第一篇知识系统复习第一章数与式第一节实数的有关概念和运算第二节整式与因式分解第三节分式第四节数的开方二次根式重难点突破一数、式的综合计算
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
第二章方程（组）与不等式（组）第一节一元一次方程与二元一次方程组第二节分式方程第三节一元二次方程第四节一元一次不等式（组）重难点突破二方程（组）与不等式（组）的应用第三章函数第一节函数及其图象第二节一次函数的图象、性质与应用第三节反比例函数的图象与应用重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用第四节二次函数的图象与性质第五节二次函数的应用第1课时几何运用第2课时实际运用重难点突破四二次函数与一次函数的综合运用第四章三角形第一节角、相交线、和平行线第二节三角形的基本概念及全等三角形第三节等腰三角形第四节直角三角形第五章四边形第一节多边形与平行四边形第二节矩形、菱形、正方形重难点突破五多边形的变化与证明第六章圆第一节圆的有关性质第二节与圆有关的位置关系第三节正多边形与圆圆有关的计算尺规作图第七章图形与变换第一节图形的平移、旋转与对称第二节相似形第三节锐角三角函数及解直角三角形第四节视图与投影第八章统计与概率第一节统计及其应用第二节概率及其应用第二篇重点题型突破专题一
数学
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思想方法专题二规律探索题专题三动手操作与方案设计专题四实际应用型问题专题五图形运动型问题专题六代数几何综合题数学*第一篇知识系统复习第一章数与式第一节实数的有关概念和运算第二节整式与因式分解第三节分式第四节数的开方二次根式重难点突破一数、式的综合计算题第一节 实数的有关概念和运算负分数无理数分数0———有理数实数整数———正整数负整数———正分数———负无理数正无理数有限小数或循环小数无限不循环小数实数的概念1.数轴的三要素: 、 和单位长度. 2. 与数轴上的点一一对应.3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为 ;若a,b互为相反数,则a+b= ;非零实数a的倒数为 (a≠0);若a,b互为倒数,则ab= ;实数a的绝对值为|a|=4.乘方:求n个 因数a的 的运算叫做乘方. 原点正方向实数-a01相同乘积1.科学记数法:一般形式为a×10n( ≤|a|< ,n为整数).2.近似数:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.1.数轴比较法:数轴上的两个数, 边的数总比 边的数大.2.性质比较法:正数>0>负数.3.绝对值比较法:a<0,b<0,若|a|>|b|,则a b. 4.根式比较法:a>b≥0⇔5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b;(2)a-b<0⇔a
0,则(1)>1⇔a>b;(2)<1⇔a
分析
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】对无理数的判定,不能只被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如是有理数;用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30°、tan45°就是有理数.一个数是不是无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数.【解】3=3,=4,()0=1科学记数法、近似数(2013·日照)据新华社报道:在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为( )实数的计算计算：【方法归纳】解答此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值，理解整数指数幂和立方根的含义，特别要注意零指数幂、负整数指数幕的计算方法:第二节 整式与因式分解1.代数式:代数式是用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 的 连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值:用数值代替代数式里的 ,计算后所得的结果. 3.求代数式的值主要用代入法,代入法分为直接代入、整体代入和寻找规律求值.运算符号数数字母字母1.整式单项式:只是数字与字母的____的代数式叫做单项式.单独一个数字或字母也是单项式.多项式:几个单项式的_____叫做多项式.积和知识点1:代数式、代数式的值知识点2:整式的相关概念1.整式的加减:整式的加减实际上是 . 合并同类项2.单项式中的 叫做这个单项式的系数;所有字母的指数 叫做单项式的次数. 3.组成多项式的各个单项式中 叫做多项式的次数. 4.同类项:多项式中所含 相同并且 也相同的项,叫做同类项. 数字因数和次数最高的项的次数字母相同字母的指数2.整式的乘除知识点3:整式的运算3.乘法公式＝_________平方差公式:完全平方公式:___________1.am·an= (m,n都是正整数). 2.(ab)n= (n是正整数). 3.(am)n= (m,n都是正整数). 4.am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,且m>n).1.因式分解:把一个多项式化成几个整式 的形式,因式分解是 的逆变形. 2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc= . (2)公式法:a2-b2= , a2±2ab+b2= . am+nanbnamnam-n积多项式乘法M（a+b+c）(a+b)(a-b)(a±b)2知识点4:幂的运算知识点5:因式分解3.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.实际问题中的代数式甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次性降价30%.那么,顾客到哪家超市买这种商品更合算( )A.甲 B.乙C.丙D.一样【分析】设商品的原价为m,用代数式表示出三家超市降价后的价格,然后比较.甲超市的售价为m(1-20%)·(1-10%)=0.72m,乙超市的售价为m(1-15%)2≈0.723m,丙超市的售价为m(1-30%)=0.7m,显然到丙超市合算.【解】C【方法归纳】列代数式的关键是找出问题中的数量关系,能准确地把文字语言转换成数学语言.具体地说:(1)正确理解和、差、积、商、多、少、倍、分等数学术语的意义.(2)要分清数量关系中的运算层次与运算顺序,必要时,要正确地添加括号.(3)分析语句所表达的数量关系时,除了要注意关键词的意义外,还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个量为基准的.(1)如果x=1时,代数式ax3+bx+3的值是5,那么当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值是 . (2)有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入的x值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是 ,依次继续下去,第2013次输出的结果是 . 求代数式值的常用方法【分析】(1)将x=1代入代数式ax3+bx+3.由值是5求出a+b的值,再将x=-1代入求值.∵x=1时,ax3+bx+3=5,∴a+b=2,因此,当x=-1时,ax3+bx+3=-a-b+3=-(a+b)+3=-2+3=1.(2)注意x为奇数或偶数的区分.由图可知,输入x=7时,第1次输出7+5=12;第2次输出×12=6;第3次输出×6=3;第4次输出3+5=8;第5次输出×8=4;第6次输出×4=2;第7次输出×2=1;第8次输出1+5=6.归纳得出输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环.∵(2013-1)÷6=335……2,则第2013次输出的结果为3.【解】(1)1 (2)3 3在几何图形中用整式运算求面积(2013·宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足 . 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,∴阴影部分面积之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.【解】a=3b【方法归纳】此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.因式分解【分析】(1)因式分解是把一个多项式化为n个整式的积的形式;(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”.【解】(1)D (2)A第三节 分 式1.形如 (A、B是整式,且B中含有,B≠0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母. 2.分式有意义:在分式中,当 时,分式有意义;当 时,分式没有意义. 3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B≠0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.字母分母B≠0分母B=0知识点1:分式的有关概念知识点2:分式的性质(约分、通分)1.分式的乘、除法:3.分式的加减法.4.分式的混合运算.【方法归纳】(1)分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.2.分式的乘方:————————————知识点3:分式的运算分式的意义【解】(1)1 (2)6 2分式的化简及求值【方法归纳】在最后由x的取值求值时,x要满足使化简前的原分式有意义.[分析]①先化简分式;②x的取值要使化简前的原分式有意义.第四节 数的开方 二次根式知识点1:平方根、算术平方根与立方根正数a0负数a算术平方根平方根立方根知识点2:二次根式的有关概念(1)被开方数的因数是整数,因式是 ; (2)被开方数中不含有 . 整式开得尽方的因数或因式000没有没有1.形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.2.最简二次根式应满足的两个条件:知识点3:二次根式的性质1.双重非负性: 0(a≥0). 2.()2= (a≥0);= .3. =(a≥0,b≥0);(a ≥0,b 0).>≥a|a|知识点4:二次根式的计算1.二次根式的加减: 二次根式相加减,先把各个二次根式化成 ,再把 分别合并. 2.二次根式的乘法:最简二次根式同类二次根式3.二次根式的除法:【注意】二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式.知识点5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数 的两个能开得尽方的整数,对其进行 ,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间. 相邻开方二次根式的概念及性质【解】D实数的估计【解】A*重难点突破一 数、式的综合计算题实数的运算【分析】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简.再按照从左到右的运算顺序进行计算.【方法归纳】实数的混合运算是由很多考点综合而成的,第一步要化简正确,第二步注意运算顺序,第三步注意运算结果是否是最简形式.计算分式的化简求值【分析】先将除式的分子、分母因式分解、约分,再按照运算顺序,可先算括号里面的,也可用乘法分配律计算;求值时,a取的值必须使原分式有意义.【方法归纳】解决本题分三步走:一化、二选、三代入.二次根式的运算与化简求值第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一元一次方程与二元一次方程组第二节 分式方程第三节 一元二次方程第四节 一元一次不等式(组)重难点突破二 方程(组)与不等式(组)的应用*第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一元一次方程与二元一次方程组知识点1:等式的性质知识点2:一元一次方程1.含有 的等式叫做方程.使方程两边相等的 叫做方程的解. 2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是 ,且等式两边都是 的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的标准形式. 未知数未知数的值1整式3.解一元一次方程的一般步骤是:①去分母,②去括号,③ ,④ ,⑤ . 移项合并同类项系数化为1知识点3:一次方程(组)及解法1.二元一次方程:含有两个未知数,并且 的次数都是一次的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:使二元一次方程 相等的未知数的值叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.4.解二元一次方程组的基本思想是 ,将二元一次方程组转化为一元一次方程.有 消元法和 消元法两种. 未知数项左右两边消元加减代入【拓展】方程ax=b的解有以下三种情况:(1)当a≠0时,方程有且仅有一个解;(2)当a=0,b≠0时,方程无解;(3)当a=0,b=0时,方程有无穷多个解.知识点4:一次方程(组)的应用列一次方程(组)解应用题的一般步骤是:①审:即审清题意,分清题中的已知量和 ; ②设:即设关键未知数;③列:即找出适当的等量关系 ; ④解:即解方程(组);⑤检:即检查所得的值是否正确和是否 实际情况; ⑥答:即规范作答(包括单位名称).未知量列方程(组)符合二元一次方程组的解【解】②③④方程组的应用(2013·东营)如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15000元,铁路运输费97200元.求:(1)该工厂从A地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品多少吨?(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?【分析】等量关系为:从A地到工厂公路运费+从工厂到B地公路运费=15000;从A地到工厂铁路运费+从工厂到B地铁路运费=97200.【解】(1)设从A地购买了x吨原料,从工厂运了y吨产品到B地,由题意得出(2)多出“300×8000-(400×1000+15000+97200)=1887800(元).答:(1)从A地购买了400吨原料,运往B地的产品300吨. (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.【方法归纳】建立合适的等量关系是解应用题的关键.第二节 分式方程知识点1:分式方程及其解法1.定义:分母中含有 的方程,叫做分式方程. 2.解分式方程的步骤:分式方程 →解整式方程→验根→确定原方程的根. 3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母为0的根不是 的根,叫做原分式方程的增根. 【注意】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母为0的根.字母整式方程原分式方程知识点2:分式方程的应用列分式方程解应用题的关键是分析题意、从多角度思考问题、找准 ,设出未知数 、最后还要注意求出的未知数的值,不但要是所列分式方程的 ,而且还要符合 .等量关系列出方程根实际意义分式方程的解法【分析】首先要确定最简公分母,然后根据等式的基本性质去分母再解整式方程,最后验根.【方法归纳】分式方程整式方程验根;去分母时防漏乘.分式方程的解【方法归纳】分式方程的解应代入最简公分母,使最简公分母不为0.分式方程的应用(2013·扬州)为了改善生态环境,防止水土流失,某村
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在荒坡上种480棵树,由于青年志愿者的支援,每天比原计划多种,结果提前4天完成任务,原计划每天种多少棵树?,【方法归纳】解分式方程步骤:审题确定等量关系→设未知数→列方程→解方程→验根,判断根是否合理→确定根并作答.【分析】等量关系:原计划时间-实际时间=4(天).第三节 一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 . 2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是 ,将一元二次方程转化为 方程来解.主要有:①直接开平方法;② —— 法;④ 法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:x= . 21ax2+bx+c=0(a≠0)降次配方公式一元一次因式分解知识点2:一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4ac.(1)Δ>0⇔方程有 ; (2)Δ=0⇔方程有 ; (3)Δ<0⇔方程 . 知识点3:一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= . 两个不相等的实根两个相等的实根没有实数根知识点4:一元二次方程的应用步骤:①审;②设;③列;④解;⑤验;⑥答.【注意」列一元二次方程解应用题中，增长率(或下降率)和利润问题是常考
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
:(1)增长率等量关系:①增长率=增长量:基础量x100%;②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(l+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数时，则有a(l一m)n=b.(2)利润等量关系:①利润=售价一成本;②利润率=利润/成本×100%一元二次方程的解法解方程(x-1)(2x-1)=3(x-1).【分析】方程两边都含有因式x-1,如果在方程两边同时约去x-1,就会导致方程失去一个根x=1.本题可先移项,利用因式分解法求解.【解】方程化为(x-1)(2x-1)-3(x-1)=0,即(x-1)(2x-1-3)=0,所以x-1=0或2x-4=0,所以方程的解为x1=1,x2=2.【方法归纳】解一元二次方程时,不能随便在方程两边约去含未知数的代数式,否则,可能导致方程失去一个根.一元二次方程的应用新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?【方法归纳】解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求问题中的等量关系,从而建立方程,本题采用灵活的间接设未知数的方法.【分析】每件利润×每天的销售量=每天的利润.第四节 一元一次不等式(组)知识点1:一元一次不等式1.不等式的基本性质:不等式的性质1:若a>b,则a±c b±c.不等式的性质2:若a>b,c>0,则ac bc或 不等式的性质3:若a>b,c<0,则ac bc或 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.>>><<知识点2:一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的 部分. 2.几种常见的不等式组的解集(a2×1800.∴可多买两台冰箱.答:能多购买两台冰箱.我的想法:可以拿财政补贴款3250元,再借350元,先购回两台冰箱,再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于还借款,这样不会增加实际负担.【方法归纳】本题探求二元一次方程的特殊解(正整数解). 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动,已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?应用题中的分类思想人数m0200收费标准(元/人)908575某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“大别山龙井峡一日游”活动，收费标准如下:【分析】(1)人数可能大于200人,可能小于200人.(2)分甲校人数大于100人小于200人,或大于200人两种情况.∴甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人.【解】(1)超过.理由如下:设两校人数之和为a,若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则a=18000÷85≈211.76.∵a不是整数，∴两校报名人数之和超过200人.又∵报名人数之和超过200人时，有a=18000÷75=240,a为整数.∴两校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.(2)设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则:【方法归纳】这道应用题,由于题目所给条件比较隐蔽,符合题意的情况有多种,解这类应用题时要考虑周全,把各种情况下的解全求出来,这样不至于失解,否则会造成解答不完整,犯以偏概全的错误.方程与不等式的综合应用某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.(1)两种跳绳的单价各是多少元?(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?【分析】(1)找两个等量关系,列二元一次方程组求解.(2)用“不超过”建立两个不等量关系,求不等式组的整数解.【方法归纳】方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案的个数.第三章 函 数*第一节 函数及其图象第二节 一次函数的图象、性质与应用第三节 反比例函数的图象与性质重难点突破三 一次函数与反比例函数的综合运用第四节 二次函数的图象与性质第五节 二次函数的运用第1课时 几何运用第2课时实际运用第三章 函 数第一节 函数及其图象知识点1:平面直角坐标系及点的坐标1.在平面内两条 且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.在平面直角坐标系中,一对有序实数P(x,y),即为点P的坐标. 2.平面直角坐标系内点的特征点P(x,y)(1)在第一象限,x 0,y 0;在第二象限,x 0,y 0;在第三象限,x 0,y 0;在第四象限,x 0,y 0. (2)在x轴上, =0;在y轴上, =0. (3)在第一、三象限角平分线上,则 ;在第二、四象限角平分线上,则 . (4)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 ;点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 ;点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为 . 互相垂直>><＞<<>0,解得x>-3.【解】x>-3分析实际问题中函数图象小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图),若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3,且v1减小3.一次函数y=kx+b的图象经过的象限:(1)当k>0时 (2)当k<0时b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四知识点3:函数解析式的确定:待定系数法步骤如下:(1)设出函数解析式的一般形式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程或方程组,求出待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设解析式.知识点4:一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系:(1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标⇔一元一次方程kx+b=0的解;一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)对应的x的取值范围⇔不等式kx+b>0(kx+b<0)的解集.(2)在同一坐标平面内有两个一次函数y1与y2的图象,若y1的图象在y2图象的上方(或下方),则y1>y2(或y10,∴-k<0,∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限.【解】C【方法归纳】根据正比例函数的性质判断出k的取值范围是解题的关键.一次函数与几何知识的综合运用如图，一次函数y=-2/3x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A,B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,求过B,C两点直线的解析式.【分析】利用三角形全等求出C点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式.【方法归纳】求点的坐标就是求点到坐标轴的距离,转化为在几何图形中求线段长.*第三节 反比例函数的图象与性质知识点1:反比例函数的定义形如y=( ,k为常数),其中k是 ,x是自变量,y是x的反比例函数.图象的形状是 ,且关于 对称. 知识点2:反比例函数的图象与性质函数图象所在象限性质Y=k/x（k≠0）k>0一、三象限(x,y同号)在每个象限内，y随x增大而______k<0二、四象限(x,y异号)在每个象限内，y随x增大而______k≠0常数双曲线原点减小增大知识点3:反比例函数的应用1.反比例函数中系数的几何意义.设P(x,y)是反比例函数y=图象上任一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A,则△OPA的面积=OA·PA= = .2.用待定系数法确定反比例函数.3.要善于运用数形结合思想解答与反比例函数有关的实际问题.|xy||k|反比例函数的图象与性质【分析】(1)由反比例函数性质易求.(2)反比例函数图象性质:k>0时在每一象限y随x增大而减小,很显然(x1,y1),(x2,y2)两点在第三限.0>y1>y2,(x3,y3)在第一象限,则y3>0,因此y3>y1>y2.【方法归纳】当点在双曲线上不同象限时,用点的坐标的符号分析出大小.(1)已知点A(-1,y1),B(2,Y2)都在双曲线y=上，且y1>y2，则m的取值范围是___________.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y=图象上的点，且x1y2时,自变量x的取值范围.【分析】(1)由点A在正比例函数y1=x图象上求点A的坐标,再代入y2=中求得k.(2)由图象性质得点B坐标,当y1>y2时,从两交点处看自变量x的取值范围,考虑全面.(2)当y1=y2时,x=.解得x=±2.∴点B的坐标为(-2,-2).或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(-2,-2).由图象可知,当y1>y2时,自变量x的取值范围是:-22.[解】(1)设A点的坐标为(m,2)，代入y1=x得:m=2，所以点A的坐标为(2,2).∴k=2x2=4.∴反比例函数的解析式为：y2=.【方法归纳】本题考查了待定系数法及正比例函数与反比例函数图象的性质,在写取值范围时,分x>0与x<0,再结合图象考虑全面.由函数图象的性质求交点坐标及几何图形面积(2013·德阳)已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点.已知当x>1时,y1>y2;当00时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而 ;当x=-时,函数有最小值y= 减小增大4.当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而 ;当x=-时,函数有最大值y= . 增大减小【注意】二次函数中如果自变量的取值范围为全体实数,那么最大值或最小值就是顶点纵坐标.如果自变量取值有范围,那么二次函数的最大值或最小值由它的图象及性质确定.知识点3:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置与a、b、c的关系1.a>0,开口 ;a<0,开口 .|a|越大抛物线开口越小. 2.b=0,对称轴为 .a与b同号,对称轴在y轴左侧;a与b异号,对称轴在y轴右侧. 3.c=0,图象经过原点;c<0,与 相交;c>0,与y轴的正半轴相交. 4.b2-4ac=0,顶点在x轴上;b2-4ac>0,与x轴有 的交点;b2-4ac<0,与x轴没有交点. 向上向下y轴y轴负半轴两个不同知识点4:二次函数的解析式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),已知图象上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.2.顶点式:y=a(x-h)2+k,已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2),已知图象与x轴的交点的横坐标x1、x2,通常选择交点式.1.b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有 个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根. 2.当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有 个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根. 3.当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴 交点,方程ax2+bx+c=0无实数根.21没有知识点5:二次函数与一元二次方程的关系移动方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减向上y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k-m下减【注意】二次函数图象的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.知识点6:二次函数图象的平移(设平移m个单位)知识点7:抛物线常见的几种变换1.绕顶点旋转180°.变换后与变换前a的符号相反,顶点坐标不变.2.将抛物线沿x轴翻折.变换后与变换前的a符号相反,顶点关于x轴对称.3.将抛物线沿y轴翻折,变换后与变换前的a相同,顶点关于y轴对称.二次函数的图象及性质已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0 ②b0 ④2c<3b ⑤a+b>m(am+b)(m为不等于1的实数).其中正确的结论是 . ③④⑤二次函数的增减性(2013·镇江)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;(2)点(x1,y1)、(x2,y2)在抛物线上,若x1y2.(3)∵对称轴是x=1,点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.∴点C的坐标是(3,2).设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则【方法归纳】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征.解答该题时,需要熟悉二次函数图象的对称性.∴直线AC的解析式是y=2x-4.**第五节 二次函数的运用第1课时 几何运用二次函数图象与三角形二次函数图象与平行四边形如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.【分析】(1)可设一般式,也可设交点式.(2)平行四边形分类:AB为边或AB为对角线.*二次函数图象与平行四边形如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.【分析】(1)可设一般式,也可设交点式.(2)平行四边形分类:AB为边或AB为对角线.【方法归纳】二次函数的解析式有三种常见形式,根据题意选择一个最简便的形式求解;对于平行四边形要考虑到多种情形,线段AB可为一边,可为对角线.二次函数图象与全等三角形、相似三角形的综合(2013·徐州)如图，二次函数y=+bx-的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标:___________.(2)当点P在线段AO(点P不与A,0重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在，请说明理由.【分析】(2)由△ADP∽△OPE可建立二次函数关系式,由二次函数图象性质求最大值.(3)由△PDE是等腰直角三角形,∠DPE是直角及点P在x轴的位置,可分析出有两种情况,由DP⊥PE,DP=PE,建立全等三角形,易求点P坐标,再由重叠图形的形状,求出对应的面积.第2课时 实际应用二次函数在求几何图形面积中的应用用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长12m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?【解】设矩形垂直于墙面的边长为xm,则平行于墙面的一边长为(30-2x)m,设矩形菜园的面积为S,根据题意,得S=x(30-2x),即S=-2(x-7.5)2+112.5.∵矩形平行于墙的边长30-2x需满足条件:0<30-2x≤12,∴9≤x<15,又图象开口向下,对称轴为x=7.5,当x>7.5时,函数值y随x的增大而减小,∴当x=9时,S最大值=-2×(9-7.5)2+112.5=108.∴当长为12m,宽为9m时,菜园的面积最大,最大面积为108m2.【方法归纳】解答本题容易忽视自变量的取值范围而误以为取x=7.5时得最大面积.【分析】根据矩形面积公式可以列出面积与宽之间的函数关系式,但是,在实际问题中要注意自变量的取值要与实际吻合.二次函数在求销售利润中的应用(2013·聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?【分析】(1)根据每月的利润z=(x-18)y,再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的关系式;(2)把z=350代入z与x的函数关系式中,解这个方程即可.将该关系式配方,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得的最大利润.(3)结合(2)及函数的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350,再根据限价32元,得出25≤x≤32,最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小,即可得出当x=32时,每月制造成本最低.【解】(1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1800,∴z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800.(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1800,解得x1=25,x2=43.∴销售单价定为25元或43元,每月能获得350万元利润.将z=-2x2+136x
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