数学建模 建立函数模型解决实际问题指数函数与对数函数4.研究
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(包括对选题的分析,解决问题的思路等)关于身高与体重的话题可以说是我们身边经常聊到的,但如何用函数来刻画这两者之间的内在的规律性就需要我们进行理性分析,为了得到较为理想的函数模型,首先要对适宜群体进行数据采集,然后结合散点图对数据的变化趋势进行分析,再选用我们已学过的能拟合这一变化规律的函数模型,最后对获得的模型进行验证,并能解决有关未成年男性身高和体重的定量分析等问题参考答案:1.课题名称关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模2.课题组成员及分工成员:指导教师和全班同学分工:指导教师负责选课题方向,并对所得模型进行评价全班分成4个小组,每个小组分别独立完成课题研究3.选题的意义通过这一个课题使学生熟悉函数建模的一般过程,并能培养同学们的团队协作的意识和勇于探索的精神.通过整个建模
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的参与,也使同学们认识到了很多实际问题最终可以用函数模型来刻画,对未成年男性的身高与体重的关系有了更深入的理解5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程,以及过程中出现的难点及解决方案等)(1)收集数据表中是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:根据表中提供的数据,要求我们用已经学过的一种函数,使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系,并求出这个函数的解析式.(2)分析:数据根据图表我们可以知道,本题属于拟合问题.但体重y关于身高x的函数关系,没有现成的函数模型,为此可以先画出散点图,利用图象直观分析:这组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.根据表中提供的数据可得如下散点图.(3)建立模型观察散点图的分布情况,并结合已学过基本初等函数的图象与性质特点,可选择指数函数模型.设函数关系式为y=aebx,其中a,b满足a∈(0,+∞),b∈(0,+∞)(可通过matlab软件进行计算),可得出a=e0.6952,b=0.0197.代入函数式得y=e0.6952+0.0197x.考虑到考察对象为未成年男性,因此可限定50cm≤x≤180cm.因此所得函数模型为y=e0.6952+0.0197x(50≤x≤180).(4)检验模型将已知数据代入上式或画出函数模型对应的图象,可以发现,这个函数模型可以反映表中数据的变化规律.这说明可以用该模型来反映未成年男性体重y(kg)随身高x(cm)的变化规律.(5)求解问题根据模型,估计身高为176cm的未成年男子的对应体重.将x=176代入函数模型y=e0.6952+0.0197x,50≤x≤180.得y=e0.6952+0.0197×176,结合信息技术得y≈64.23(kg).因此,身高为176cm的未成年男子的体重大约为64.23kg.6.研究结果与评价(1)通过建模我们对未成年男性的体重与身高的关系有了较为理性的认识,未成年男性的体重与身高可以近似用我们学过的指数函数模型y=aebx来刻画,再代入数据并结合信息技术(数学计算软件)求出参数a,b,进而得出能拟合这一变化规律的函数模型为y=e0.6952+0.0197x,50≤x≤180.其中,y代表体重(kg),x代表身高(cm).(2)该模型优缺点分析优点:此模型运用拟合的思想,能够比较科学地反映出身高与体重之间的关系,是衡量体重的比较合适的方法.根据我们的计算、验证且正确率较高.缺点:该模型忽略了衡量体重的其他因素,较为理想化,并且得出的公式不便于实际运用,计算较复杂.建议:影响体重的因素较多,应综合考虑.如果可能给出一些便于比较的范围或者在运用模型的同时给出一些常用指数的对应值表则更好.7.收获与体会8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
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