数学文化赏析课件

null品数学文化品数学文化第 二 讲第 二 节第 二 节数 学 的 魅 力null 你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美； 那么，你应该更喜欢数学! 因为它像音乐一样和谐，像图画一样美 丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！ null 一、诱人的猜想1.费马猜想 1.费马猜想 一个众皆知的定理 费马（Fermat）大定理（费马最后定理） ： 　　 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 　　 　　 （ x>0,y>0,z>0）无整数解。费马给世人留下了一个不解之迷 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”费马给世人留下了一个不解之迷 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”null毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。但从这一结论在1670年公诸于世起，一代代的数学家，包括像瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家柯西、勒贝格这样一些各领风骚数百年的数学大师在内以各种不同的方法尝试证明费马大定理，但都没有成功。null 巨额奖金非同寻常的缘由　 1908年6月27日，德国实业家保罗.沃尔夫斯凯尔（P.Wolfakehl）宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。 沃尔夫斯凯尔迷恋一位漂亮的女性，遗憾地是他被拒绝了十分沮丧、极端失望的他想一死了之。沃尔夫斯凯尔虽然感情强烈，但并不鲁莽。他极其谨慎地计划他的死亡，包括每一个细节，他定下了自杀的日期，定在午夜钟声响起时对着头部开枪。在剩下的日子里他将所有的重要商业事务一一处理完毕，到了最后一天，他写下了遗嘱，并给所有的亲戚和好友写了信。 　null有较高数学修养的沃尔夫斯凯尔，高效率地把所有的事情办完，离他所定的午夜时限还早，为了消磨这几个小时，他到图书室里开始翻阅数学书籍。很快他不知不觉地被库默尔解释柯西和拉梅证明费马猜测失败的原因的经典论文所吸引。库默尔的一个小漏洞被证明了，但大定理依然无法证明。但是原来规定的自杀时间也已经过了。 沃尔夫斯凯尔对自己发现并改正了大数学家库默尔工作中的一个漏洞感到无比骄傲，以致他的失望和悲伤荡然无存。数学重新唤起了他生命的欲望。沃尔夫斯凯尔撕毁了他写好的告别信，重新立下了遗嘱。以此作为对这个挽救过他生命的复杂难题的报恩。慢慢探索之路的三个阶段慢慢探索之路的三个阶段第一阶段：1637年——1840年间对一些n逐个地研究 第二阶段：1840年——1982年间取得了第一次重大突破但长期停滞不前 第三阶段：1983年——1994年间取得了第二次重大突破和问题得到彻底解决 怀尔斯历尽艰辛有志事成怀尔斯历尽艰辛有志事成 安德鲁.怀尔斯( A.Wiles)1953年出生于英国。1963年的一天怀尔斯放学步行回家在图书馆看书。看到贝尔写的关于费马大定理书。30年后他回忆说“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它，这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——那理解的问题，从那时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它。”null 当我来到剑桥时，我真正地把费马搁在一边了，这不是我忘了它——它总在我心头——而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复用来130年，这些技术似乎没有真正地触及问题的根本所在。研究费马可能带来的问题是，你可能会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生出使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。null怀尔斯经过8年的努力，最后的堡垒终于攻破，费马这个困惑了世间智者358年的谜团终于彻底解开1994年10月25日11时4分11秒通过电子邮件向世界宣布：费马大定理证明了！ 怀尔斯笑到了最后!解决费马大定理的意义解决费马大定理的意义 什么才是好的数学问题？怀尔斯说：“判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。”有些数学问题看上去好像没有什么实际意义，但其证明过程却大大丰富和发展了数学的理论和方法，有些则对数学的发展产生了难以估量的影响。 希尔伯特曾把费马大定理喻为“一只会下金蛋的鹅”。的确费马大定理的证明过程，极大推动了代数数论和代数几何等数学分支的发展。约翰.科茨说“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂元子或发现DNA的结构相比,对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子使数论发生了革命性的变化。对我来说，怀尔斯的成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”2、梅森关于素数的猜想2、梅森关于素数的猜想素数。例如 梅森本人1644年在他的著作《物 理－数学探索》的序中猜想，在不超过257的55个素数中，仅当P=2,3,5,7,11,13,17,19,31,67,127, 257时， 为素数；而其他的素数对应的 都是合数。梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓。 梅森本人1644年在他的著作《物 理－数学探索》的序中猜想，在不超过257的55个素数中，仅当P=2,3,5,7,11,13,17,19,31,67,127, 257时， 为素数；而其他的素数对应的 都是合数。梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓。 null 梅森本人验证了前8个数都是梅森素数 1772年，欧拉证明了第9个231-1 是素数 1877年，吕卡又进一步证明了第11个2127-1 也是素数。夹在中间的第10个 267-1是不是素数呢？ 近200年来，不断地有学者在研究这个问题。 科尔：《大数的因子分解》 1903年10月科尔：《大数的因子分解》 1903年10月 267 — 1= 147573 952 589 676 412 927 193707721×761838257287 =147573 952 589 676 412 927 科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。 除了已提到的12个数外，另外还有16个形如 的梅森素数，其中 P＝521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497，86243 除了已提到的12个数外，另外还有16个形如 的梅森素数，其中 P＝521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497，86243 第28个梅森素数286243-1也是一个非常大的数。至于要判断是否为素数，那就难上加难了。只要试试判断P＝641，811，977这样的3位数时 , 2p-1 是否为素数，就能体会到有一定的难度。更不要说对十位数、百位数判断是否为素数时的难度。 null 1947年，有了台式计算机后人们检查到梅森猜想的五个错误，M67 ，M257 不是素数，而 M61, M89 , M107 是素数。null1983年1月，发现P＝89243时（这个数有25962位）， 2p-1是素数， 1983年末，发现P＝132049时（这个数有39751位）, 2p-1是素数， 1985年,发现P＝216091时（这个数有65050位）, 2p-1 是素数， 1992年3月发现P＝859433时（这个数有258716位）, 2p-1 是素数， 1996年9月发现P＝1257787时（这个数有378632位）， 2p-1 是素数。 其中最后一个也是迄今为止，人们发现的最大素数。3、由阅兵式产生的正交拉丁方猜想 3、由阅兵式产生的正交拉丁方猜想 1779年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的请求，研究一个由阅兵式产生的问题：有6个不同的师团，各选出上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一人，能否把这36人排成6×6的方阵。使得每行每列都有各个师团各种军衔军官的代表？ null 这个问题的一般提法是：有n个不同的拉丁字母和n个不同的阿拉伯 数码，能否把它们排成 nxn 的方阵，使得每行每列的 n 个字母和 n 个数码都互不相同并且行和列之间均不会出现相同的排法。这个问题称为 n 阶正交拉丁方阵问题。 欧拉证明了任何奇数阶的正交拉丁方阵和任何4的整数倍阶的正交拉丁方都是可排的。例如 欧拉证明了任何奇数阶的正交拉丁方阵和任何4的整数倍阶的正交拉丁方都是可排的。例如 A1 B2 C3 B3 C1 A2 C2 A3 B1 欧拉为难了！欧拉为难了！ 但对六阶正交拉丁方，欧拉始终找不出答案。于是，他猜想 2x(2k+1）阶正交拉丁方是不可排的。1900年，塔里（Tarry）用完全归纳法证明了欧拉的六阶正交拉丁方的猜想是正确的。null 伯斯（Bose）及其学生们证明了除了n＝2和n＝6外，均存在n阶正交拉丁方。4、哥尼斯堡七桥问题4、哥尼斯堡七桥问题 18世纪，欧州东普鲁士哥尼斯堡城市的近郊有一条河叫普累格河，河中有两个岛，两岸与两个岛之间架有七座桥（如下图）。城内居民提出：一个散步者怎样走才能不重复地走遍七座桥而回到原来的出发点?nullnull 欧拉从众多人的失败中提出了一个猜想：不存在这样的走法。并证明了这个猜想。他把七桥问题变成一笔画问题：能否将笔从一个点出发不离开纸面且不重复地画出所有的连线，使笔仍回到原来的点。 null 欧拉分析了一笔画的结构特征，得到这样的结论：除了起点和终点外，一笔画中线路的交叉点处每有一条线进就会有一条线出，故在交叉处会合的曲线必为偶数条。 上面的图形中，有4个交交叉点处都交有奇数条曲线，故一笔画问题不可解。1736年欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇次顶点的个数为0或2。这是欧拉为数学的一个新分支——图论所做的奠基性的工作，后人称为欧拉定理。null二. 神奇的预言 1、 “正电子”的存在1、 “正电子”的存在 1928年，英国物理学家荻拉克（Paul Dirac）在研究量子力学的过程中导出了一个描述电子运动的方程――Dirac方程。在解这个方程时，由于开平方得到了正负两个完全相反的解，这就是说，这个方程不仅描述了人们已知的带负电荷的电子的运动，还描述了另一种除电荷是正的以外，其他结构和性质与电子一模一样的、人们尚不知道的反粒子的运动。当时人们所知道的唯一带正电荷的粒子就是质子，但质子的质量过大，不符合Dirac方程的“负能解”。是量子力学有问题，还是确实存在正电子？ null Dirac根据数学中对称的原则，大胆地提出了“存在与电子质量相等而电荷相反的“负能粒子”——正电子”的预言。1932年9月物理学家安德森 （Anderson）在宇宙射线中发现了这种粒子，证实了Dirac的预言。这个成果使Anderson获得了1936年的诺贝尔物理学奖。 null这里要特别指出的是，安德森 （Anderson）的成就是受中国著名物理学家 赵 忠尧 (1902－－1998)的启发才获得的。1930年 在美国加州理工学院读研究生，是世界上物理学界第一个观测到正负物质湮灭和第一个发现反物质的科学家。1983年，Anderson在一本著作中称：当赵的试验结果出来时，他正在赵隔壁的办公室，当时他就意识到赵的试验结果已经表明有一种人们尚未知的物质存在。他的试验是受赵的试验结果的启发，并直接在此基础上做出来的。 遗憾的是赵忠尧教授与诺贝尔奖擦肩而过。2、海王星的发现2、海王星的发现这个太阳系最远的行星（之一）， 是1846年在数学计算的基础上 发现的。天文学家分析了天王星 运动的不规律性，推断出这是由 其他行星的引力而产生的。勒未 累计算出它应处的位置，观察员 在指定位置发现了该行星。 航海家2号拍摄, 1989.8. null 三、美妙的和谐 1． 定义：把任一线段分割成两段， 使 ，这样的分割叫黄金分割， 这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1 、黄金分割null 2． 求黄金比 解：设黄金比为 ，不妨设全段长为 1，则大段= ，小段= 。 故有 ， 解得 ，其正根为 A Bnull 3. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“和谐”。 例如: null 1） 人体各部分的比 肚 脐 ： （头—脚） 印堂穴： （口—头顶） 肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）2） 著名建筑物中各部分的比2） 著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615 （外形的高与宽之比？ 大理石廊柱高与神殿高之比？）null 3） 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具） 4） 风景照片中， 地平线位置的安排5） 正五角星中的比 5） 正五角星中的比 null 6） 舞台报幕者 的最佳站位 在整个舞台宽度的0.618处较美 7） 小说、戏剧的 高潮出现 在整个作品的0.618处较好2、 电磁波方程2、 电磁波方程 数学上的和谐与对称，启发科学家们揭示和发现了很多自然界的奥秘。例如英国物理学家马克斯韦尔（Maxwall）在法拉第（Farady）经过试验获得的电磁方程null的基础上，由电磁波的对称性及方程结构形式上的对称性，大胆地猜想出null其中E、H、c分别为电场强度、磁场强度与光速，这就是著名的电磁场的Maxwall方程，它揭示了电磁波的存在。即在变化的电场周围产生变化的电场。30年后（即1887年）德国物理学家赫兹（Hertz）用试验的方法证实了Maxwall的预言，他们对推动今天的通讯技术做出了划时代的贡献。3、无理数的表示3、无理数的表示 数学本身有时也会遇到程序和规律似乎受到破坏的情形。例如 ＝1.414 213 562 373 056…. ＝3.141 592 653 589 793…. 它们是无穷非循环小数，无论到小数后多少位都不会呈现整体上的规律。难怪深信“万物皆数”和“宇宙和谐”的毕达哥拉斯学派对无理数是如此地惊慌，以致要把它的发现者匆匆抛入大海。然而只要把 和 表示成无穷和或者连分数的形式，就立即呈现出令人惊奇的简单规律：nullnullnull 数学上的和谐也意味着数学本身理论的协调统一，追求这种协调统一正是数学研究的目的之一。法国数学家庞加莱(Poincare)说：“数学家非常重视他们的方法 和理论是否优美，这并非华而不实的做法。那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。。。。。。”4、回文数与回文素数4、回文数与回文素数 “回文”是我国古典文学作品中的一种特殊体裁，有回文诗、回文联等。回文的特点是在一篇作品中作者精心挑选字词，巧妙地安排顺序，使得一篇作品倒转过来从头读起，也同样是有意义的作品。 null 宋人李愚写的一首思念妻子的 回文诗： 枯眼望遥山隔水，往来曾见几心知。 壶空怕酌一杯酒，笔下难成和韵诗。 途路人阻离别久，讯音无雁寄回迟。 孤灯夜守长寥寂，夫忆妻兮夫忆儿。 null 将这首诗倒过来读，就成为： 儿忆夫兮妻忆夫，寂寥长守夜灯孤。 迟回寄雁无音讯，久别离阻人路途。 诗韵和成难下笔，酒杯一酌怕空壶。 知心几见曾来往，水隔山遥望眼枯。null 酒店内有一副对联： 客上天然居，居然天上客。 有趣的是，在数学中也有“回文数”，“回文素数”。 如果一个数与这个数的反序数 相等，就称这个数为回文数。 如2002，3113，434等 null 任取一个二位数，如果这个数不是回文数，则加上这个数的反序数。如果其和仍不是回文数，就重复上述步 骤，经过有限次这样的加法运算后，一定能够得到一个回文数。 例如，给一个数97， 97＋79＝176，176＋671＝847，847＋748＝1595，1595＋5951＝7546，7546＋6457＝14003，14003＋30041＝44044，44044即为回文数。 null对于有些三位数，如197，用上述方法：197＋791＝988，988＋889＝1877，1877＋7781＝9658，9658＋8569＝171017，1710171＋710171＝881188也可以得到一个回文数881188。 只是这种构成回文数的方法是否普遍适用，目前尚未能证明。也未能否定，据说这将是世界难题。 null 所谓回文素数，即一个数，与其反序数均为素数。如17和71，113和311。347和743，769和967等都是回文素数。人们以像作诗的兴趣那样去计算和研究回文素数。二位数的回文素数有4对；三位数的回文素数有13对；四位数的回文素数有102对；五位数的回文素数有684对。但究竟有多少对这样的回文数？至今仍然是未揭开的迷。 俗话说，作回文诗难，但找回文素数难上加难。不过，再难的事也有人做。那是因为它的奇妙所吸引。比如：人们还发现五位、六位循环回文素数。如下图所示： 俗话说，作回文诗难，但找回文素数难上加难。不过，再难的事也有人做。那是因为它的奇妙所吸引。比如：人们还发现五位、六位循环回文素数。如下图所示： 1 9 31 1 9 9 3 3 9 从其中任一个数字开头，都能得到一回文素数。null 四、惊人的简洁1. 数学问题的简洁1. 数学问题的简洁 一个好的数学问题为了突出其本质的因素，必然是简洁的。而一个问题提得越简洁、越清晰易懂，也就越容易引起人们的兴趣。凡是经久不衰。引人入胜的数学问题，如三大尺规作图问题（用直尺和圆规求解倍立方、三等分任意角和化圆为方问题）、梅森关于素数的猜想、七桥问题、哥德巴赫猜想等都是以极其简明而深刻的表述方式吸引着人们的注意，多么像引人垂涎欲滴的美丽果实，在诱使人们向它们伸出手来！而一旦把手伸出便欲罢不能。2. 数学语言的简洁2. 数学语言的简洁宇宙中的质能互换这样深奥复杂的关系如此简单地揭示出来。null 渔网的几何规律 用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式： V + F – E = 1 多面体的欧拉公式多面体的欧拉公式V + F – E = 2 V－－凸多面体的顶点数， F 凸多面体的面数， E 凸多面体的棱数。 3. 数学概念的简洁3. 数学概念的简洁 数学概念是数学语言的精髓。不少数学概念已历经沧桑，内涵不断发生着深刻的变化，每一次变化都使这个概念更加清晰、准确、简洁。怀特（White）说“数学可以定义为相继用简单的概念来代替复杂的概念。” null 以函数概念为例，从1673年莱布尼兹（Leibniz）给出的“函数就像曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动的量”定义。到1821年柯西（Cauchy）给出的“对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数”的定义，再到近代的“设A、B是非空的集合，f是A到B的一个对应法则，则A到B的映射f：A → B称为A到B上的函数”的定义，其间经历了三百年，一次比一次深刻。4.数学证明的简洁4.数学证明的简洁 马丁.伽德纳（Martin Cardner）指出：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和解答问题。”简洁的证明，看上去思路自然，条理清楚。显示出数学证明不容辩驳的逻期力量，给人带来美的享受。因此，追求简洁也是数学家重要的研究课题。英国数学家阿蒂亚（Atiyah）说“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界。。。。。。如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”null 对一个结果的证明如果很繁琐、冗长，人们读起来就会感到累赘且不得要领，甚至不知道是对还是错。例如美国数学家布兰吉（Louis de Brange）花了30多年的时间于1984年证明了比贝伯 （Bieberbach）于1916年提出的一个猜想（关于单叶函数系数界的一个猜想），这是20世纪的一个重要的数学成就。但是在数学界确遭到了冷遇，原因之一是他的证明太长，整整写了350页。后来，他到了前苏联，在前苏联数学家的帮助下，将证明简化成12页，这个结果才得到了承认与好评。 第三节 数学发展简史第三节 数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学起源时期 二、初等数学时期 三、近代数学时期 四、现代数学时期 null一、数学起源时期 （ 远古 —— 公元前5世纪 ） 这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 数学起源于四个“河谷文明”地域数学起源于四个“河谷文明”地域非洲的 尼罗河； 西亚的 底格里斯河与幼发拉底河； 中南亚的 印度河与恒河； 东亚的 黄河与长江 nullnull二、初等数学时期 （ 前6世纪——公元16世纪 ） 也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。 该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。 这一时期又分为三个阶段： 古希腊；东方；欧洲文艺复兴。 null1．古希腊 （前6世纪——公元6世纪） 毕达哥拉斯 —— “ 万物皆数” 欧几里得 —— 几何《原本》 阿基米德 —— 面积、体积 阿波罗尼奥斯 —— 《圆锥曲线论》 托勒密 —— 三角学 丢番图 —— 不定方程 null 2．东方 （公元2世纪——15世纪） 1） 中国 西汉（前2世纪） ——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元3世纪——5世纪） ——刘徽、祖冲之 出入相补原理，割圆术，算 nullnull2）印度 现代记数法（公元8世纪）——印度数码，有0，负数； 十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》 代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世纪） 算术、代数、组合学 null3）阿拉伯国家 （公元8世纪——15世纪） 花拉子米——《代数学》（阿拉伯文《还原与对消计算概要》）曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法 奥马尔．海亚姆 阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。 null 3．欧洲文艺复兴时期 （公元16世纪——17世纪初） 1）方程与符号 意大利 － 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里 三次方程的求根公式 法国 － 韦达 引入符号系统，代数成为独立的学科null2）透视与射影几何 画家 － 布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇 数学家 － 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔 3）对数 简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。 英国数学家 － 纳皮尔 null三、近代数学时期 （公元17世纪——19世纪初） 家庭手工业、作坊 →→ 工场手工业 →→ 机器大工业 贸易及殖民地 →→ 航海业空前发展 对运动和变化的研究成了自然科学的中心→→变量、函数 1．笛卡尔的坐标系 （1637年的《几何学》） 恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……” ２．牛顿和莱布尼兹的微积分 （17世纪后半期）２．牛顿和莱布尼兹的微积分 （17世纪后半期） 微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要： 一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及已知速度对时间的关系求路程； 二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求面积和体积的问题。 ３．微分方程、变分法、微分几何、 复变函数、概率论３．微分方程、变分法、微分几何、 复变函数、概率论微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。 变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。 微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。 与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界限。 微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的得力工具。 4．代数基本定理（1799年）4．代数基本定理（1799年）这一时期代数学的主题仍然是代数方程。 18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重要意义的“代数基本定理”的第一个证明。 该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有n个根。 “分析”、“代数”、“几何”三大分支“分析”、“代数”、“几何”三大分支 在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。 第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，已成为高等学校数学教育的主要内容。 null 四、现代数学时期 （19世纪20年代—— ） 　 进一步划分为三个阶段： 现代数学酝酿阶段（1820——1870年）； 现代数学形成阶段（1870——1950年）； 现代数学繁荣阶段（1950——现在）。 这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。 鉴于本课程的性质，对于这一时期的数学内容，我们只作简略的介绍。 null现代数学时期（19世纪20年代—— ） 　１．康托的“集合论” 　 2．柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析” 3．希尔伯特的“公理化体系” 4．高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何” 5．伽罗瓦创立的“抽象代数” 6．黎曼开创的“现代微分几何” 7．庞加莱创立的“拓扑学” 8. 其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、 计算数学、分形与混沌 等等。 现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。本节结束本节结束 谢谢 ！