九年级数学二次函数总复习

图象与性质交点情况解析式的确定应用一、图象与性质二次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数知识要点≠0ax2+bx+c21、二次函数的定义：形如“y=（a、b、c为常数，a）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为次。2、二次函数的解析式有三种形式：⑴一般式为；⑵顶点式为。其中，顶点坐标是（），对称轴是；⑶交点式为。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。y＝ax2＋bx＋cy＝a(x-h)2＋kh,kx＝h的直线y＝a(x－x1)(x－x2)3、图象的平移规律：正—上左，负—下右；位变形不变。对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：(1)、平移不改变a的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变a,k的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h的值。4、向上向下大5、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），⑴a决定图象的。当a>0时，开口向，当a<0时，开口向。⑵c决定图象与轴的交点的坐标。若c=0，则抛物线过点。若c>0或c<0呢？⑶a、b共同决定对称轴，当a、b同号，对称轴在y轴的侧，当a、b异号呢？当b=0呢？二次函数知识要点开口方向上下左y纵原－1、二次函数y=x2-8x+12图象的开口向　　,　对称轴是　　，顶点坐标为　　　　。小练习：直线x=4(4,－４）上2、二次函数y=-3(x-1)２＋5的图象开口向，对称轴是　　，当x=时函数有最值为。当x时，y随x的增大而增大。下直线x=1＜11大54、函数的顶点坐标是，对称轴。3、抛物线向上平移2个单位，向左平移3个单位，所得解析式是。开口方向，当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小当x时，y有最大值或最小最，最大或最小值是。抛物线与x轴交点坐标为，抛物线与y轴的交点坐标为。ACxyoACxyoBB5、根据下列图象确定二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号。(1)a＞0;b＞0;c＜0(2)a＜0;b﹥0;c﹥0例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (3)当x>0时，y随x的增大而减小.xOy例2：已知二次函数y=x2-x+c。⑴求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；⑵c取何值时，顶点在x轴上？⑶若此函数的图象过原点，求此函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小。例题解：⑴∵函数y＝X2－X＋C中，a＝1﹥0，∴此抛物线的开口向上。根据顶点的坐标 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 x＝－时，y＝∴顶点坐标是（，）。对称轴是x＝。例题例3：将抛物线如何平移，可使平移后的抛物线经过点（3，-12）？(说出一种平移方案）例题(1)直线x=2，（2，-9）(2)A（－1，0）B（5，0）C（0，－5）(3)27例4已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点.（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求出A、B、C的坐标；（3）求△DAB的面积.xOyABCD解析式点的坐标线段长面积例题解答例题例4已知抛物线与x轴交于点A（－1,0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S△ABC为8.（1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E.则x轴上的抛物线上是否存在点P，使S△PBE=15？yAEOBCDx面积线段长点的坐标解析式1、抛物线如图所示，试确定下列各式的符号：xOy-11a______0(2)b______0(3)c______0(4)a+b+c___0(5)a－b+c___0<>>><练习2、抛物线和直线可以在同一直角坐标系中的是（）xOyAxOyBxOyCxOyDA练习3、已知抛物线y=2x2+2x－4，(1)则它的对称轴为__________，顶点为_______，与x轴的两交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为________。(2)如何画出它的图象？（0,－4）·····xy－1－2－3－4－5－2－101(2)作函数y=2x2+2x－4的图象：列表：yx－20－1－40－410练习4、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1），M（2，-3）两点。⑴若抛物线的对称轴是直线x=-1，求此抛物线的解析式。⑵若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围。归纳 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 ：抛物线的对称轴、顶点最值的求法：抛物线与x轴、y轴的交点求法：二次函数图象的画法（五点法）（1）配方法；（2）公式法对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：(1)、平移不改变a的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变a,k的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h的值。课后练习：1．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A.y=x2+2x－2B.y=x2+2x+1C.y=x2－2x－1D.y=x2－2x+12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc的图象不经过（）A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限课后练习：3、已知以x为自变量的二次函数y=(m－2)x2+m2－m－2的图象经过原点，则m=，当x时y随x增大而减小.4、函数y=2x2－7x+3顶点坐标为.5、抛物线y=x2+bx+c的顶点为（2，3），则b=，c=.6、如果抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=—2，且开口方向，形状与抛物线y=—x2相同，且过原点，那么a=，b=，c=.7．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?yxABO-145C课后练习：8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式。课后练习：二、抛物线与坐标轴的交点情况二次函数知识要点6、对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），Δ=b2-4ac。当Δ>0时,抛物线与x轴有个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当Δ=0时,抛物线与x轴有个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个的根。当Δ<0时，抛物线与x轴交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况。两一无没有实数根相等7、若抛物线与x轴两交点为则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根;当时，两个交点在原点两侧；当时，两个交点都在原点右侧；当时，两个交点都在原点左侧。1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.练一练2、直线y=－3x+2与抛物线y=x2－x+3的交点有个，交点坐标为。3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b=。4一(-1,5)4或-44．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴（）A、没有交点B、只有一个交点C、只有两个交点D、至少有一个交点练一练D5、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A、k≥B、k≥C、k＞D、k＞B练一练例题1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达);(3)a取何值时,两点间的距离最小?例题2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且x1﹤0﹤x2,OA=OB，求m的值。3、已知抛物线y＝ax2＋(b－1)x＋2.（1）若抛物线经过点（1,4）、（－1,－2）,求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线与直线y＝x有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.①求b的值;②请在横线上填上一个符合条件的a的值：a＝,并在此条件下画出该函数的图象.例题例题4、巳知：抛物线(1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；(3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点：当⊿AＢＰ是直角三角形时，求b的值；练习：1、抛物线y=x2-（2m-1）x-6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位。2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值为，抛物线的对称轴为．3、一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出一个满足条件的抛物线的函数关系式．4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示．（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若OA·OB=6，求C点坐标；XyABCO练习：归纳小结：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况：△＞0抛物线与x轴有两个交点；△＝0抛物线与x轴有一个交点△＜0抛物线与x轴无交点1．若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有（）A、a﹥0,b2-4ac﹥0;B、a﹥0,b2-4ac﹤0;C、a﹤0,b2-4ac﹤0D、a﹤0,b2-4ac﹥0.课后练习：2、已知抛物线=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（）（A）有两个正根（B）有两个负数根（C）有一正根和一个负根（D）无实数根。课后练习：4、设是抛物线与X轴的交点的横坐标，求的值。5、二次函数的图象与X轴交于A、B两点，交Y轴于点C，顶点为D，则S△ABC=,S△ABD=。3、已知抛物线与x轴的两个交点间的距离等于4,那么a=。课后练习：课后练习：三、解析式的确定回顾1、已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：。2、二次函数的表达式有三种：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式：。待定系数法Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)例1.选择最优解法，求下列二次函数解析式已知二次函数的图象过点(－1,－6)、(1，－2)和(2，3)．已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)．已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)并经过点M(0，1)．1）设二次函数的解析式为2）设二次函数的解析式为3）设二次函数的解析式为解题策略：例2、已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．例3、已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C（0，2），如图。（1）请说明abc是正数还是负数。（2）若∠OCA=∠CBO，求此抛物线的解析式。ABOC议一议想一想例4、已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，　抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；C2的解析式为：y＝－(x－1)2＋1＋m＝－x2＋2x＋m.yxOC1C2（－1,1＋m）（1,1＋m）议一议想一想例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，　抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；由抛物线C1与x轴有两个交点，　　得△1＞0，即(－2)2－4×（－1）m＞0，　　得m＞－1　　由抛物线C2与x轴有两个交点，　　得△2＞0，即(－2)2－4×（－1）m＞0，得m＞－1　yxO当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)，因此m≠0　综上所述　m＞－1且m≠0。议一议想一想例4已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，　抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧），抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）,请你猜想AC＋BD的值，并验证你的结论。解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD则AC＋BD＝x3－x1＋x4－x2＝(x3＋x4)－(x1＋x2)，于是AC＝x3－x1，BD＝x4－x2，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴AC＋BD＝4。有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．议一议例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．1、已知二次函数的图象经过点（1，0），（0，-2），（2，3）。求解析式。2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次函数解析式。练习练习4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,如图所示,AC=,BC=，∠ACB=90°,求二次函数图象的关系式.5、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为多少m？（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）.xy归纳小结：1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：（1）根据条件设出合理的表达式；（2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数的值；（3）写出函数解析式。2、二次函数的三种表达式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式：。Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)课后训练：1、求出下列对应的二次函数的关系式（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1，4）和（5，0）（2）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．课后训练：4．抛物线y=x2+2mx+n过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，求此二次函数的关系式。3．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=—1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°,求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式。课后训练：6、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式.课后训练：7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.(1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；(3)判定(2)中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由.ABC0·Pyx课后训练：四、二次函数的应用某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币.经论证：上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？引例函数应用题的解题模型实际问题分析、抽象、转化解答数学问题数学模型例1、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30米。（1）如图，设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为多少米？（2）设长方形的面积为y平方米，写出y与x之间的关系式。（3）若要使长方形的面积为72平方米，x应取多少米？x例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。(1)写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）A、4元或6元B、4元C、6元D、8元练习1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？练习2xyo（1）求拱顶离桥面的高度。（2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。AB例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为y＝－x2－1。例4.改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流最高点C比喷头高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A点的距离是多少米。AyBOCFDEx作CF⊥AD于F，作BE⊥CF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5，∴B(0,1.5)，C(2,3.5).设所求抛物线的解析式为：y=a(x－2)2+3.5当x=0时，y=1.5，即a(0－2)2+3.5=1.5，(舍)，某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少米？OxyABM顶点坐标（1，）过点（0，10）解析式：令y=0,x=-1,x=3OB=3米∴练习3OyABx某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为5米，同时，运动员在距水面5米以前，必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并能过计算说明理由？ 10m3m跳台支柱练习4某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲乙两图）。其中生产成本六月份最低。甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线。5336售价3416成本月份月份练习5请根据图象提供的信息说明解决下列问题：（1）在三月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？最大收益是多少？3416成本月份月份5336售价B例5、如图，在矩形ABCD的边上，截取AH=AG=CE=CF=x，已知：AB=8，BC=6。求：（1）四边形EHGF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围；（2）当x为何值时，S的数值等于x的4倍。（1）DCEFHGA分析：①△AGH≌△CEF吗？②△DHE≌△BFG吗？SΔDHE=SΔBFG,SAHEG=SΔECF所以，S=S矩形=2SΔDHE-2SΔAGH自变量x的取值范围是：解得，0020-2R>0解得，0