第十一章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第十一章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课下练兵场 命
题
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报 告 难度及题号 知识点 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 分类加法计数原理 2 7 分步乘法计数原理 3、4 5、6、8、9 两个原理的综合应用 1 10 11、12 一、选择题 1．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为 ( ) A．78 B．54 C．24 D．20 解析：第1类，a当副班长，共有A种选法；第2类，a当委员，共有CC·A种选法． ∴不同选法共有A＋CC·A＝24＋54＝78(种)． 答案：A 2．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排
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共有 ( ) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 解析：分两类： (1)第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种； (2)第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24种． ∴共有36种． 答案：B 3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 ( ) A．6 B．8 C．36 D．48 解析：如图，在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，共有3种不同选法．每种选法中又有2×2×2×2=16(种)不同线路． ∴共有3×16=48(种)不同的参观路线． 答案：D 4．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．60 解析：共有CC＝20. 答案：B 5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的
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面染色(底面A1B1C1不涂 色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有 ( ) A．24种 B．18种 C．16种 D．12种 解析：先涂三棱锥P—ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12种不同的涂法． 答案：D 6．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ( ) A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数． 答案：C 二、填空题 7．2009年9月某地全运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有____________种(用数字作答)． 解析：因为第一棒与最后一棒甲、乙均能传递，而丙不能传递最后一棒．分两类讨论：(1)丙传第一棒，此时有C·A＝48(种)；(2)甲、乙传第一棒和最后一棒，方法有AA＝48(种)．因此共有48＋48＝96(种)方法． 答案：96 8.(2010·南通模拟)如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染 上 红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染 色方法共有 种． 解析：依题意用三种颜色为五个顶点染色，可将五个顶点分成三组，模型 为2、2、1，则共有 =30种不同的染色方法． 答案：30 9．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放种类数为________． 解析：分三步：CC·A＝36. 答案：36 三、解答题 10.中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右 图中的A、B、C、D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位 的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受 限制，则不同的着装方法共有多少种？ 解：当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1=24种不同的方法； 当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A 区、C区不同色且不与B、D同色时，有2×4×3×2=48种不同的方法； 当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4×3=12种不同的方 法． 由分类计数原理知共有24+48+12=84种不同的着装方法． 11．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同． (1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ (3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 解：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法． 用分类加法计数原理，共有5＋4＝9(种)． (2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成， 由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)． (3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的放法． 12．现有高一年级四个班有学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法； 第四类，从四班学生中选1人，有10种选法， 所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)． (2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长， 所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)． (3)分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1 人，有7×9种不同的选法，从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
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