(完整word)双曲线及其标准方程详解

2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．1(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上2222xyyx－＝1－＝1标准方程a2b2ab22(a>0，b>0)(a>0，b>0)焦点坐标F(－c,0)，F(c,0)12F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系222c＝a＋b2222xyyx想一想：如何判断方程a2－b2＝1(a>0，b>0)和a2－b2＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点的位置？22提示如果x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a<|FF|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|FF|时，其轨迹是以1212F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F、F表示双曲线的左、右焦12点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．|PF|－|PF|12．(3)双曲线定义的表达式是||＝2a(0<2a<|F1F2|)(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦22点跟着正项走”，若x项的系数为正，则焦点在x轴上；若y项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方22程为Ax＋By＝1(AB<0)或进行分类讨论.2题型一求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．1516－，5(1)经过点P3，4，Q3；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．2222xyyx[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设a2－b2＝1(a>0，b>0)和a2－b2＝x2y21(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为22mx＋ny＝1(mn<0)或m＋ny2y2x22＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x－＝1(a>0，b>0)或－22λ－λab6＝1(0<λ<6)．22解法一若焦点在轴上，设双曲线的方程为xy(1)x2－2＝1(a>0，b>0)，1516ab和Q－，5在双曲线上，由于点P3，4392252＝－，a2－16b2＝1，a16所以解得(舍去)．25625b2＝－9－22＝1，9ab22若焦点在轴上，设双曲线的方程为yxy2－2＝1(a>0，b>0)，ab9225－＝1，16a2b2将P、Q两点坐标代入可得25256－＝，221a9b2a＝9，解之得2b＝16，2－x2所以双曲线的标准方程为y＝1.916xy2＋2法二设双曲线方程为＝1(mn<0)．mn∵P、Q两点在双曲线上，39＋225＝1，＝－，m16nm16∴解得25625n＝9.＋n＝1，9my2x2∴所求双曲线的标准方程为－＝1.91622法一依题意，可设双曲线方程为xy(2)2－2＝1(a>0，b>0)．aba2＋b2＝6，2a＝5，依题设有254解得22－2＝1，b＝1，ab22∴所求双曲线的标准方程为x－y＝1.5法二∵焦点在x轴上，c＝6，22∴设所求双曲线方程为x－y＝1(其中0<λ<6)．λ6－λ∵双曲线经过点(－5,2)，254∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．λ6－λx2∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.5规律 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.x2x2因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.97(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，2＋＋2－－－2＋－2＝－＝，则＝，2＝2－2即2a＝|－5－0665066||135|8a4bca22＝6－4＝20.2－x2因此，所求双曲线的标准方程是y＝1.1620x2y2xy22－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P是两曲线2.若椭圆m＋n＝1(m＞n＞0)和双曲线ab的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB．m－b22C．m－aD．m－bA解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2m．由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a．∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a．∴|PF1|·|PF2|＝m－a．4题型二双曲线定义的应用【例2】x2y2如图，若F，F是双曲线的两个焦点．12－＝1916(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF·2|＝32，试求△F1PF2的面积．[思路探索](1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．x－y解双曲线的标准方程为22＝1，91622故a＝3，b＝4，c＝a＋b＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，22得|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF|2＋|PF|2＝36＋2|PF||PF·|＝121236＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得222|PF1|＋|PF2|－|F1F2|cos∠FPF＝122|PF||PF·|100－10012＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，2|PF1|·|PF2|11∴△＝·＝×＝SF1PF22|PF1||PF2|23216.规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF12求|－|PF||＝2a解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．5y2－2【变式2】1．已知双曲线的方程是x＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1168的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．1．解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，12所以|ON|＝2|PF|．因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF122或9．|＝2或18，|ON|＝2|PF|＝1x222．设P为双曲线y＝°，－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF260169求△PF1F2的面积．22xy16－9＝1，得a＝4，b＝3，故c＝解：由方程16＋9＝5，所以|F1F2|＝2c＝10．22又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|＝64．①在△PF1F2中，由余弦定理，得222|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|cos60，°22即|PF1|＋|PF2|－|PF1||PF2|＝100．②①－②，得|PF1||PF2|＝36，所以113S＝PF1F2|PF1||PF2|sin60＝°×36×＝93．222x3.已知双曲线2－y2＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△FPF916的面积．1222xy解由9－16＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，2＝2＋2－|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cos60，°22所以10＝(|PF1|－|PF2|)＋|PF1||PF·2|，所以|PF1||PF·2|＝64，61∴S△FPF＝2|PF||PF·|·sin∠FPF11321212＝×64×＝163.22误区警示忽略双曲线焦点位置致误x2y2【示例】方程＋m的取值范围是________．＝1表示双曲线，那么2－m|m|－32－m>0，[错解]由解得－302－m<0，[正解]依题意有或|m|－3<0|m|－3>0，解得－33.∴m的取值范围是{m|－33}．答案{m|－33}22xy方程m＋n＝1既可以表示椭圆又可以7表示双曲线．当方程表示椭圆时，m、n应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m、n应满足mn<0，当m>0，n<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.当堂检测－和，动点满足－＝，则动点的轨迹1．平面内有两个定点F(5,0)F(5,0)P|PF||PF|6P1212方程是()A．x22B．x22y=1(x≤－4)y=1(x≤－3)169916yCx22Dx22=1(x≥3)．y=1(x≥4)．169916答案：D解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c22222＝5，b＝c－a＝16，∴所求轨迹方程为xy=1(x≥3)．916x2y2=1，则此双曲线的焦距为2．已知双曲线为()222222A．B．C．2D．解析：由已知λ＜，2＝，2＝－λ，2＝－λ，∴焦距2c22答案：D0a2bc2．x2y2=13．已知双曲线上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为()169A．7B．23C．5或25D．7或23答案：D解析：设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF12|－|PF||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线=1的左支上，sinCx2y2＝______．则sinA2511sinB5答案：解析：如图，6|BC||AB|sinAsinC2R2R|BC||AB|2a105．sinB|AC||AC|2c1262R822xy．在平面直角坐标系，则点5xOy中，已知双曲线=1上一点M的横坐标为3M412到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．把x＝3代入双曲线方程得y＝±15，即M点的坐标为(3，±15)．－2＋±－2＝．由两点间距离公式得|MF|＝3415049