商中数学知识专题系列 抽象函数（函数方程） 抽象函数是指没有明确表达式但有运算规律及函数性质的函数。解决抽象函数问题，主要采取“赋值法”（取点或字母）整体迭代法，但核心是方法的发现，要掌握好抽象函数就必须有强烈目标意识、清晰的解题思路。 <一>、选择题 1、 已知 满足 ，对任意 都有： 则 为（ ） A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、奇偶性不确定 解：令 令 是偶函数（或取 符合条件） 选B 2、已知 对任意 有 （ ） A、2008 B、2006 C、1004 D、1003 解：令 ， 又令 得： 选C 3、函数 是定义在 上的奇函数，且 对任意 都有 ，那么 等于( ) A、3996 B、1998 C、2000 D、0 解： （奇函数 有 ） 选D 4、已知定义在 上的函数 满足条件 则 （ ） A、0 B、1 C、 D、2 解：令 两两不等， 选A 5、已知函数 与 都要存在反函数，且 与 的图象关于直线 对称，若： （ ） A、2004 B、2005 C、2006 D、2007 解法一： 得： 重合 解法二： 在 图象上，从而有点 在 图象上 在 图象上 在 图象上，即有 选C 6、函数 是在 上有定义的增函数，满足 （ ） A、1 B、0 C、 D、 解： 再令 若 矛盾， 选D <二>、填空题 7、已知 满足 ，则 的解析式为___________ 解：令 8、已知 是定义在非负整数集上的函数，且对任意正整数 都有： 若 ____________ 解：已知得 相加得： 周期为6 （另解：看作数列 周期为6） 9、若 满足 =_____ _____ 解： 10、已知 和 在 上有定义，对任意 都有： 成立，若 _________ 解： ，令 得： 即： （取 符合题意） <三>、解答题 11、定义在R上的函数 满足 ，且 ①求证： ②求证： 是偶函数 证明：①令 ②令 即 是偶函数 12、已知 是定义在R上的函数，当 ① 证明：对 ② 证明： 是R上的增函数 证明：① 令 ────（1） 设 ────（2） 结合已知与（1）、（2）知对 都有 （另证：设 。反证：设存在 使 ，则有： 与 矛盾。） ②设 ，且由①知 为正数， 13、设 是定义在 上的函数，对任意正数 都有： ①、求证： ②、若 时，有 >0，求证 在 上是增函数 证明：① 令 ②设 在 上是增函数 14、函数 满足对任意 有 ，且 当 时 ①、求证：若 ②、求证： 是增函数 证明：①令 ②设 是 上的增函数 以上例题常见于各种考试中，它是①幂函数、②指数函数、③对数函数、④三角函数等等最常见的模型。请同学们熟记！ 15、设正函数 满足下列四条件：① ②值域为 ③单调递减函数 ④对定义域内任意 有 （1）、求证： 不在 的定义域内 (2)、求不等式 的解集 证明：（1）反证法：设 在 的定义域内，则 有意义且 另一方面由条件①与④得： ，这与已知矛盾，假设不成立，即 不在 的定义域内。 解：（2）由条件②、③知 存在反函数 且递减，定义域为 设 则 ，可得： 解得 16、已知定义在R上的函数 ，对任意 均有： ，且 当 （1）求证： 是R上的增函数 （2）解不等式： ， 证明：（1） 若 设 是R上的增函数。 （2）不等式化为： 若 与 取交得： 若 若 与 取交得： 综上所述：当 时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 17、设 为正整数，规定： ，已知: <1> 解不等式： <2> 设集合 ，对任意 <3> 探求 的值 <4> 若集合 ，证明：B中至少含有8个元素 解：<1> 或 解得： <2> ， ， ， ， ， ， 综上所述有： <3> ， ， <4> 由<1>知 ， ，由<2>知： 由<3>知当 B中至少含有8个元素： 18、已知 在（ ）上有意义， <1> 数列 的通项公式 <2> 设 解：<1> 令 又 为首项2为公比的等比数列 <2> 令 ， 上的奇函数，而 19、设函数 的定义域为R，对任意 ，且 ， <1> 求证： <2> 若 上是单调递减函数 <3> 求 的最小正周期 解：<1> 证明：令 再令 将 又令 综上所述有: <2> 设 结合已知得: 设 , 上是单调递减函数 <3> 由<1>知 的周期 假设存在 若 ,由<2>知 矛盾 若 但 矛盾 假设不成立 的最小正周期
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