦CD⊥AB,M是AC上一点,AM延长线交DC延长线于F.求证:∠F∠=ACM;四、切线的综合运用1．已知过圆上的点，常_________________A例8.如图，已知：⊙O与⊙O外切于P，AC是过P点的割线交⊙O于A，121交⊙O于C，过点O的直线AB⊥BC于B.求证：BC与⊙O相切.O2121PCB例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________2例10.如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证:直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。求证：⊙O也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1．两圆相交作_____________________例13.⊙O与⊙O相交于A、B，过A点作直线交⊙O于C点、交⊙O于D点，过B点作直1212线交⊙O于E点、交⊙O于F点.12求证:CE∥DF;2.相切两圆作________________________例14.⊙O与⊙O外切于点P,过P点的直线分别交⊙O与⊙O于A、B两点，AC切⊙O于12121A点，BC交⊙O于D点。2求证：∠BAC∠BDP=；3．两圆或三圆相切作_________________例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O与半⊙O，又12⊙O与三个半圆两两相切。3求⊙O的半径；34．一圆过另一圆的圆心，作____________例16.两个等圆⊙O与⊙O相交于A、B两点，且⊙O过点O，过B点作直线交⊙O于C12121点、交⊙O于D点.2求证：△ACD是等边三角形；六、开放性题目例17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．（1）BC与O是否相切？请说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．CCDEDEBAOABO（第23题）3
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