PAGE\*MERGEFORMAT#一维稳态导热问题的控制方程：且+S=0dx2习题4－2依据本题给定条件，对节点2采用二阶精度的中心差分格式，节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式，最后得到各节点的离散方程节点1：T=1001节点2：5T-10T+5T=-150123节点3：-T+4T=7523求解结果：T2=85，T=4023对整个控制容积作能量平衡，有：q+SAx=h(T—T)+SAx=15x(20—40)—150x2=0Bff3即：计算区域总体守恒要求满足习题4－5在4—2习题中，如果h=10x(T—T)0.25，则各节点离散方程如下：3f节点1：T=1001节点2：5T—10T+5T=—150123节点3：—T+[1+2x(T—20)0.25]T=15+40x(T—20)0.252333对于节点3中的相关项作局部线性化处理，然后迭代计算；求解结果：T2=82.818，T=35.635(迭代精度为10-4)23迭代计算的Matlab程序如下：x=30;x1=20;whileabs(x1-x)>0.0001a=[100;5-105;0-11+2*(x-20厂(0.25)];b=[100;-150;15+40*(x-20厂(0.25)];t=a"(-1)*b;x1=x;x=t(3,1);endtcal=t习题4-12的Matlab程序%代数方程形式AT=CT+1+BT+Diiiiii-1imdim=10;%计算的节点数x=linspace(l,3,mdim);%生成A、C、B、T数据的基数；A=cos(x);%TDMA的主对角元素B=sin(x);%TDMA的下对角线元素C=cos(x)+exp(x);%TDMA的上对角线元素T=exp(x).*cos(x);%温度数据%由人、B、C构成TDMAcoematrix=eye(mdim,mdim);forn=1:mdimcoematrix(n,n)=A(1,n);ifn>=2coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n);endifn
方法
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求解T%消元P(1,1)=C(1,1)/A(1,1);Q(1,1)=D(1,1)/A(1,1);forn=2:mdimP(1,n)=C(1,n)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1));Q(1,n)=(D(1,n)+B(1,n)*Q(1,n-1))/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1));end%回迭Tcal(1,mdim)=Q(1,mdim);forn=(mdim-1):-1:1Tcal(1,n)=P(1,n)*Tcal(1,n+1)+Q(1,n);endTcom=[T;Tcal];%绘图比较给定T值和计算T值plot(Tcal,'r*')holdonplot(T)结果比较如下，由比较可知两者值非常切合(在小数点后8位之后才有区别)节点1节点2节点3字段4字段5字段6字段7字段8字段9字段10T的初始值1.46869391.1594949.53424416-.50680737-2.0679442-4.2476615-7.1232765-10.72954-15.03053-19.884531T的计算值1.46869391.1594949.53424416-.50680737-2.0679442-4.2476615-7.1232765-10.72954-15.03053-19.884531习题4-14充分发展区的温度控制方程如下：STpcu—pSx=11(XrST)rSrSr对于三种无量纲定义©、©二进行分析如下1）由©二得：T=(T-Tb)©+T由T可得：STSxS[(T-T)©+T]bSx=©STSx+(1-©)STSxSTSrS[(T-T)©+T]bww—S©Sr+(1-©)STw-Sr由T与r无关、©与x无关以及甞、学的表达式可知，除了T均匀的情况外，该无量bSxSrw纲温度定义在一般情况下是不能用分离变量法的；2)T-T由©=T-T得:w8T=(T-T)©+Tw88由T可得：STS[(T-T)©+T]=w88—SxSxSTS[(T-T)©+T]w88SrSr-T)8S©SrST+©wSr由T与r无关、©与x无关以及学、学的表达式可知，在常见的四种边界条件中除了bSxSr轴向及周向均匀热流q=const的情况外，有寸=0,贝y该无量纲温度定义是可以用分wSr离变量法的；T-T3)由©=T_卢得:8wT=(T-T)©+T8ww由T可得：STS[(T-T)©+T]8ww—Sx=(1-©)STSxdT_d[(T-T)0+T]—ww—drdr—(T8-T)wd0+(1-0)dTwdrdT同2)分析可知，除了轴向及周向均匀热流q—const的情况外，有于—0,该无量纲wdr习题4－18温度定义是可以用分离变量法的；1)采用柱坐标分析，写出统一的稳态柱坐标形式动量方程：d1d1ddd込1d—(pu©)+1—(rpv©)+1二(pw©)=—(九空)+1—dxrdrrd0dxdxrdrx、r和9分别是圆柱坐标的3个坐标轴，u、v和w分别是其对应的速=度分量，其中x是管内的流动方向；图4—24对于管内的层流充分发展有：v—0、w—0，dudx并且x方向的源项：S=一-dxdpr方向的源项：S—--dr1dp9方向的源项：S=一—rd9由以上分析可得到圆柱坐标下的动量方程：x方向：1ddu1dAdudprdr"dr"rd9(rd9)一dx°r方向：生-0dr9方向：型-0d9边界条件：r—R，u—0dudur—0，=0；对称线上，^9—0不考虑液体的轴向导热，并简化分析可以得到充分发展的能量方程为dT1d八dT、1d入dT、TOC\o"1-5"\h\zpcu—(Ar)+()pdxrdrdrrd9rd9HYPERLINK\l"bookmark40"dTdT边界条件：r—R，九=q；r—0，=0drwdr9—0/兀2)定义无量纲流速：U=九u--R2也dx并定义无量纲半径:n-r/R；将无量纲流速和无量纲半径代入X方向的动量方程得:3(-R2c仮若的RdX如?)+丄备)旦=0R3nRn30nR303x上式化简得：12们竺）+丄4（1咯）+1=0耳耳30耳30边界条件：=0,3U=0；对称线上,3耳巴=030定义无量纲温度：T-T0=bqR/九0其中，q0是折算到管壁表面上的平均热流密度，即q0由无量纲温度定义可得：T=qoR0+T九b将T表达式和无量纲半径耳代入能量方程得:13/九qR30、0)九30pcuH」J(切R竿匹)+“p3xnRR3n九R3耳nR30nR化简得：R3T133013130pcub二们)+()qp3x耳3耳3耳耳30耳300由热平衡条件关系可以得:1）3T3TdTu1pcu=pcub=pcuAb()=qp3xp3xpmdxuAm2nRu02unR2m2qU0—RUm2将上式代入式（1）可得:边界条件：单值条件：由定义可知：即得单值性条件2U1d.Q0、1d/I50.=们)+()U耳旳旳^50^50m50空=0；0刃50，_T-T°0=—bb=0且.bqR/九0f©UdAA=0JUdA3）由阻力系数f及Re定义有.fRe=-Dedp/dx~iPU22m50q1=—w=—5耳q兀R0J0UdAJUdAuD(―meV■e且.TOC\o"1-5"\h\zqD22Nu=0==—-T—T九T—T0W,mb(W，mb)W,mqR/九0取常物性)Pe=puL/r5－21．一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示：pu独"旦dxd2x边界条件如下：x=0,©=©;x=L,©=©0L上述方程的精确解如下：e—ee(Pe-x/L)—14=e—eePe—1L02.将L分成20等份，所以有：Pe=20PA图示如下：123456………………………1718192021对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK格式分别分析如下：1)中心差分中间节点：2)一阶迎风中间节点：3)混合格式当P=1时，中间节点A(i—o.5p)e+(i+o.5p)eAi+1Ai—12e+(i+p)e=—^+1Ai—12+PAi=2,…20i=2,…20(1—0.5P)e+(1+0.5P)eAi+1AI2i=2,…20当P=5,10时，中间节点:A4)QUICK格式ei=ei—1i=2,…20ei=£eAi+P+A2+PAi+1i—1P+A-2+PA赵叫i-e—3ei+i)i+Pe+#e2+PAP+A-2+PL8A1(6ei-3ei—i-3eiJi=2数值计算结果与精确解的计算程序如下：%exceptforHS,anyotherschemedoesnttakePe<0intoconsideration%expressionofexactsolutiony=dsolve('a*b*Dy=c*D2y','y(0)=y0,y(L)=yL','x')y=subs(y,'L*a*b/c','t')y=simple(subs(y,'a*b/c*x','t*X'));ysim=simple(sym(strcat('(',char(y),'-y0)','/(yL-y0)')))y=sym(strcat('(',char(ysim),')*(yL-y0)','+y0'))%inthecaseofPe=0y1=dsolve('D2y=0','y(0)=y0,y(L)=yL','x')y1=subs(y1,'-(y0-yL)/L*x','(-y0+yL)*X')%gridPenumbertt=[1510];%dimensionlesslengthm=20;%mdimisthenumberofinnernodemdim=m-1;X=linspace(0,1,m+1);%initialvalueofvariableduringcalculationy0=1;yL=2;%calexactsolutionforn=1:size(tt,2)t=m*tt(1,n);ift==0yval1(n,:)=eval(y1);elseyval1(n,:)=eval(y);endend%extratreatmentbecausemaxnumberinMATLABis10人308ifmax(isnan(yval1(:)))yval1=yval1';yval1=yval1(:);indexf=find(isnan(yval1));forn=1:size(indexf,1)ifrem(indexf(n,1),size(X,2))==0yval1(indexf(n),1)=yL;elseyval1(indexf(n),1)=y0;endendyval1=reshape(yval1,size(X,2),size(yval1,1)/size(X,2));yval1=yval1';end%CDsolutiond=zeros(size(tt,2),mdim);a=repmat([1],size(tt,2),mdim);forn=1:size(tt,2)t=tt(1,n);b(n,:)=repmat([0.5*(1-0.5*t)],1,mdim);c(n,:)=repmat([0.5*(1+0.5*t)],1,mdim);d(n,1)=0.5*(1+0.5*tt(1,n))*y0;d(n,mdim)=0.5*(1-0.5*tt(1,n))*yL;endc(:,1)=0;b(:,mdim)=0;%numericalcalbyusingTDMAsubfuctionyval2=TDMA(a,b,c,d,mdim);yval2=[repmat([1],size(tt,2),1),yval2,repmat([2],size(tt,2),1)];Fig(1,X,yval1,yval2,tt);title('CDVs.ExactSolution')%FUSsolutiond=zeros(size(tt,2),mdim);a=repmat([1],size(tt,2),mdim);forn=1:size(tt,2)t=tt(1,n);b(n,:)=repmat([1/(2+t)],1,mdim);c(n,:)=repmat([(1+t)/(2+t)],1,mdim);d(n,1)=(1+tt(1,n))/(2+tt(1,n))*y0;d(n,mdim)=1/(2+tt(1,n))*yL;endc(:,1)=0;b(:,mdim)=0;%numericalcalbyusingTDMAsubfuctionyval3=TDMA(a,b,c,d,mdim);yval3=[repmat([1],size(tt,2),1),yval3,repmat([2],size(tt,2),1)];Fig(2,X,yval1,yval3,tt);title('FUSVs.ExactSolution')%HSsolutiond=zeros(size(tt,2),mdim);a=repmat([1],size(tt,2),mdim);forn=1:size(tt,2)t=tt(1,n);ift>2b(n,:)=repmat([0],1,mdim);c(n,:)=repmat([1],1,mdim);d(n,1)=y0;elseift<-2b(n,:)=repmat([1],1,mdim);c(n,:)=repmat([0],1,mdim);d(n,mdim)=yL;elseb(n,:)=repmat([0.5*(1-0.5*t)],1,mdim);c(n,:)=repmat([0.5*(1+0.5*t)],1,mdim);d(n,1)=0.5*(1+0.5*t)*y0;d(n,mdim)=0.5*(1-0.5*t)*yL;endendc(:,1)=0;b(:,mdim)=0;%numericalcalbyusingTDMAsubfuctionyval4=TDMA(a,b,c,d,mdim);yval4=[repmat([1],size(tt,2),1),yval4,repmat([2],size(tt,2),1)];Fig(3,X,yval1,yval4,tt);title('HSVs.ExactSolution')%QUICKSolutiond=zeros(size(tt,2),mdim);a=repmat([1],size(tt,2),mdim);forn=1:size(tt,2)t=tt(1,n);b(n,:)=repmat([1/(2+t)],1,mdim);c(n,:)=repmat([(1+t)/(2+t)],1,mdim);d(n,1)=(1+tt(1,n))/(2+tt(1,n))*y0;d(n,mdim)=1/(2+tt(1,n))*yL;endc(:,1)=0;b(:,mdim)=0;%numericalcalbyusingTDMAsubfuctionyval5=zeros(size(tt,2),mdim);yval5com=yval5+1;counter=1;%iterativewhilemax(max(abs(yval5-yval5com)))>10人-10ifcounter==1yval5com=TDMA(a,b,c,d,mdim);endfornn=1:size(tt,2)fornnn=1:mdimifnnn==1d(nn,nnn)=((6*yval5com(nn,nnn)-3*y0-3*yval5com(nn,nnn+1))*tt(1,nn))/(8*(2+tt(1,nn)))+((1+tt(1,nn))/(2+tt(1,nn))*y0);elseifnnn==2d(nn,nnn)=((5*yval5com(nn,nnn)-3*yval5com(nn,nnn+1)-yval5com(nn,nnn-1)-y0)*tt(1,nn))/(8*(2+tt(1,nn)));elseifnnn==mdimd(nn,nnn)=((5*yval5com(nn,nnn)-3*yL-yval5com(nn,nnn-1)-yval5com(nn,nnn-2))*tt(1,nn))/(8*(2+tt(1,nn)))+(1/(2+tt(1,nn))*yL);elsed(nn,nnn)=((5*yval5com(nn,nnn)-3*yval5com(nn,nnn+1)-yval5com(nn,nnn-1)-yval5com(nn,nnn-2))*tt(1,nn))/(8*(2+tt(1,nn)));endendendyval5=TDMA(a,b,c,d,mdim);temp=yval5;yval5=yval5com;yval5com=temp;counter=counter+1;endyval5=yval5com;yval5=[repmat([1],size(tt,2),1),yval5,repmat([2],size(tt,2),1)];Fig(4,X,yval1,yval5,tt);title('QUICKVs.ExactSolution')%TDMASubFunctionfunctiony=TDMA(a,b,c,d,mdim)%formabcdresolveyval2byusingTDMA%eliminationp(:,1)=b(:,1)./a(:,1);q(:,1)=d(:,1)./a(:,1);forn=2:mdimp(:,n)=b(:,n)./(a(:,n)-c(:,n).*p(:,n-1));q(:,n)=(d(:,n)+c(:,n).*q(:,n-1))./(a(:,n)-c(:,n).*p(:,n-1));end%iterativey(:,mdim)=q(:,mdim);forn=(mdim-1):-1:1y(:,n)=p(:,n).*y(:,n+1)+q(:,n);end%ResultComSubFunctionfunctiony=ResultCom(a,b,c)forn=1:max(size(c,2))y(2*n-1,:)=a(n,:);y(2*n,:)=b(n,:);end%FigSubFunctionfunctiony=Fig(n,a,b,c,d)figure(n);plot(a,b);holdonplot(a,c,'*');str='''legend(';forn=1:size(d,2)ifn==size(d,2)str=strcat(str,'''''Pe=',num2str(d(1,n)),''''')''');elsestr=strcat(str,'''''Pe=',num2str(d(1,n)),''''',');endendeval(eval(str));精确解与数值解的对比图，其中边界条件给定©二1,o=2。为了对比明显，0L给出的是P=1,2,10的数值解与精确解的对比：A由图可以看出，QUICK和CD格式的计算精度较高，但两种格式都只是条件稳定；HS和FUS格式绝对稳定，但FUS的精度较低；CDVs.ExactSolutionHSVs.ExactSolutionQUICKVs.ExactSolution乘方格式:a—EDe「0,(1-0.1P)5,=10A00d（厂d©）对（5—1）式d（pu©）=如积分可得：dxdx（pu©）—（pu©）=（r学）—（r学）ewdxedxw对流项采用QUICK格式的界面插值，扩散项采用线性界面插值，对于u>0及均分网格有：|[(6©P+叭—©WW")-(6©W+驸-©J")]=I©」eA)—r(©pA©w)]WeWPWWweAxwAx整理得：33［（pu）-（pu）4e8上式即为QUICK格式离散得到的离散方程；rrr3rw+(AX+AX)]©p=[AX—8(pu)e]©E+[131Ax+8(pu)e+4(pu)w]©W—8(pu)©wWW2）要分析QUICK格式的稳定性，则应考虑非稳平流方程:0©0©=—u0t0X在At时间间隔内对控制容积作积分：Jj+At辿dtdx=-uft+Atfe0©dxdtwt0Xtw0X得：twJe(©t+At—©t)dx=-u『+At(©—©)dtew©随时间变化采用阶梯显式，随空间变化采用QUICK格式得:(©t+At—©t)Ax=P—u[-(6©+3©—©—6©—3©+©)]AtP8PEWWPWW整理得：©n+1—©n3©n+3©n—7©n+©ni1—uii+1Ii-28AxAt对于初始均匀零场，假设在（i,n）点有一个扰动8n；i对i+1点写出QUICK格式的离散方程：©n41—©ni41i41At可得：对i-1点分析可得:7uAtn+1=£ni418Axi©n41i—13uAt8Ax£ni3©n43©n—7©n4©n—ui41i42ii—18Ax由于扩散对扰动的传递恒为正，其值为竺£n，所以根据符号不变原则有:pAx2i3uAtrAt(—£n4£n)/£n)>08AxipAx2ii整理得到QUICK格式的稳定性条件为：p<8A35－91)三阶迎风格式采用上游两个节点和下游一个节点的值来构造函数界面插值形式，所以定义如下：TOC\o"1-5"\h\zf©=a©+b©+c©u>0JeEPWI©=a©+b©+c©u<0ePEEE根据上述定义，在u>0时对控制容积内的对流项作积分平均可得：—je逆dxAxwdx1-心1一心一一一一+(c-b)9-c^]WWW由表2－1式可知三阶迎风格式的差分格式：帥dxi,n4»n+6^n-12»n+2»ni41ii-1i-212Ax由控制容积积分法得到的对流项离散格式应与Taylor离散展开得到的离散格式具有相同的形式和精度，所以比较可得：151a=—,b=—,c=——366所以三阶迎风格式的函数插值定义为：©e©e=1©45©—1©3E6P6W=1©45©—1©3p6e6ee2）由上述分析可知，得到的三阶迎风格式的插值定义与给出节点上导数表达式的定义在形式上显然是一致的；6－1二维直角坐标中不可压缩流体的连续方程及动量方程如下(1)dudv门dxdyd(pu)d(puu)d(puv)dpV++_dtdxdyd(pv)d(pvu)d(pvv)dtdxd』)d(伴)+亘+工+Sdxdxdyudp+d(哙)+d咱)+Sdydxdyv(2)(3)假设常粘性，则Su二S二0；对公式（2）及（3）分别对x,y求偏导得:vd(d(puu)'dx(dx丿d(d(pv)]d\d(pvu)'dy(dtJdy(dx丿d(d(puv)、+——-dx(dy丿d(d(pvv)]dy\dy丿d(dp)—\—+ndx(dx丿d(dp、d(d2u'dx(dyd(d2v]dyd3u+耳—dx3dx2丿2丿d3v+耳-dy3两式相加得并变换积分顺序有：(d2p+d2p、(\dx2dy2丿d2(dudv'+dx2(dxdy丿d2(dudv'+dy2(dxdy丿(dudv]-d(dududv]d(dvdudv]一++p—2u——+v——+u+—2v—+v——+u(dxdy丿dx(dxdydy丿dy(dydxdx丿丿dpat利用连续方程有:dudu]d—u—+v—+—vdx(dxdy丿dy(dydvdv]v—+udx丿丿(dx2dy2丿2dudvdydxd2ud2v+—dx2dy2+2dudvdxdydudvdxdyd2p](d2pdy2最后即得:(02p+d2p、=2pdudvdudv(dx2dy2丿丿dxdydydx6－4假设p*二5，则有：Pu*二5-10=一5ev*二0.7X(5-0)二3.5n由连续性条件有：u+v=u+vTOC\o"1-5"\h\zenws按SIMPLE算法有：u二u*+d(p'-p')=一5+p'eeePEPv=v*+d(p'-p')=3.5+0.7p'nnnPnP将上两式代入连续性方程中有：—5+p'+3.5+0.7p'=50+20PP计算得：p'=42.06p所以：p=p*+p'=5+42.06=47.06pppu=p一p=47.06一10=37.06ePEv=0.7(p—p)=0.7X(47.06—0)=32.94nPN6—5¥2口加)(10)(40)假设p；二250,p6-150，所以各点的流量为:Q*=0.4x(275—250)=10AQ*=0.2x(250—270)=—4BQ*=0.1x(10—250)=—24CQ*=0.2x(250—150)=20DQ*=0.1x(40—150)=—11TOC\o"1-5"\h\zE上述流量满足动量方程，但并不满足连续性方程，所以对流量修正:Q=10+0.4x(p'—p')A13Q=—4+0.2x(p'—p')B32
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