弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为8。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长38，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：m=k8，即：3=#/m=J/8取系统静平衡位置为原点x=0，系统运动方程为:mJ&+kx=0
表
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示B=11n上,（式中x是经过n个循nxnn环后的振幅）。并给出在阻尼比。为、、时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为xQ）TOC\o"1-5"\h\zt时刻的位移为x；t=t+〃7时刻的位移为x；则:00n0nxXe-3n0cos(3t—明—0=d-0=e3nnTdxXe-3n(10+nTd)cos[3(t+nT)—3]即：B-11n义nxnnd0d所以有：1nL=。3nT-nB=nIn%xndxn1当振幅衰减到50%时，x-0.5x，即：n-11n2-1n2v，1~^2n0B2兀C1）当c-0.01时，n-11；要11个循环;2）当C=0.1时，n-1.1；要2个循环；3)当c-0.3时，n-0.34；要1个循环;某双轴汽车的前悬架质量为m=1151kg,前悬架刚度为k=x/m,若假定前、后悬架的振动是独立的，试1计算前悬架垂直振动的偏频1。如果要求前悬架的阻尼比C=0.25,那么应给前悬架
设计
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多大阻尼系数(c)的悬架减振器?重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长S，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：—X+CJC+——xgs系统的阻尼比：c=—2、/mkc2PPgs系统不振动条件为：C21,即：c>2P/、,.gs物体在平衡位置以初速度U开始运动，即初始条件为：］：00〔X0此时系统的响应为：（可参考教材P22）1）当C>1时:X=-33n2-1+-3宜2-12=±11223斤」-3+-3，12即：x(t□=ute-①tn03)当C<1时：x(t)=eY3nt(C□□□rnt+C□□□rnt□1d2d其中:CC123,-d=0=u/30_d=3v;i_q口n__u___即：x(t)=eY3t—^口口口3t"3dd一个重5500N的炮管具有刚度为x/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座，试求：①炮管初始后座速度；②减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）;③炮管返回到离初始位置时所需要的时间。设系统阻尼比C=0.1,试按比例画出在？/=、、三种情况下微分方程的向量关系图。”试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当C=0.2、3=5rad/s时系统的品质因子和带宽。n已知单自由度系统振动时其阻力为cv（其中c是常数，v是运动速度），激励为F=Fsin31，当3=3即共振时，测得振动的振幅为X,求激励的0n幅值F。。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的F。。某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F=50cos®(N),系统在周期丁=时共振，振幅为，求阻尼系数。解：由T=0.20s时共振可知，系统固有频率为：3=—=10兀TF当3.3时，已知响应振幅：X=T，(参教材P30)nc3F105所以：c=-0-=(Ns/m)X3兀一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的％，试计算其结构阻尼系数Y。要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即F=aX2迎0dF=-aXiX>0d求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。设系统的运动为：x(t)=Xcos(3t-①)axdax2d(())(t一①)s(t一①)dxaa()(t-①)2-一aX333s3(3t一①)dt3-a3X3s3(3t一中)dt=-aX322(0)①一2(0)3①33=4ax332d33=*ax332d3■8ax332=C^3X23x=Xcos(3t一中)x=一3Xsin®t一4）W=J兀/3ahdx+J2兀/3—ahdxC0兀/3=卜/3a32X2sin2（31一①）（一32Xcos（31一①））dt+「兀/但短①2x2sin2（31一①）（一32Xcos（3t一中））dt兀/3=8aX3323W=w=C兀3X2PCC=8aX33兀X=%=皿厂c38aX32X二.:』"+88axw22w22ann•2ax•2-ax•x<0x>03=3=C3Z2PCZ=个Z=C038aZ32KG1II电动机重P,装在弹性基础上，静下沉量为。当转速为nr/min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。电动机重P,装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上（图T一,并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为k的扭转弹簧。调整片转动惯量为I，因而系统固有频率3=□I，但nT因kT不能精确计算，必须用试验测定30。为此固定升降舵，利用弹簧k对调整片做简谐激励，并用弹簧k：来抑制。改变激励频率3直至达到其共振频率3口。试以30和试验装置的参数来表示调整片的固有频率3。n解：设调整片的转角为0，系统的微分方程为:10+1+□+□□0=□川3口T122右）k>_L_p1已止古0r4^k+k+k□系统的共振频率为：3=TI因此：k=13—k+1口T012厂（k+口口调整片的固有频率为：3口=小-I-=32）如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。解：由题目T=Lw—2^-—2^V-VTLy—YcoswtLwY=-K(x-y)wX—KYcos2^v-tLwX+Kx=KYcos2^v-tLwS2X(s)+KX(s)=KY2LV(丽)2+s2LX(s)=KY^^LV32—K(s2+(由)2)(ws2+K)nwLX=^3Ysina+-^o^sin3t32+a232-a2nnnX=YY=Y=——Y—————KL2Y——;1-(a/32)2+01-(a/32)21-4^2V2wKL2-T^2V2wnKL2V=-Lk//w2兀3二—T3=2^vTv=LLmX+KX=KyX+32X=32ynnX=-3^2-n32-32nX=-Y3^=_Ya2_nn32—3232-4冗2v2nnL2V2=-Rt2~4兀2m单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—,=asint。试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600-2200r/min范围的振动隔离，为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少？试从式证明：.无论阻尼比C取何值，在频率比①/①二J2时，恒有X=A。n.在3/3X/A随。增大而减小，而在3/3＞的,X/A随nn。增大而增大。某位移传感器固有频率为，阻尼比=。试估计所能测量的最低频率，设要求误差W1%,W2%。一位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为。问实际振幅是多少？误差为多少？一振动记录仪的固有频率为1=，阻尼比=。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为nx=t+t(cm)证明：振动记录仪的振动z将为z=(4t-50o)+(8t-120o)(cm)求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。解：ah(t)=--4-e-^sincotTOC\o"1-5"\h\zmcodd=_■4—e-眄(—)sinfco(^—t)]mcoddh(t)=sin3tm①dd/z。-2)=qsin[①(r-T)]mcoddXd.dcosco(t-t)=4(coscot)qnRn=Fjf^sincoQtMQt)1nmconUn()]-2(X(t)=pF(t)h(t-T)dT+P-F(t)h(t-T)dT=4[cosco(t-01t2RXQ)=LF⑴h(t-t油+[-F(t)gT冰+jo*"(T-t)02=4[cosco(t-t)-cosco^--^[costo(t-t)-cosco(t-t)]Rn1bnRn2F⑺=9F(t-T)=Fr(t-T)’1f!x⑺」尸⑺gt)=7/0=0[l—向理_]Ri,0,1n1与«—t)dcoscot1〃X(0=fF(t)h(t-t)6?t+frO*/z(r-t>/t=4[cosco(r-r)]-sin3(t—t)—sinmt]n1nJCOtnF(y)=^t/,1AX«)=rF(r)W-T)^T=4[1-coscoQ—+)+»sin3t]八RntcornU1n1X(0=KF(T)h(t-T)(iT+io*/zQ—T"T=4[-COSCOt-sinco(T)-sin3/]n1nJCOtn求图T一所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图所示。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。解：弹簧接触墙壁时，m的速度为：U0;J2-sin30。=gs以接触时m的位置为原点，斜下方为正，则m的微分方程为:mX&^□□=mSsin30°考虑到系统的初始条件：，"10gs，采用卷积分计算系统的响应为:x&□(口)=—o-sin31+3口nmSsin30°□(1-cos31)n其中：3=\：:当m与墙壁脱离时应有□"=0故由：□(□)=立sin31+mg(1—cos31)=013n12kn1n可得到：口=2:'上□口口t:坐)1\mmS也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。一个高F、宽t的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。用叠加原理求t>t0后的响应。如图T一所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。证明式，即卷积积分满足交换律h(t)*F(t)=F(t)*h(t)
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