关于正态分布标准化的证明

关于正态分布标准化的证明关孑正态分布标准化的i正明河北省邯郸市第一中学056002霍振祥正态分布是自然界中最常见的一种分布，在概率和统计中占有非常重要的地位．一般正态总体均可转化为标准正态总体来进行研究，教科书上说： “可以证明，对于任一正态总体N(it，IT2)来说，取值小于石的概率F(x)=中(型)”，也就是说，若z— or Ⅳ(It,or2)，则生坐．．N(O，1)． or “可以证明”给我们留下了一个探究的空间，怎样证明?许多学生提出了这样的问题；教师也应鼓励优秀学生进行探究，这有助于培养学生良...

关孑正态分布标准化的i正明河北省邯郸市第一中学056002霍振祥正态分布是自然界中最常见的一种分布，在概率和统计中占有非常重要的地位．一般正态总体均可转化为标准正态总体来进行研究，教科书上说： “可以证明，对于任一正态总体N(it，IT2)来说，取值小于石的概率F(x)=中(型)”，也就是说，若z— or Ⅳ(It,or2)，则生坐．．N(O，1)． or “可以证明”给我们留下了一个探究的空间，怎样证明?许多学生提出了这样的问题；教师也应鼓励优秀学生进行探究，这有助于培养学生良好的思维品质和学习习惯；怎样证明?教师教学用书中没有给出，我与不少教师交流，也都说未做深究．其实证明并不难，只要综合运用相关基础知识便可迎刃而解．现给出证明如下，仅供参考，意在交流，如有不妥烦请指正为盼．已知菇。Ⅳ(It,or2)，求证姒～N(O，1)． or 分析要证明，7=生≯～N(O，1)，需要解决三个问题： (1)型服从正态分布； or (2)Erl=0； (3)Drl=1．证法l 已经知道对于离散型随机变量孝与田 =,ff+b(Ⅱ、b是常数，且a≠0)，有如下结论： ①叩=,ff+b也是随机变量，且叼与孝取对应值的概率相等； ②ErI=口膳+b； ③岫=a2啦．而连续型随机变量的研究方法是以样本来估计总体，以样本的均值来估计总体的均值，以样本的方差来估计总体的方差．样本中个体取值是离散型的随机变量，当样本容量无限大、组距无限小时，即得到连续型随机变量的总体分布，此时，期望和方差的 26 本质属性和运算关系没有改变，因此，上述关于离散型随机变量的结论，对于连续型随机变量仍然成立，即田=匕一丝与石对应的取值的概率分布一样，也是服从正态分布．又因为Ex=．IX，Dx=or2 所以E叼：E(X-I．t)：上眈一丝：与一卫。 or or 盯 IT"’ 矿：0，D叼：JD(生垡)：(上)2Dx：(土)z矿2：l， (J (， U 所以叼=生丝。N(O，1)．证法2 由证法1知，若x是随机变量，则田= ax+b也是随机变量，且叼与孝取对应值的概率相等，因此，只需确定n、b的值，使叼=似+b—N(O， 1)即可．由已知Ex=肛，Dx=or2，所以ETl=aEx+b=q弘+b，DrI2a2Dx2 口2盯2 自{茹篡肌=吉得⋯告，所以田=生丝．N(O，I)． or 作者简介霍振祥，邯郸市第一中学理科实验班数学教师，1957年8月生，1982年河北师范大学数学系本科毕业， 1993年评为中学高级教师，先后获得了全国优秀教师，河北省特级教师。邯郸市劳动模范，邯郸市优秀专业技术拔尖人才等光荣称号．在河北省教科研“十五”规戋Ij中主持立项的课题《平衡积分法在年级组教学管理中的实验与研究》已结题，专家鏊定认为：“研究结果丰富、系统而具有完整性，是学校管理的一个创新。具有理论依据的的实践意义。是一套切实可行的管理方法”．在河北省教科研“十一五”规划中，主要从事 “小组合作学习”及常规教学的研究，出版教学用书2部，发表教学论文20余篇．万方数据

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