数字信号处理习题
第一章
1-4 今对三个正弦信号 1 2 3( ) cos 2 , ( ) cos 6 , ( ) cos10a a ax t t x t t x t tπ π π= = − = 进行理想采
样,采样频率为 8s πΩ = ,求着三个采样输出序列,比较其结果.画出 1 2 3( ), ( ), ( )a a ax t x t x t 的波形及采
样点位置并解释频谱混迭现象.
解答:由于 1
82
2
w ππ= < ,没有混迭; 2 86 2w
ππ= > ,混迭; 3 810 2w
ππ= > ,混迭.
1-13 下列系统中,
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示输出,( )y n ( )x n 表示输入,试确定是否是线性系统?是否是时不变系统?
(1) ( ) 2 ( ) 5y n x n= + (3) ( ) ( )
n
m
y n x m
=−∞
= ∑
解答:
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
(1) [ ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] 5
[2 ( ) 5] [2 ( ) 5] 5 5 5
[ ( )] [ ( )] 5 5 5 [ ( )] [ ( )]
T ax n bx n ax n bx n
a x n b x n a b
aT x n bT x n a b aT x n bT x n
+ = + +
= + + + − − +
= + − − + ≠ +
所以，非线性;
假设输入为 0( )x n n− ,则有
0 0[ ( )] 2 ( ) 5 ( )T x n n x n n y n n− = − + = − 0
2
0
所以，时不变.
1 2 1 2
1 2 1
(2) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
n
m
n n
m m
T ax n bx n ax m bx m
a x m b x m ay n by n
=−∞
=−∞ =−∞
+ = +
= + = +
∑
∑ ∑ 所以，线性;
0
0 0[ ( )] ( ) ( ) ( )
n nn
m m
T x n n x m n x m y n n
−
=−∞ =−∞
− = − = = −∑ ∑ 时不变.
1-16 确定下列系统的因果性和稳定性:
0
0
(1) ( ) ( ) ( ), ( )
(2) ( ) ( ),
(4) ( ) 0.5 ( )
n
k n
n
y n g n x n g n
y n x k n n
h n u n
=
=
= >
=
∑
有界
解答:
1
（1）
不能用令 x(n)=δ(n)来求 h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。
实际上，因 g(n)有界，所以，当 x(n)有界时，y(n)= x(n) g(n)<= |x(n)| |g(n)|<∞, 所以系统稳定，y(n)
只与 x(n)的当前值有关，显然是因果的。
（2）
y(n)只与 x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。
当 n→∞时，即使 x(n)有界，可能 y(n) →∞，（如 x(n)=1）
0
(4) 0 , ( ) 0, ;
1| ( ) | | 0.5 ( ) | | 0.5 | 2
1 0.5
.
n n
n n n
n h n
h n u n
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =
< = ∴
= = = − =
∴
∑ ∑ ∑
∵
∵
时 是因果系统
又
是稳定的
1-6 ( )x n 和 表示一个序列及其傅氏变换,并且 为实因果序列,利用( jwX e ) )( )x n ( jwX e 求下列各
序列的傅氏变换:
(3) ( ) (2 )
( ),
(4) ( ) 2
g n x n
nx n
g n
=
⎧⎪= ⎨⎪⎩
为偶数
0,n为奇数
解答:
2 2
( ) ( )
2 2 2 2
(3) ( ) ( ) (2 ) , 2
1 1 1[ ( ) ( 1) ( )] ( ) ( 1) ( )
2 2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
jw jwn jwn
n n
t tjw jw jwt t
t t t
t w w wjw j t j j
t t
G e g n e x n e t n
x t x t e x t e x t e
x t e x t e X e X e
π π
∞ ∞− −
=−∞ =−∞
∞ ∞ ∞− −
=−∞ =−∞ =−∞
∞ ∞− − − −
=−∞ =−∞
= = =
= + − = + −
= + = +
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
令
2
t−
注意：当 t为偶数时[ .] =2x(2n)，当 t为奇数时[ .] =0
2 2
(4) ( ) ( ) ( ) 2
2
( ) ( )
jw jwn jwn
n n
j wm j wm
m
nG e g n e x e n m
x m e X e
∞ ∞− −
=−∞ =−∞
∞ −
=−∞
= =
= =
∑ ∑
∑
令 =
1-10 求以下函数的逆 变换: z
1 1
1(1)
(1 )(1 2 )z z− −− −
解答:
2
1 1
1 1
1(1)
(1 )(1 2 )
1 2 13
1 1 2
( 1)
z z
P
z z
u n
− −
− −
− −
−= +− −
− −n+1
见书本 页的例3
=-u(n)-2
注意，因收敛域为 1< |z|<2，而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要|z|>2,所以对第二项，
只能是左边序列，其收敛域为|z|<2，同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为|z|>1，
正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|<1，不符合题意。
1-21 试证 的频谱为( )x n− ( )jwX e− .
解答:
'' ' ( )( ) ) ( ) ( )jwn j w n jw
n n
x n e n n x n e X e
∞ ∞− − −
=−∞ =−∞
− = − = =∑ ∑(令 −
1-22 讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统
1 1
1
1( )
1
a zH z
az
− −
−
−= − ,式中 a为实数
(1) 对于什么样的 a值范围系统是稳定的?
(2) 如果 0
a, 在半径为a的圆外;
（3） 通过 z平面上作图，可以发现，极点 a在单位圆内的实轴上，零点 1/a在单位圆外的实轴上，
它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为
极点矢量长度= )(2acos1a 2 ω−+
零点矢量长度= )(2acos1a
a
1)(cos2a1a 21-2- ωω −+=−+
图解求系统频率响应就是求零点矢量长度与极点矢量长度的比，所以
11 1| ( ) | | | ,
1 | |
j
j
j
a eH e
ae a
ω
ω
ω
− −
−
−= =− 是常数,所以是全通系统.
3
第二章
2-1 如果 是一个周期为 的周期序列,则它也是周期为 的周期序列.将 看作周
期为 的周期序列,令 表示其 DFS,再将 看作 的周期序列,并且令 表示其
DFS,试利用 确定 .
�( )x n N 2N �( )x n
N j1( )X k �( )x n 2N j2 ( )X k
j
1( )X k j2 ( )X k
解答:
j �1
1
0
( ) ( )
N
kn
N
n
X k x n W
−
=
= ∑
j � � �2 1 1 1 ( )
2 2 2
0 0 0
2 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
N N N
kn kn k n N
N N
N n n
k kj kn n nkn N N
N N
X k x n W x n W x n N W
W e e W
π π
− − − +
= = =
−
= = + +
= = =
∑ ∑ ∑
-j注:
2N
� �
2 2 2( ) ( )( ) 2 2 2 2
2
( ) , ( ) ( ),
( 1) ( 1)
K k kj k n N j N K n nk n N k kN N N
N N
n N x n N x n
W e e e W
π π ππ− + − ++
+ =
= = = − = −
�
-j
因为x 的周期为 则 且
j � �1 12 2
2
0 0
( ) ( ) ( 1) ( )
k kN Nn nk
N N
n n
X k x n W x n W
− −
= =
= + −∑ ∑
� i1 2
0
( ) 2 ( );
2
kN n
N
n
kk x n W
k
−
=
=∑当 为偶数时,上式=2
当 为奇数时,上式=0.
X
2-9 有限长为 10N = 的两序列
1,0 4 1,0 4
( ) ( )
0,5 9 1,5 9
n n
x n y n
n n
≤ ≤ ≤ ≤⎧ ⎧= =⎨ ⎨≤ ≤ − ≤ ≤⎩ ⎩
用作图表示 及( ), ( )x n y n ( ) ( ) ( )f n x n y n= ∗
解答:
1,2,3,4,5,3,1, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1,..13
( )
0,
n
f n
− − − − − − − =⎧= ⎨⎩ 其它
2-13 已知 是长为 的有限长序列,( )x n N ( ) [ ( )]X k DFT x n= ,现将长度添零扩大 r倍,得长
度为 的有限长序列 。求 rN ( )y n [ ( )]DFT y n 与 的关系. ( )X k
4
解答:
1
0
1 1
0 0
2 2
1
0
( ) ( )
( ) [ ( )] ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
N
kn
N
n
rN N
kn kn
rN rN
n n
k kj kn j n nkn rN N r r
rN N
kN n
r
N
n
X k x n W
Y k DFT y n y n W x n W
n N
kW e e W
r
kY k x n W X
r
π π
−
=
− −
= =
− −
−
=
=
= = =
≤ > −
= = =
=
∑
∑ ∑
∑
由于n N-1时,y(n)=x(n); 时,y(n)=0.
由于 ,所以当 为整数时,
=
其余不能用 X（k）表示，相当于 X(K)的内插.
2-15 已知复有限长序列 ( )f n 是由两个实有限长序列 ( )x n 、 ( )y n 组成， ( ) ( ) ( )f n x n jy n= + ，
并且 ( ) ( )DFT f n F k⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ，求 ( )X k 、 ( )Y k 以及 ( )x n 、 ( )y n 。
( ) 1 1
1 1
N N
k k
N N
a bF k j
aW bW
− −= +− −
解：
方法 1：利用基本定义及 DFT 的线性特性：
∵
( ) ( )
1
0
1 1 1
1 1
N NN
nk
Nk k
n N N
f n IDFT F k
a bj W
N aW bW
− −
=
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑
又： ( ) ( )1
0
1 1
1 1
Nk NN n Nk
N k k
n N N
aW aaW
aW aW
−
=
− −= =− −∑
∴
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )n nN Nf n IDFT DFT a R n jDFT b R n x n jy n⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ +
故：
( ) ( )
( ) ( )
n
N
n
N
x n a R n
y n b R n
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
( )
( )
1
1
1
1
N
k
N
N
k
N
aX k
aW
bY k
bW
⎧ −=⎪ −⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎩
方法 2：利用 DFT 的共轭对称性：
5
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( )
*
*
1Re
2
1 1
2 1
N
k
N
X k DFT f n DFT f n f n
aF k F N k
aW
⎡ ⎤⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦ −
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( )
*
*
1Im
2
1 1
2 1
N
k
N
Y k DFT f n DFT f n f n
j
bF k F N k
j bW
⎡ ⎤⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦ −
对 ( )X k 、 ( )Y k 作 IDFT 得到：
( ) ( )
( ) ( )
n
N
n
N
x n a R n
y n b R n
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
注意：
根据 DFT 的线性性质可以得到，当 ( ) ( ) ( )f n x n jy n= + 时， ( ) ( ) ( )F k X k jY k= + ，其中
( )X k 、 ( )Y k 均为复序列。但并不是对于形如 ( ) ( ) ( )F k X k jY k= + 进行 IDFT 就一定形成
( ) ( )X k x n↔ ， ( ) ( )Y k y n↔ 的一一对应关系。如，我们将 ( )F k 进行变形，使其虚部和实部分
开得到： ( ) ( ) ( )F k M k jN k= + ，对其进行 IDFT 变换，显然， ( ) ( )IDFT M k x n⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ ，
( ) ( )IDFT N k y n⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ 。
所以，直接由 ( ) ( ) ( )F k X k jY k= + 得到 ( ) ( )IDFT X k x n⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ ， ( ) ( )IDFT Y k y n⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦
是不正确的。
2-18 研究两个有限长序列 ,此二序列当( ), ( )x n y n 0n < 皆为零,并且
( ) 0, 8
( ) 0, 20
x n n
y n n
= ≥
= ≥
各作其 20 点 DFT,然后将两个 DFT 相乘,再计算乘积序列的 IDFT 得,试指出 的哪些点对应于
与 作线性卷积应得到的点.
( )r n
( )x n ( )y n
解答:
这样计算相当于做了 20点的圆周卷积 7 19m = ∼ 时,圆周卷积等于线性卷积.可以通过画图得到.
6
2-21 试导出 时的基二按时间抽取算法和按频率抽取算法 FFT,并分别画出它们的流图. 16N =
解答:
用基二按时间抽取:
时间抽取系数 ，
0 0 0 0
16 16 16 16
0 4 2
16 16 16 16
0 0 4
16 16 16 16
0 4
16 16 16 16
0 0 0
16 16 16 16
0 4 2
16 16 16 16
0 0 4
16 16 16 16
0
16
6
W W W W
W W W W
W W W W
W W W W
W W W W
W W W W
W W W W
W 4 716 16 16
6 W W W
1
2
3
4
5
6
很多同学在第二列 的位置写的是 416W 216W
15
16
0
7 7
2 (2 1)
16 16
0 0
2 27 7 22 2 2 16 8
16 16 16 16 8
0 0
7 7
8 16 8
0 0
( ) ( ) , 0,1,...,15
(2 ) (2 1)
(2 ) (2 1) ( )
(2 ) (2 1) ( )
kn
n
rk r k
r r
j rk j rkrk k rk rk rk
r r
rk k rk
r r
X k x n W k
x r W x r W
x r W W x r W W e e W
x r W W x r W G k W
π π
=
+
= =
− −
= =
= =
= =
+ +
= + + = = =
= + + = +
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
按奇偶分组:
X(k)=
因
16
7 7
8 8
0 0
16
16
16
( )
( ) (2 ) ( ) (2 1)
( ), ( ) 7 , ( ) ,
( )
( ) ( ) ( ), 0,1,2,...7
( 8) ( ) (
k
rk rk
r r
k
k
k
H k
G k x r W H k x r W
G k H k DFT G k
H k
W
X k G k W H k k
X k G k W H k
= =
= = +
= −
= + =
+ = −
∑ ∑
k+8
16
都是只包含 点的 只包含原序列中的偶数序列
而 则只包含奇数序列,另外它的周期都为8,所以有
G(k)=G(k+8) H(k)=H(k+8) W ,所以有
), 0,1, 2,...7k =
一个16点序列的DFT可由两个8点序列的DFT得到,依此类推,G(k),H(k)
也可以这样得到.
用频率抽取法:
7
1
2
15
16
0
7 7
( 8)
1 16 2 16
0 0
7
2 2(
1 16 2 16
0
( ) ( ), 0,1,...,7
( ) ( 8), 0,1,...,7
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
nk
n
nk n k
n n
nl n
n
x n x n n
x n x n n
X k
x n W
x n W x n W
x n W x n W
=
+
= =
=
= =
= + =
=
= +
+
∑
∑ ∑
∑
把序列按前后对半分开
现在按对频率序列抽取,把它分成偶部和奇部,偶数时令k=2l,奇数时令
k=2l+1,这里l=0,1,...7,
X(2l)=
7
8)
0
2
2 1622 16 2
16 8
2( 8) ( 8)
16 8 8
7
1 2 8
0
7
1 2 8 16
0
1 2
1 2 16
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( )] , 0,1,...,7
l
n
j nl
j nlnl nl
n l n l nl
nl
n
nl n
n
n
W e e W
W W W
x n x n W
x n x n W W
a n x n x n
b n x n x n W n
π
π
+
=
−
−
+ +
=
=
= = =
= =
+
−
= +
= − =
∑
∑
∑
上式=
依此类推:
X(2l+1)=
这样又把16点的DFT化成了8点的DFT,向下不断细分得到下图:
2-25 设 ( )x n 是一个M点 的有限长序列,其 Z变换为 0 n M≤ ≤ −1
1
0
( ) ( )
M
n
n
X z x n z
− −
=
= ∑
今欲求 ( )X z 在单位圆上 N个等距离点的采样值
2
( ), , 0,1,..., 1
j k
N
k kX z z e k N
π
= = −
问在 两种情况下,应如何用一个 N点的 FFT来计算全部的 值?
(1)
(2)
N M
N M
≤
> ( )kX z
解答:
8
2 2 21 1 1
' '
0 0
21
' '
0
2 2 21 1
0 0
(2)
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
(1)
( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
M M Nj kn j kn j kn
N N N
n n n M
N j kn
N
n
M Nj kn j kn j kn
N N N
n n
N M
x n N
x n e x n e x n e
x n e DFT x n
N M
x n LN
X k x n e x n e x n e
π π π
π
π π π
− − −− − −
= = =
− −
=
− −− − −
= =
>
= +
= =
≤
= = +
∑ ∑ ∑
∑
∑ ∑
将 补零到 点,然后作FFT
X(k)=
将 补零到 组成新序列
1
2 2 21 1 ( ) ( )
0 0
2 21 2 1 ( 2 )
0 0
21 1 1
0 0 0
( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( 2 )
[ ( )] [ ( )]
M
n N
N M Nj kn j k n N j k n N j kn
N N N
n n
N M Nj kn j k n N
N N
n n
N L Lj kn
N
n l l
x n e x n N e e e
x n x n N e x n N e
x n lN e DFT x n lN
N DFT
π π π
π π
π
−
=
− − −− − + − +
= =
− − −− − +
= =
− − −−
= = =
= + + =
= + + + +
= + = +
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∵
变成了 点的
2
N
π−
对于（1）还有另一种解法
现设有一序列 ( ) 0y n n N≤ ≤ −1，其中 N点 DFT与 ( )X k 相同，即
( ) ( ) 21
0
, 0,1, ,
N j kn
N
n
X k y n e k N
π− −
=
= =∑ " 1−
于是有：
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1
0 0 0 0
1 1N M M Nj kl j kn j k l nN N N
k l l k
y n x l e e x l e
N N
π π π− − − −− −
= = = =
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑
−
因为： ( )
21
0
11
0
N j k l n
N
k
l iN n
e
l iN nN
π− − −
=
= +⎧= ⎨ ≠ +⎩∑
所以： 其中( ) ( )
0
p
i
y n x iN n
=
=∑ + 1Mp N= + 的整数部分，当 M 不够 时，对
序列补零。
pN
9
2-27：我们希望利用一个长度为 50 的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，要求利用重叠
保留法并通过 FFT 来实现这种滤波器。为做到这一点，（1）输入各段必须重叠 N个样本；（2）必须从每
一段产生的输出中取出 M个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长
度为 100 个样本，而 FFT 的长度为 128，圆周卷积的输出序号为 0~127。
（1） 求 N；
（2） 求 M；
（3） 求取出的M个点之起点与终点序号，即从圆周卷积的128点中取出哪些点去和前一段衔接起来？
解：（1）输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减 1；依题意有：；
∴ 1 1 50 1 49N N= − = − =
（2）输入段的长度 inN ；滤波器长度 1 50N = ，相邻输入段之间 ( )1 1N − 点发生重叠，圆周卷积
后每一段输出 的前 ( 点发生混淆，去掉这一部分，把相邻段留下的点( )iy n )1 1N −
( )1 1inM N N= − + 衔接构成最终的输入。设 100inN = ，则有 51M = 。
（3）去掉混叠的前 N（0~48）个点，和末尾补的 28（100~127）个零点，取出的 M个点的序号为：
49~99。
10
第三章
3-1 已知模拟传递函数 2
3( )
4 3a
H s
s s
= + +
试用脉冲响应不变法将以上模拟传递函授数转换为数字传递函数 ,采样周期 T=0.5. ( )H z
解答:
1 3
0.5 1 1.5 1
1.5 1.5( )
1 1
0.5
1.5 1.5( )
1 1
T TH z e z e z
T
H z
e z e z
− − − −
− − − −
= −− −
=
= −− −
1
3-2.已知采样周期为 T，用脉冲响应不变法将以下模拟 函数 ( )aH s 转换为数字传递函数 ( )H z ：
（1） ( ) 2( )a
s aH s 2s a b
+= + + ；
（2） ( ) ( )0 ,a m
AH s m
s s
= − 为任意正整数。
解：（1）∵
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 1
( ) 2 2a
s aH s
s a b s a jb s a jb s a jb s a jb
⎡ ⎤ ⎡+= = + = +⎢ ⎥ ⎢+ + + + + − − − − − − +⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦
∴
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
1
1 2 21 1
1
1 2 2
21 1 1 1
2 2 11 1
1 cos
1 2 cos
aT jbY jbT
a jb T a jb T aT jbT jbT aT
aT
aT aT
e e e z
H z
e e e z e ze z e z
e bT z
e bT z e z
− − −
− − − + − − − − −− −
− −
− − − −
⎡ ⎤− +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ − + +− −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
−= − +
（2）由傅立叶变换对可知：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1
1 !
m s tAH s h t t e u t
m
−↔ = −
∴ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1 1
1 ! 1 !
m s nT m m s nTA Ah n nT e u n T n e u n
m m
− − −= =− −
对上式做 变换： z
方法 1：利用 变换的性质 z
首先对 ( ) ( ) ( )0s nTx n e u n= 进行变换有：
11
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
0
1
1
0 0
1
1
ns nT s T sn
s T
n n
Tx n X z e z e z z e
e z
∞ ∞− −
−
= =
↔ = = = >−∑ ∑
根据 变换的性质：z ( ) ( )dX znx n z
dz
↔ − ，我们可以得到 ( ) ( ) ( ) ( )01m s nTy n n e u n−= 的 变换： z
( ) ( ) ( )1mdY z z X z
dz
−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ ，式中符号
( ) ( )1mdz
dz
−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ i 表示：
( )d d d dz z z z
dz dz dz dz
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − − −⎨ ⎬⎜⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
" i ⎟⎥ ，共求导 ( )1m− 次。
故， ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 !
mAH z T Y z
m
−= −
方法 2：利用 变换的定义： z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1
0 01 !
m m s nTn n
n n
AH z h n z T n e z
m
∞ ∞− −− −
= =
= = −∑ ∑
分 析 ： 本 题 不 易 将 表 达 式 写 成 ( )
1
N
i
i i
AH s
s s=
= −∑ 的 形 式 ， 因 而 不 直 接 套 用 公 式
( ) 1
1 1 i
N
i
s T
i
AH z
e z−=
= −∑ 。所以，我们可以先求出 ( )h n ，然后对其做 变换，得到所求的 。 z ( )H z
注意： 的求法，( )Y z ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1
1
1
m
m
m
dY z z X z
dz
−−
−≠ − 。
3-3 题图 3.1表示一个数字滤波器的频率响应.
(1) 用脉冲响应不变法,试求原型模拟滤波器的频率响应.
(2) 用双线性变换法, ,试求原型模拟滤波器的频率响应.
解答:
脉冲响应不变法：
2
2 5 2| | , | |
| ( ) | 3 3 3
0,
1| ( ) | | ( ) |
2 5| | , | |
| ( ) | | ( ) | | ( ) | 3 3 3
0,
j
j
a
j
a a
H e
H e H j
T T
T TH j H j T H e T TT
ω
ω
ω
π πω ωπ
ω
2π πω π
⎧− + ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩
=
⎧− Ω + ≤ Ω ≤⎪∴ Ω = = = ⎨⎪⎩
∵
其它
其它
12
双线性变换:
Ω的范围根据Ω=2/T tg(ω/2)由ω的范围计算而得
⎪⎩
⎪⎨⎧ <Ω<−==Ω
Ω
Ω= 其它0
)()(
32
3
2
2
4
3
5
2
2
TT
T
Tarctg
j
a
arctg
eHjH πω
ω
3-4 设有一模拟滤波器
2
1( )
1a
H s
s s
= + +
采样周期 T=2,试用双线性变换法将它转变成数字系统函数 ( )H z .
解答:
1
1
2 1
2
1
2
2
1( ) ( ) | 2 1 2 1( )
1 1
2
2 1( )
3 1
a zs
T z
H z H s z z
T z T z
T
z zH z
z
−
−
−= +
= = − − 1+ ++ +
=
+ +∴ = +
∵
3-6 一个采样数字处理低通滤波器如图. ( )H z 的截止频率 0.2cw π= ,整个相当于一个模拟低通滤
波器 ,今采样频率 1sf kHz= ,问等效于模拟低通的截止频率 ?cf = 若采样频率 sf 分别改变为
5 , 200KHz Hz ,而 ( )H z 不变,问这时等效于模拟低通的截止频率又各为多少?
解答:
0.2 1 0.1
2 2
5
0.2 5 0.5
2 2
200
0.2 200 20
2 2
c s
c
s
c s
c
s
c s
c
f
f KHz
f KHz
f
f KHz
f Hz
f
f KH
ω π
π π
ω π
π π
ω π
π π
×= = =
=
×= = =
=
×= = =
若
若
13
3-7 设采样频率为 6.28318sf KHz= ,用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器,
截止频率 1cf KHz= .
解答:
2 3
6 6
6 6
1 (1 3) / 2 (1 3) / 21 1
1
1( )
[1 2( ) 2( ) ( )
( ) ( )
3 3 ( 2
(1 3) / 2 (1 3) / 2
( ) ( )
/ 3 3
1 1 1
( )
1 3(
1
c
s
c c c
c
a
c c c
j j
c c
fc
c c f
c c c
j j
c c
c
w j j
j
c
c
H s s s s
e e
T
s s j s j
e e
T T T
e z e z e z
e
T e z
π π
π π
ω ω
π
ω
ω π
ω ω
ω
ω
ω
−
−
− − − − − +− −
− −
=
+ + +Ω Ω Ω
Ω Ω− −Ω= + + = Ω = =+Ω +Ω − +Ω +
− −
= + +− − −
−
= +−
1)
6 6
(1 3) / 2 (1 3) / 21 1
6 6
1 1 (1 3) / 2 1 (1 3) / 2 1
1
1 1 2
( )
3 )
1 1
1 1( ) ( )
1 1 3 3( )
1 1 1
1 1 1 0.6597( )
1 0.3679 1 0.7859 0.3679
c c
j
c
j j
j j
j j
e
e z e z
e e
T e z e z e z
z
T z z z
π
ω ω
π π
ω −
− − − +− −
−
− − − − − − + −
−
− − −
−
+− −
− −
= + +− − −
−= −− − +
3-9 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字高通滤波器,采样频率 6sf KHz= ,通带边界频率为
1.5KHz .
解答:
1
1
2 3
1 3
1 1 1 21
2 32 1
1 1 1
2 1.5 1( ) ( ) , ( )
2 2 2 2 6 2 [1 2( ) 2( ) ( )
1 (1( ) ( ) |
1 1 1 6 21 2 2( ) ( )
1 1 1
c
c a
c c
a T zs
z
T T Tctg ctg H s
)
c
s s s
zH z H s
z z z z
z z z
ω π
−
−
− −
− − − −+= − − − −
Ω = = = =
+ + +Ω Ω Ω
−= = =+ + + ++ + +− − −
3-12 二阶巴特沃兹数字低通滤波器的采样频率 500sf Hz= ,通带边界 50cf Hz=
14
1 2
1 2
0.0674553(1 2 )( )
1 1.14298 0.412802
z zH z
z z
− −
− −
+ += − +
试导出高通数字滤波器,采样频率 500 ,sf Hz= 通带起始频率 200hf Hz= .
解答:
1 1 1
1 2
1 2
4
5 5cos( )50 200 4 22 , 2 , 4500 5 500 5
5 5sin( )
2
( )
0.0674553(1 2 )( )
1 1.14298 0.412801
c c
u G z z
z zH z
z z
0
π π
π πθ π ω π α π π
− − −
− −
− −
+
= = = = = −
− +
= − = −
− +
=
∴ = + +
3-14 要设计一个 3dB 边界频率为500Hz 和 的数字低通滤波器.在频率小于600Hz 100Hz 和
频率大于700Hz 时的衰减至少要为 ,采样频率为10dB 4000Hz .假定原型数字低通滤波器的通带
边界频率 2c
πθ = ,试给出原型数字低通巴特沃兹滤波器的传递涵数 ( )H z .
3-16 导出表 3.1中的数字低通-数字带通的变换.
LP-BP变换把带通的中心频率 00 =→θω
⇒=→=
⇒−=→=
πθπωω
πθωω
~0~
0~~0
0
0 cθω →2 cθω −→1
,~~0 ππθπω −== 时， 故 N=2。
1)1(,0 −=−== g，时 πθω ，所以全通函数取负号。由以上
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
得变换关系：
)1(
1
)( 1
1
2
2
2
1
1
2
11
++
++−== −−
−−
−−
zrzr
rzrzzgu
或
)2(
11
2
2
21
2
++
++−= −−
−−
−
ωω
ωω
θ
jj
jj
j
erer
reree 把变换关系 cc θωθω −→→ 21 , 代入（2）式
得 ：
15
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
++−=
++
++−=
−−
−−
−
−−
−−
)4(
1
)3(
1
22
22
11
11
1
2
2
21
2
1
2
2
21
2
ωω
ωω
θ
ωω
ωω
θ
jj
jj
j
jj
jj
j
erer
reree
erer
reree
c
c
整理得：
⎩⎨
⎧
−−=+++
−−=+++
−−−−−−
−−−
)6()1()1(
)5()1()1(
222
111
2
1
2
2
2
1
2
2
ccc
ccc
jjjjjj
jjjjjj
eeeereer
eeeereer
θωθωθω
θωθωθω
（6）* －（5）* ，消去 r1，得： 2ωje cjj ee θω −1
2222
2222
222
222
12
21
)2/()2/()2/()2/(2/
)2/()2/()2/()2/(2/
)(
)(
2
1212
1212
2112
2112
1122
2211
1122
2211
sincoscossin
sincoscossin
)sin()sin(4
)sin()sin(4
)2/cos(2)2/cos(2
)2/cos(2)2/cos(2
]}[]{[
]}[]{[
ωωθωωθ
ωωθωωθ
θωωωω
θωωωω
θωθωθωθωθ
θωθωθωθωθ
θωωωθω
θωωωθω
θωθω
θωθω
−−
−−
−+
−+
−−−+−+−
−−−+−+−
−−−−
−−−−
+
−=
+−
+−=
−−+
−−+=
+−+
+−+=
−−+
−−+=
cc
cc
c
c
ccccc
ccccc
cc
cc
cc
cc
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
eeeee
eeeee
eeeee
eeeeer
令
2
)
2
( 12 ctgctgk θωω −= 可得，
1
1
2 +
−=
k
kr ，
1
2
1 +−= k
kr α ， 其中
)
2
cos(
)
2
cos(
12
12
ωω
ωω
α −
+
=
16
第 4章 FIR 数字滤波器
4-1 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<≤
≤≤−−−=
c
c
jejedH ωπω
πωωπαπωω
0,0
,)()(
（1） 写出 h(n)的表达式，确定α与 N的关系。
（2） 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？
（3） 若改用汉宁窗设计，写出 h(n)的表达式。
解：（1）
根据线性相位高通滤波器的特点（见书上 101 页表），其频率响应的幅度函数在π处一定偶对称（与N
的奇、偶性无关），所以选择 0～2π频率范围作为求hd(n)积分范围（同样与N的奇、偶性无关）。
2
0
1 1 ( )( ) ( )
2 2
1 ( )
2
1 1 ( )( ) ( )( )[ ]
2 ( )
( )
sin[( ) ] ( 1) [( ) ]
( )
c
c
c
c
c c
n c
c c
j j n j j nh n H e e d e e dd d
j j ne e d
j n j nje e e
j n
j j ne e n Sa n
n
π π ω
π ω
π ω
π ω
ω ω ω π α ωω ωπ π
πα α ω ωπ α π ω α π ωπα
π α
πα α π ωα ω α ωπ α π
+
−
+
−
− −= =∫ ∫
−= ∫
− + − −= −−
−
= − = − −−
对于线性相位 FIR 数字滤波器，必有
2
1−= Nα ，所以有
12 += αN
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−−==
其它0
20])[()1(
)()()(
αωαπ
ω nnSa
nRnhnh c
cn
Nd
（2）
根据书上 101 页表中特性，本题对应滤波器可以有 2种类型。
一类为偶、奇，即 h(n)偶对称，N为奇数，此时
2
1−= Nα 为整数，相位特性中无π/2 相移。
h(n)=h(N-1-n)，H(ω)=H(2π-ω),为第一种类型线性相位滤波器。
另一类为奇、偶，即 h(n) 奇对称，N 为偶数，此时
2
1−= Nα 中有一 0.5 的非整数，与理想频响相
位中的π组合后含有π/2 相移，所以满足第四种类型线性相位滤波器的要求。
h(n)=-h(N-1-n)，H(ω)=H(2π-ω)。
（3）用汉宁窗设计
17
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−−−−=
−−=
其它0
20)]
1
2cos(1][)[(
2
)1(
)()]
1
2cos(1[
2
1)()(
απωαπ
ω
π
n
N
nnSa
nR
N
nnhnh
c
cn
Nd
4-2 用矩形窗设计一线性相位带通滤波器
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−−<≤
≤−≤−−= πωωωωωω
ωωωωωαω
cc
cc
jejedH
00
0
,0,0
,)(
（1） 设计 N 为奇数时的 h(n)。
（2） 设计 N 为偶数时的 h(n)。
（3） 若改用汉明窗设计，写出以上两种 h(n)的表达式。
解：（1）、（2）
根据线性相位特性中无π/2 相移的特点，h(n)必为偶对称。
查书上 101 页表知，本题对应第一、第二类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其频率响应的
幅度函数在 0处均偶对称（与N的奇、偶性无关），所以选择-π～π频率范围作为求hd(n)积分范围（同
样与N的奇、偶性无关），求出的hd(n)同时适用奇数N和偶数N情况。
])cos[(])sin[(
)(
2
)]})(sin[()])({sin[(
)(
1
])cos[(2
2
1
])()([
2
1
'])()([
2
1
)(
2
1)(
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ωαωααπ
ωωαωωααπ
ωωαπ
ωωαωωαπ
ωωωωαωωαπ
ωωωπ
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
π
π
−−−=
−−−+−−=
−=
−+−−=
−=−+−=
=
∫
∫∫
∫∫
∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+−
−−
−
nn
n
nn
n
dn
dnjednje
dnjednje
dnjejedHndh
c
cc
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
令第一项
如果选择 0～2π频率范围作为求hd(n)积分范围，由于频率响应的幅度函数在π处的对称性与N的奇、
偶性有关，所以应针对N的奇、偶情况分别求取。但因N为偶数时，其中有一项 1)(2 −=−απ nje ，
正好与其幅度函数中的奇对称性（H(ω)= - H(2π-ω)）抵消，所以结果与N为奇数时相同。
（3）用汉明窗设计
18
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −≤≤−−−−
−
=
−−=
其它0
10)]
1
2cos(46.054.0][)cos[(
)(
])sin[(2
)()]
1
2cos(46.054.0)[()(
0 NnN
nn
n
n
nR
N
nnhnh
c
Nd
πωααπ
ωα
π
4-3 理想带通特性改为
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−−<≤
≤−≤−−= πωωωωωω
ωωωωωαω
cc
cc
jjejedH
00
0
,0,0
,)(
重复上题（1）（2）（3）。
因线性相位特性中有π/2 相移，h(n)必为奇对称。
查书上 101 页表知，本题对应第三、第四类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其频率响应的
幅度函数在 0处均奇对称（与N的奇、偶性无关），所以选择-π～π频率范围作为求hd(n)积分范围（同
样与N的奇、偶性无关），求出的hd(n)同时适用奇数N和偶数N情况。
])sin[(
)(
])sin[(2
)]})(cos[()])({cos[(
)(
1
])sin[()(2
2
1
])()([
2
1
'])()([
2
1
)(
2
1)(
0
00
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ωααπ
ωα
ωωαωωααπ
ωωαπ
ωωαωωαπ
ωωωωαωωαπ
ωωωπ
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
π
π
−−
−−=
−−−+−−=
−=
−+−−−=
−=−+−−=
=
∫
∫∫
∫∫
∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+−
−−
−
n
n
n
nn
n
dnj
dnjjednjje
dnjjednjje
dnjejedHndh
c
cc
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
令第一项
与 4-2 一样，如果选择 0～2π作为求hd(n)积分范围，由于频响幅度函数在π处的对称性与N的奇、偶
性有关，所以应针对N的奇、偶情况分别求取。但因N为偶数时，其中有一项 1)(2 −=−απ nje ，正
好与其幅度函数中的奇对称性（H(ω)= - H(2π-ω)）抵消，所以结果与N为奇数时相同。
（3）用汉明
浙公网安备 33021202002483