知识回顾 知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 等比数列 定义 通项公式 = +（n-1）d= +（n-k）d= + -d 求和公式 中项公式 A= 推广：2 = 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则 。 2 若 成A.P（其中 ）则 也为A.P。 若 成等差数列 （其中 ），则 成等比数列。 3 ． 成等差数列。 成等比数列。 4 ， 2. 判断和
证明
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数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。 3. 在等差数列｛ ｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 例题分析 1.公差不为零的等差数列 中， ， 数列 是等比数列，且 （ ） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 【解析】选D. 2．已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9
答案
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： 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则S19=______________． 【解析】因为 ，所以 答案：190 8.若等差数列 的公差为 ，前 项的和为 ，则数列 为等差数列，公差为 ．类似地，若各项均为正数的等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，则数列 为等比数列，公比为 ． 【解析】由题意知数列 为等比数列，故公比为 答案： . 9.等差数列 中，若 , ， 则 . 答案： 10.已知数列 中，前n项和为 ， ，并且 （ ）， （1）求 ， 的值； （2）设 ，若实数 使得数列 为等差数列，求 的值。 （3）在（2）的条件下，设数列 的前n项和为 ，求证： 【解析】（1）由 （ ）得 即 （ ） --------2分 ∵ ∴ --------4分 （2）由条件 --------6分 ∵ 为等差数列 ∴ 即 --------8分 解得 --------9分 ∴ 且 ， ∴ ， 即数列 是公差为 ，首项为 的等差数列--------10分 （3）由（2）得 （ ） --------11分 ∴ --------12分 ∴ = = = ∴ --------14分 11设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10. 解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32, 已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32, 得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= ,a3= . 由a1=1,a3= ，知{an}的公差d=－ , ∴S10=10a1+ d=－ . 由b1=1,b3= ,知{bn}的公比q= 或q=－ , 12{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列 为等差数列. 证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1. (2）原方程不同的根为xk=
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