全国名校高考专题训练8-圆锥曲线解答题2（数学）

高考资源网 全国名校高考专题训练08圆锥曲线 三、解答题(第二部分) 26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。 （1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ； （2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos ＋sin 成立。 解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为 ，所以有 ，故有 。从而椭圆C的方程可化为： ① ………2分 易知右焦点F的坐标为（ ）， 据题意有AB所在的直线方程为： ② ………3分 由①，②有： ③ 设 ，弦AB的中点 ，由③及韦达定理有： 所以 ，即为所求。 ………5分 (2）显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ，使得等式 成立。设 ，由1）中各点的坐标有： ，所以 。 ………7分 又点在椭圆C上，所以有 整理为 。 ④ 由③有： 。所以 ⑤ 又A﹑B在椭圆上，故有 ⑥ 将⑤，⑥代入④可得： 。 ………11分 对于椭圆上的每一个点 ，总存在一对实数，使等式 成立，而 在直角坐标系 中，取点P（ ），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为 ，显然 。 也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos ＋sin 成立。 27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1。 （1）求曲线C的方程； （2）过点 ①当 的方程； ②当△AOB的面积为 时（O为坐标原点），求 的值。 （1）解法一：设 ， …………1分 即 当 ； …………3分 当 …………4分 化简得 不合 故点M的轨迹C的方程是 …………5分 （1）解法二： 的距离小于1， ∴点M在直线l的上方， 点M到F（1，0）的距离与它到直线 的距离相等 …………3分 所以曲线C的方程为 …………5分 （2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意， 设直线m的方程为 ， 代入 （☆） …………6分 与曲线C恒有两个不同的交点 设交点A，B的坐标分别为 ， 则 …………7分 ①由 ， …………9分 ② 点O到直线m的距离 ， …………10分 ， （舍去） …………12分 当 方程（☆）的解为 若 若 …………13分 当 方程（☆）的解为 若 若 …………14分 所以， 28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为 的直线 过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0， )，椭圆C的中心关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上。 ⑴求椭圆C的方程。 ⑵过点E(-2，0）的直线 交椭圆C于点M、N，且满足 ，(O为坐标原点)，求直线 的方程。 解：⑴直线 ①，过原点垂直于 的直线方程为 ② 解①②得 ，∵椭圆中心O(0，0)关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上， ∴ ， …………………（2分） ∵直线 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴ ， 故椭圆C的方程为 ③…………………（4分） ⑵当直线 的斜率存在时，设 ，代入③并整理得 ，设 ， 则 ……………（5分） ∴ ，……（7分） 点 到直线 的距离 . ∵ ，即 ， 又由 得 ， ∴ ，…………………………（9分） 而 ，∴ ，即 ， 解得 ，此时 …………………………………（11分） 当直线 的斜率不存在时， ，也有 ， 经检验，上述直线 均满足 ， 故直线 的方程为 29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知 ，点 满足 ，记点 的轨迹为 . （Ⅰ）求轨迹 的方程； （Ⅱ）若直线 过点 且与轨迹 交于 、 两点. （i）设点 ，问：是否存在实数 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. （ii）过 、 作直线 的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，求 的取值范围. 解：（Ⅰ）由 知，点 的轨迹 是以 、 为焦点的双曲线右支，由 ，∴ ，故轨迹E的方程为 …（3分） （Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为 ，与双曲线方程联立消 得 ，设 、 ， ∴ ， 解得 ………………………………………（5分） （i）∵ ……………………（7分） 假设存在实数 ，使得 ， 故得 对任意的 恒成立， ∴ ，解得 ∴当 时， . 当直线l的斜率不存在时，由 及 知结论也成立， 综上，存在 ，使得 . …………………………………………（8分） （ii）∵ ，∴直线 是双曲线的右准线，…………………………（9分） 由双曲线定义得： ， ， 方法一：∴ …………………………………………（10分） ∵ ，∴ ，∴ ………………………………………（11分） 注意到直线的斜率不存在时， ， 综上， ………………………………………………………………（12分） 方法二：设直线 的倾斜角为 ，由于直线 与双曲线右支有二个交点，∴ ，过 作 ，垂足为 ，则 ， ∴ ……………………………………………………（10分） 由 ，得 故： 30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线 的离心率e＝2，且 、 分别是双曲线虚轴的上、下端点 （Ⅰ）若双曲线过点 （ ， ），求双曲线的方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 、 是双曲线上不同的两点，且 ，求直线 的方程 解：（Ⅰ）∵双曲线方程为 ∴ ， ∴双曲线方程为 ，又曲线C过点Q（2， ）， ∴ ∴双曲线方程为 ………………5分 （Ⅱ）∵ ，∴M、B2、N三点共线 ∵ , ∴ （1）当直线 垂直x轴时，不合题意 （2）当直线 不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，－3）， 可设直线 的方程为 ，① ∴直线 的方程为 ② 由①，②知 代入双曲线方程得 ，得 ， 解得 , ∴ ， 故直线 的方程为 31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C： 的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 的周长为6；写出椭圆C的方程. 解：（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线 轴、y轴的交点， 所以A、B的坐标分别是 …………2分 由 …………4分 所以点M的坐标是 即 ………………6分 证法二：因为A、B分别是直线 轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是 ………………2分 设M的坐标是 ………………4分 因为点M在椭圆上，所以 即 …………6分 （Ⅱ）当 的周长为6，得 所以 32、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）抛物线 的准线的方程为 ，该抛物线上的每个点到准线 的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆， （Ⅰ）求定点N的坐标； （Ⅱ）是否存在一条直线 同时满足下列条件： ① 分别与直线 交于A、B两点，且AB中点为 ； ② 被圆N截得的弦长为 ． 解：（1）因为抛物线 的准线的方程为 所以 ，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， -----------2分 所以定点N的坐标为 ----------------------------3分 （2）假设存在直线 满足两个条件，显然 斜率存在， -----------4分 设 的方程为 ， ------------------------5分 以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为 ， ----6分 方法1：因为 被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分 即 ，解得 ， -------------------------------8分 当 时，显然不合AB中点为 的条件，矛盾！ --------------9分 当 时， 的方程为 ----------------------------10分 由 ，解得点A坐标为 ， ------------------11分 由 ，解得点B坐标为 ， ------------------12分 显然AB中点不是 ，矛盾！ ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线 ． ------------------------------------14分 方法2：由 ，解得点A坐标为 ， ------7分 由 ，解得点B坐标为 ， ------------8分 因为AB中点为 ，所以 ，解得 ， ---------10分 所以 的方程为 ， 圆心N到直线 的距离 ， -------------------------------11分 因为 被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分 所以不存在满足条件的直线 ． -------------------------------------14分 方法3：假设A点的坐标为 ， 因为AB中点为 ，所以B点的坐标为 ， -------------8分 又点B 在直线 上，所以 ， ----------------------------9分 所以A点的坐标为 ，直线 的斜率为4， 所以 的方程为 ， -----------------------------10分 圆心N到直线 的距离 ， -----------------------------11分 因为 被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分 所以不存在满足条件的直线 ． 33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆 ： . （1）直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程; （2）过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 ，满足题意……… 2分 ②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ， 即 …………………………………………………… 3分 设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 ∴ ， ， 故所求直线方程为 ……………………………………5分 综上所述，所求直线为 或 …………………… 6分 （Ⅱ）设点 的坐标为 ， 点坐标为 ,则 点坐标是 …… 7分 ∵ ，∴ 即 ， …………9分 又∵ ，∴ …………………………… 10分 由已知，直线m ∥ox轴，所以， ，…………………………… 11分 ∴ 点的轨迹方程是 ，…………………… 12分 轨迹是焦点坐标为 ，长轴为8的椭圆， 并去掉 两点。 34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大1，记点 的轨迹为曲线 . （1）求点 的轨迹方程； （2）设圆 过 ，且圆心 在曲线 上， 是圆 在 轴上截得的弦，试探究当 运动时，弦长 是否为定值？为什么？ 解：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线………………………………2分 　　　　∵ ∴ 　 ∴　曲线 方程是 ………4分 （2）设圆的圆心为 ，∵圆 过 ， ∴圆的方程为　 　……………………………7分 令 得： 　　 设圆与 轴的两交点分别为 ， 方法1：不妨设 ，由求根 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 得 ， …………………………10分 ∴ 又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴　 ，即 ＝4--------------------------------------------------------13分 ∴当 运动时，弦长 为定值4…………………………………………………14分 　〔方法2：∵ ， 　 ∴ 　又∵点 在抛物线 上，∴ ， ∴　 　 ∴当 运动时，弦长 为定值4〕 35、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线 与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （1）证明： ； （2）若 的面积取得最大值时的椭圆方程． （1）证明：由 得 将 代入 消去 得 ① ………………………… 3分 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得 整理得 ，即 ………5分 （2）解：设 由①，得 ∵ 而点 , ∴ 得 代入上式，得 ……………8分 于是，△OAB的面积 --------11分 其中，上式取等号的条件是 即 ……………………12分 由 可得 将 及 这两组值分别代入①，均可解出 ∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 （2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ……………………………………………………5分 由 ……………………………………6分 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分 设 ……………………10分 则 由 ……………………………………………………10分 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分 37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆 的离心率为 ，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且 ，定点A（－4，0）. （1）求证：当 时.， ； （2）若当 时有 ，求椭圆C的方程； （3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6 时, 求出直线MN的方程. 解：（1）设 ， 则 ， 当 时， ， 由M，N两点在椭圆上， 若 ，则 （舍去）， （4分） 。（5分） （2）当 时，不妨设 （6分） 又 ， ， （8分） 椭圆C的方程为 。 （9分） （3）因为 =6 , （10分） 由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= （11分） 当MN⊥x轴时, |yM-yN|=|MN|= , 故直线MN的斜率存在, （12分） 不妨设直线MN的方程为 联立 ，得 ， = , 解得k=±1。 此时，直线的MN方程为 ，或 。 （14分） 38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系 中，设点 (1，0)，直线 : ，点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点, . (Ⅰ)求动点 的轨迹的方程； (Ⅱ) 记 的轨迹的方程为 ，过点 作两条互相垂直的曲线 的弦 、 ，设 、 的中点分别为 ．求证：直线 必过定点 ． 解：(Ⅰ)依题意知，直线 的方程为： ．点 是线段 的中点，且 ⊥ ，∴ 是线段 的垂直平分线．…………………….2分 ∴ 是点 到直线 的距离． ∵点 在线段 的垂直平分线，∴ ．…………4分 故动点 的轨迹 是以 为焦点， 为准线的抛物线，其方程为： ． ……….7分 (Ⅱ) 设 ， ，直线AB的方程为 …………….8分 　　　　　　　　　则 （1）—（2）得 ，即 ，……………………………………9分 代入方程 ，解得 ． 所以点Ｍ的坐标为 ．……………………………………10分 同理可得： 的坐标为 ． 直线 的斜率为 ，方程为 ，整理得 ，………………12分 显然，不论 为何值， 均满足方程， 所以直线 恒过定点 ．………………14 39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 是平面内一动点，直线 、 的斜率之积为 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作直线 与轨迹 交于 、 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率 的取值范围． 解：（Ⅰ）依题意，有 （ ），化简得 （ ）， 这就是动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）依题意，可设 、 、 ，则有 ， 两式相减，得 ，由此得点 的轨迹方程为 （ ）． 设直线 ： （其中 ），则 ， 故由 ，即 ，解之得 的取值范围是 ． 40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，- ) （1）求双曲线方程； （2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）求△F1MF2的面积. 解：（1） ∵离心率e= ∴设所求双曲线方程为x2-y2= ( ≠0) 则由点(4，- )在双曲线上 知 =42-(- )2=6 ∴双曲线方程为x2-y2=6 （2）若点M(3,m)在双曲线上 则32-m2=6 ∴m2=3 由双曲线x2-y2=6知F1(2 ,0),F2(-2 ,0) ∴ ∴ ,故点M在以F1F2为直径的双曲线上. （3） = ×2C×|M|=C|M|=2 × =6 41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 ． （1）求椭圆方程； （2）若 ，求m的取值范围． 解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝， ∴a＝1，b＝c＝， 故C的方程为：y2＋＝1　 ………………………………………4分 （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ， ∴λ＋1＝4，λ＝3　 ………………………………………………6分 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝， x1x2＝　 ………………………………………………9分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 ………………………………………………11分 m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） ………………………14分 42、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线方程； (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。 解：(1)抛物线y2=2px的准线为x= - ，于是4+ =5，∴p=2. ∴抛物线方程为y2=4x……6分 (2)∵点A是坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)， 又∵F(1，0)，∴kFA= ；MN⊥FA，∴kMN=- ， 则FA的方程为y= (x-1)，MN的方程为y-2= - x， y= (x-1) x= 解方程组 ，得 y-2= - x y= ∴N的坐标( ， )…….12分 43、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)设向量 ，过定点 ，以 方向向量的直线与经过点 ，以向量 为方向向量的直线相交于点P，其中 （1）求点P的轨迹C的方程； （2）设过 的直线 与C交于两个不同点M、N，求 的取值范围 解：（1）设 ∵ ， ∴ ， 2分 过定点 ，以 方向向量的直线方程为： 过定点 ，以 方向向量的直线方程为： 联立消去 HYPERLINK "http://www.tesoon.com" EMBED Equation.DSMT4 得： ∴求点P的轨迹C的方程为 6分 （2）当过 的直线 与 轴垂直时， 与曲线 无交点，不合题意， ∴设直线 的方程为： ， 与曲线 交于 由 ∴ ∵ ，∴ 的取值范围是 44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线 的方程为： （1）若曲线 是椭圆，求 的取值范围； （2）若曲线 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为 ，求此双曲线的方程. 解：（1）当 它表示椭圆的充要条件是 （2）方程表示双曲线的充要条件是： 当 其一条渐近线斜率为： 此时双曲线的方程为： 当 ，双曲线焦点在y轴上： 其一条渐近线斜率为： 综上可得双曲线方程为： 45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示，已知圆 ，定点A（3,0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）求过点Q（2,1）的弦的中点的轨迹方程。 解：（1）∵ ∴ 为 的中垂线， …………2分 又因为 ，所以 所以动点 的轨迹是以点 和 为焦点的椭圆， 且 …………4分 所以曲线 的方程为： ； …………6分 （2）设直线与椭圆交与 两点，中点为 由点差法可得：弦的斜率 …………8分 由 ，Q（2,1）两点可得弦的斜率为 ，…………10分 所以 ， 化简可得中点的轨迹方程为： …………12分 46、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知平面上一定点C（4，0）和一定直线 为该平面上一动点，作 ，垂足为Q，且 . （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线 与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 解：（1）设P的坐标为 ，由 得 （2分） ∴（ （4分） 化简得 ∴P点在双曲线上，其方程为 （6分） （2）设A、B点的坐标分别为 、 ， 由 得 （7分） ，（8分） ∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即 解得 （9分） ∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴ ， 即 ，（10分） ∴ ∴ 解得 ，故满足题意的k值存在，且k值为 . 47、(河北省正定中学高2008届一模)已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2​，直线 过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点P，线段PF2垂直平分线交 于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足 ，求 的取值范围. 解：（本小题满分12分） 解：（1） ， ∵直线l：x－y+2=0与圆x2+y2=b2相切，∴ =b，∴b= ，b2=2，∴a3=3. ∴椭圆C1的方程是 ……………………………….(3分) （2）∵MP＝MF， ∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它的定点F2（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线， ∴点M的轨迹C2的方程为 。 ………………………………………….(7分) （3）Q（0，0），设 ， ， 由 得 ， ， 化简得 ， 当且仅当 时等号成立， ，又∵y​22≥64， ∴当 . 故 的取值范围是 .…………………………………………….(12分) 48、已知椭圆 是椭圆上纵坐标不为零的两点，若 其中F为椭圆的左焦点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知，得 ………4分 （Ⅱ）∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点， ∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0. 又F（－1，0），则可记AB方程为 并整理得 ……………………………………6分 显然△>0，设 ……………………8分 直线AB的垂直平分线方程为 令x=0，得 ……………………………………10分 ∵ “=”号， ∴ ， 所以所求的取值范围是 ……………………………………12分 49、过双曲线 的上支上一点 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点 . （1）求证： 为定值； （2）若 ，求动点 的轨迹方程. 解：（1）设直线AB： 由 得 …………………………………….3分 …………………………………………………………………………………………….7分 （2） ，所以四边形BOAM是平行四边形 ……………………………………………………………….9分 　　　① 　　② 由①②及 ……………………………………………..13分 …………14分 50、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足. （1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程； （2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点 ，且以 为方向向量的直线上一动点，满足 （O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圆上的任意一点，则 则有： 得， 轨迹C的方程为 （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点. 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为 由 由△= 即 … 即 ，∴四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则 ，即 ， 即 ， 于是有 得 … 设 ， 即点N在直线 上. ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为