专题11 概率与统计热点问题（解题指导）-2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍（解析版）

2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍专题11概率与统计热点问题（解题指导）三年考情分析 热点预测 真题印证 核心素养 统计图表 2018·Ⅰ，3 数学抽象、数据分析 二项分布 2018·Ⅰ，20；2017·Ⅰ，19 数学运算、数据分析 分布列、期望 2017·Ⅲ，18；2016·Ⅰ，19 数学运算、数据分析 正态分布 2017·Ⅰ，19 数据分析 条件概率 2016·Ⅱ，18 数据分析 回归分析 2018·Ⅱ，18；2016·Ⅲ，18 直观想象、数据分析 独立性检验 2018·Ⅲ，18；2017·Ⅱ，18 数据分析审题答题指引1.教材与高考对接——统计图表、独立性检验【题根与题源】(必修3P70茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并说明理由.【试题评析】统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.【教材拓展】甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.解　根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为eq\f(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96,7)＝85，乙同学成绩的平均数为eq\f(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96,7)＝85，故甲同学成绩的方差为eq\f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为eq\f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq\f(398,7)>40，故成绩较稳定的是甲.【探究提高】(2018·全国Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)， P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828解：(1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间eq\o(x,\s\up6(－))1＝84.第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间eq\o(x,\s\up6(－))2＝74.7.∴eq\o(x,\s\up6(－))1>eq\o(x,\s\up6(－))2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图数据得到m＝80.由此填写列联表如下： 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40(3)根据(2)中的列联表计算.K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(40（15×15－5×5）2,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.2.教你如何审题——回归分析问题【例题】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－)).【审题路线】【自主解答】解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq\f(2.89,28)≈0.10，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.将2020年对应的t＝13代入回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×13＝2.22.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.22亿吨.【探究提高】在两个变量的回归分析中要注意以下两点：(1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.【尝试训练】某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如表： x 1 2 3 4 y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量.参考公式：回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝2,i)eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解　(1)作出的散点图如图：(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格： x y x2 xy 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 ∑ 10 138 30 418可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝2,i)eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(4),\s\do6(i＝1))x－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(418－4×\f(5,2)×\f(69,2),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(73,5)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)－eq\f(73,5)×eq\f(5,2)＝－2.故回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(73,5)x－2.(3)当x＝5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(73,5)×5－2＝71.故预测第5年的销售量大约为71万件.3.满分答题示范——分布列、期望、方差问题【例题】(12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？【 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答】4.高考状元满分心得❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1分，每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此.❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个概率值的计算要正确，否则不得分.【构建模板】【规范训练】(2018·佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是eq\f(2,3)，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解　(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.P(ξ＝1)＝1,4)eq\f(CCeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；P(ξ＝2)＝2,4)eq\f(CCeq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；P(ξ＝3)＝3,4)eq\f(CCeq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P eq\f(1,5) eq\f(3,5) eq\f(1,5)E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)；P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(6,27)；P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(12,27)；P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27).应聘者乙正确完成题数η的分布列为 η 0 1 2 3 P eq\f(1,27) eq\f(6,27) eq\f(12,27) eq\f(8,27)E(η)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(6,27)＋2×eq\f(12,27)＋3×eq\f(8,27)＝2.(或因为η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以E(η)＝3×eq\f(2,3)＝2)(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，D(η)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).所以D(ξ)<D(η).综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.