第一节 微分学中值定理

第十章多元函数微分学第一节多元函数的极限与连续第二节偏导数第三节全微分第四节多元函数微分法第五节多元函数的极值第一节多元函数的极限与连续一、多元函数的概念1.引例　例１设矩形的边长分别为x和y，则矩形的面积S为S=xy（x>0,y>0）.这里变量S依赖于两个独立自变量x和y，称S是x和y的二元函数．　例2电流所产生的热量Q与电压E、电流I以及时间t的关系式为Q=EIt(E>0,I>0,t>0)．这里变量Q依赖于三个独立自变量E、I和t，称为三元函数．2.二元函数的定义　定义1设有三个变量x，y和z，如果当变量x，y在它们的变化范围D中任意取定一对值时，变量z按照一定的对应规律都有唯一确定的值与它们对应，则称z为变量x，y的二元函数．记为z=f(x，y)，其中x与y称为自变量，函数z也叫因变量，自变量x和y的变化范围D称为函数的定义域．一元函数的定义域一般是一个或几个区间，二元函数的定义域一般是由平面上一条或几条曲线所围成的连通的部分平面，这样的部分平面称为区域．常见的区域有矩形区域：圆形区域：(δ<0).圆形区域一般称为平面上点的δ邻域.类似地可定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上函数；二元及二元以上的函数称为多元函数．例3求二元函数z=的定义域．解由根式函数的要求容易知道x，y必须满足不等式　所以定义域为D 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示xoy平面上一个以圆点为圆心，半径为1的圆内及圆周边界上点的全体．它是有界闭区域．如图所示.例4求二元函数z=ln(x+y)的定义域．解自变量x+y的取值必须满足不等式x,y>0，即定义域为D在xoy平面表示一个在直线上方的半平面（不包含边界x+y=0）．它是无界开区域．如图所示．3.二元函数的几何表示一般地，一元函数y=f(x)在平面直角坐标系中表示一条曲线．二元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中表示一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影,如图1．例如，例3中函数的图形就是扣在xoy平面上的上半单位球面,如图2.图1图2二、二元函数的极限在一元函数中，我们讨论过当自变量趋向于有限值时函数的极限．对于二元函数z=f(x,y)，同样可以讨论当自变量x与y趋向于有限值时，函数z的变化趋势．定义2设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义(点可除外).如果动点P(x,y)沿任意路径趋向于定点时，对应函数值f(x,y)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f(x,y)当时的极限，记作　类似于一元函数，二元函数的极限也有相应的四则运算法则．三、二元函数的连续性像一元函数一样，我们给出二元函数连续的定义．定义3设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，且则称函数f(x,y)在点处连续．如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续．　设自变量x,y各取得增量,函数z=f(x,y)取得增量称为函数z=f(x,y)在点处的全增量．　设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，则函数z=f(x,y)在点处连续的充分必要的条件是如果函数z=f(x,y)在点不连续，则称点是z=f(x,y)的不连续点或间断点．与一元函数类似，二元初等函数在其定义区域内是连续的．第二节偏导数一、偏导数定义设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，当y固定在处有增量时，相应地函数有增量　如果极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数，记作类似地，函数z=f(x,y)在点处对y的偏导数定义为记作如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，这个偏导数仍是的函数，称为函数z=f(x,y)对x的偏导数，记作类似地，函数z=f(x,y)对y的偏导数定义为记作说明　(1)由偏导数的定义知，二元函数的偏导数就是指对一个自变量求导，而其它变量保持不变，因此求导时可将二元函数看成是一元函数；(2)求二元函数的偏导数，不需引进新的方法，只需利用一元函数的求导公式和求导法则．例1解把y看作常量，对x求导，得把x看作常量，对y求导，得例2解例3解例4解例5证二、偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)在空间直角坐标系中，一般表示一个曲面．若把　z=f(x,y)中的y看作常数　　,则表示曲面z=f(x,y)与平面　　　　相交成的一条曲线．由一元函数导数的几何意义可知，偏导数　　　　　就是这条曲线在点处的切线关于x轴的斜率（如下页图），即在点处的切线关于y轴的斜率（如下图)同理，偏导数　　　　　就是曲面z=f(x,y)与平面　　　的交线即三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内偏导数存在，则这两个偏导数的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数．即类似地，可定义三阶、四阶、…、···、n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数.例6解对于三元及以上的函数可以类似地定义高阶偏导数，并在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关.第三节全微分一、全微分的概念类似一元函数，可定义二元函数的全微分.定义若函数z=f(x，y)在点二元函数的全微分与连续、偏导数有下面关系．定理1若z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则它在该点连续．定理2若z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则它在该点处的两个偏导数存在，且一般地，记△x=dx,△y=dy,则函数的全微分可写成定理3若z=f(x，y)在点(x，y)处的两个偏导数连续，则z=f(x，y)在该点可微.全微分的概念可推广到三元及以上的多元函数．例如，若函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，则例1求二元函数z=x(x+y)在点(-1,1)处，当△x=0.1,△y=0.2时的全增量与全微分．解例２　　　　解二、全微分在近似计算中的应用　设函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数的全增量与全微分之差是一个比ρ高阶的无穷小，因此当|△x|与|△y|都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，即所以例3一圆柱形的铁罐，内半径为5cm，内高为12cm，壁厚均为0.2cm，估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少（包括上、下底）？解圆柱体体积这个铁罐所需材料的体积为即，这个铁罐所需材料的体积约为106.8cm.例4　　　　解第四节多元复合函数微分法定理一、多元复合函数微分法求偏导数与求一元函数的导数实质上没有什么区别，因而对于一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法对多元函数仍然适用．例1解多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，应通过所有相关的中间变量，用复合函数微分法微到该自变量，这一法则通常称为链式法则．比如：注意上面第一式中，表示在中，把y看作常量求得的z对x的偏导数；表示在函数中，把u看作常量求得的z对x的偏导数，所以例2解例3解二、隐函的微分法(1)在一元函数微积分中，已经讨论过求由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的导数还可以用多元复合函数的微分法求下面给出其公式.(2)对于由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y),例4解法一解法二第五节多元函数的极值一、二元函数的极值定义设函数z=f(x,y)在点的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于的点，都有成立，则称函数z=f(x,y)在点取得极大值或极小值．定理1(极值存在的必要条件）若函数z=f(x,y)在点取得极值且函数在该点一阶偏导数存在，则有定理2(极值存在的充分条件）设函数z=f(x,y)在的某邻域内连续且具有一阶梯及二阶连续偏导数，且点是函数的驻点，即例1求函数的极值.解驻点为(1,1),(0,0).二、多元函数最大值和最小值应用与一元函数类似，若二元函数在有界闭区域上连续，则在上函数一定能取得最大值和最小值．对于实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的最值问题，往往从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得．这时，如果函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．因此求实际问题的最值的一般步骤为(1)根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；(2)求出驻点；(3)结合实际意义判定驻点处的函数值是最大值或最小值．例2某工厂要用钢板制作一个容积为的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省？解设容器的长、宽、高分别为x、y、z(m)，则容器所需钢板的面积为得，所需的材料最省得，三、条件极值求函数z=f(x,y)满足约束条件的极值问题，称为条件极值问题．求解方法是拉格朗日乘数法．拉格朗日乘数法的求解步骤为　　(1)构造辅助函数（称为拉格朗日函数）其中λ为待定常数，称为拉格朗日乘数；(2)得可能的极值点(x,y)和乘数λ；(3)判别求出的点(x,y)是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定．例3某工厂生产两种商品的日产量分别为x、y（件），总成本函数为（元），商品的限额为x+y=42,求最小成本．解