概率论与数理统计—随机事件与概率

第一章随机事件与概率§1.1随机事件§1.2概率§1.3条件概率§1.4事件的独立性1.1.1随机现象现象按照必然性分为两类：一类是确定性现象；一类是随机现象。在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。§1.1随机事件§1.1.2随机试验和样本空间试验的例子E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3: 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的测量误差；E6:在区间上任取一点，记录它的坐标。上述试验的特点：1.试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；2.一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常用E 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。1、样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为Ω.样本空间2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母ω表示.下面分别写出上述各试验所对应的样本空间§1.1.3随机事件1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等。例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。例，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。两个特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。　1.包含关系与相等：“事件A发生必有事件B发生”，记为AB。A＝BAB且BA.§1.1.4、事件之间的关系ABABΩ2.和事件：“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。推广：n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作显然：1.AAB，BAB；2.若AB，则AB=B。3.积事件:事件A与事件B同时发生，记作AB或AB。推广：n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An显然：1.ABA，ABB；2.若AB，则AB=A。4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生显然：1.A-BA；2.若AB，则A-B=φ。5.互不相容事件（也称互斥的事件）即事件A与事件B不可能同时发生。AB＝。ABAB=Ω6.对立事件AB＝,且AB＝思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别.显然有：事件的运算律1、交换律：AB＝BA，AB＝BA。2、结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C＝A(BC)。3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)。4、对偶(DeMorgan)律：例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C都不发生；（4）A，B，C不全发生；（5）A，B，C恰有一个发生。解例1-5某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：本节课主要讲授：1.随机现象；2.随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（重点）。小结§1.2概率1.2.1频率与概率频率的性质：试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.1.2.2古典概型理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型：1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;设事件A中所含样本点个数为r,样本空间中样本点总数为n,则有古典概型中的概率:例1-7掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样本点数r=3,从而解：显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},样本点总数n=6,解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},样本点总数n=8.A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例1-8抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”,B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求P(A),P(B),P(C).则P(A)=rA／n=3／8,P(B)=rB／n=1／8,P(C)=rC／n=7／8.例1-9从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试求3个数字中不含0和5的概率.解设A表示“3个数字中不含0和5”.从0,1,2,…,9中任意选3个不同的数字,共有种选法,即基本事件总数n=.3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9共8个数中取得,选法有,即A包含的基本事件数,则如果把 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中的“0和5”改成“0或5”,结果如何？例1-10从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.解基本事件总数n=,因为第一次取数有9种可能取法,这时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”.A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9种可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8种可能取法,r=9*8,故P(A)=r∕n=9*8∕=8∕9(2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n=1002.在这种情况下，A中包含的基本事件数r仍为97*3，故例1-12一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件.试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。解(1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接连两次抽取共有种取法，即基本事件总数.第一次取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法，则A中包含的基本事件数是r=97*3，故计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列性质：(3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B).这个性质可以推广：当A1，A2，…Am互不相容时，有其中m是正整数.当A1，A2，…Am互不相容时，有1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1；(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。1.2.3概率的定义与性质概率的性质性质1-1性质1-2对于任意事件A,B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地,当A与B互不相容时,P(AUB)=P(A)+P(B).性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当A1,A2,…,An互不相容时：P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质1-3P(B-A)=P(B)-P(AB).特别地,当AB时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)P(B).性质1-4P(A)＝1－P(A).性质1-5：对任意两事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-13已知12种产品中有2件次品,从中任意抽取4件产品,求至少取得1件次品(记为A)的概率.解设B表示“为抽到次品”,则B=A,而由古典概型的概率求法可得例1-14设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B).解由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解由性质1-5可知，例1-15设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-16设A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求P(AB).解P(AB)=P()=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2小结本节课的重点：（1）古典概型事件概率的计算；（2）概率的性质及其应用.1.3.1条件概率与乘法公式例1-17某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？§1.3条件概率1定义：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A).定义1-2设A,B是两个事件,且P(B)>0,称为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)>0时，计算条件概率有两个基本的 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：一、是用定义计算；二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.例1-18在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.解设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”,显然BA,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,则所求概率为解设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例1-20盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.性质2若A与B互不相容，则性质3条件概率的性质性质1概率的乘法公式：(1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A).(2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：(1)设P(AB)>0时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).同理还有P(AC)>0，P(BC)>0之下的乘法公式.(2)设P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).例1-21在10个产品中,有2件次品,不放回的抽取2次产品,每次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率.解设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则故例1-22盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为例1-23设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B).解1.3.2全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式定义1-3设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件：(1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n;(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分.全概率公式设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则注：全概率公式求的是无条件概率例1-24盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两次球,每次取一个,求第二次取球取到白球的概率.解设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得例1-25在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,并且在各自的产品中废品率分别为5%,4%,3%.求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.解设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”,A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”,A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得例1-26设在n(n>1)张彩票中有1张奖券,甲、乙两人依次摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.解设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B),显然P(A)=1/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得这个例题 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所谓的“抽签公平性”.贝叶斯(Bayes)公式设A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,B是任一事件,且P(B)>0,则例1-27在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.解使用例1-24解中记号,所求概率为,由贝叶斯公式注：Bayes公式求的是条件概率.例1-27在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解由贝叶斯公式，例1-28针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?解设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真正患有该病.例题小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每月给他寄钱的概率是0.8.小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9.求：(1)小明能去上海看世博会的概率是多少？(2)假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海,求他父母亲给他寄钱的概率各是多少？1、全概率公式及其应用；(求无条件概率)小结2、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率)定义1-4若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A,B独立.性质1-6若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B都相互独立.§1.4事件的独立性1.4.1两事件独立性质1-5设P(A)>0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)>0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质1-6知，例1-30两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率.解设A表示“甲射中目标”,B表示“乙射中目标”,C表示“目标被击中”,则C=A∪B,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律亦可.注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(A∪B)=1-P(A)P(B)例1-31袋中有5个白球3个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取一个球,求两次取出的都是白球的概率.解设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例1-32设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).即解得解由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，二、多个事件的独立定义1-5若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立,简称A、B、C独立.一般地,设A1,A2,…,An是n个事件,如果对任意k(1kn),任意的1i1i2…ikn,具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)则称n个事件A1,A2,…,An相互独立。思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AUB与CD独立吗？例1-333人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.求此密码被译出的概率.解法1设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为P(A∪B∪C)，且A,B,C独立，P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4.于是解法2用解法1的记号，比较起来,解法1要简单一些,对于n个相互独立事件A1,A2,…,An,其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通过下式计算：例1-343门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中率分别为0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率。解设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3,B表示“敌机恰中一弹”,则已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P()=____.设随机事件A与B相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则P(A∪B)=.设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=_____练习0.750.2设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=φ，且P(A)=P(B)=P(C)=x，则当x=时，P(A∪B∪C)=.n重贝努利(Bernoulli)试验：试验只要两个结果A和A,而且P(A)=p,0