近世代数答案

　倡１畅判断下列哪些是集合A 上的代数运算． （１） A ＝ 所有实数，A 上的除法． （２） A 是平面上全部向量，用实数和A 中向量作数量乘法（倍数） ． （３） A 是空间全部向量，A 中向量的向量积（或外积，叉乘） ． （４） A ＝ 所有实数，A 上的一个二元实函数． 　倡２畅给定集合F２ ＝ ｛１ ，０｝ ，定义F２ 上两个代数运算加法和乘法，用下面的加 法 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，乘法表来表示： ＋ ０ １ × ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ 例如，０ ＋ １ ＝ １ ，在加法表中＋ 号下的０ 所在的行与＋ 号右边的１ 所在的列相交 处的元就是１ ；１ × ０ ＝ ０ ，在乘法表中× 号下的１ 所在的行与× 号右边的０ 所在 的列相交处的元是０ ． 试验证上述加法、乘法都有交换律、结合律，且乘法对于加法有分配律． 　倡３畅设R 是环．证明下述性质：橙a ，b ，c ∈ R ， （１） a ＋ b ＝ a ，则b ＝ ０ ，　　　　（２） － （ a ＋ b） ＝ （ － a） － b ， （３） － （ a － b） ＝ （ － a） ＋ b ， （４） a － b ＝ c ，则a ＝ c ＋ b ， · 2 · （５） a０ ＝ ０ ， （６） － （ ab） ＝ （ － a）b ＝ a（ － b） ， （７） （ － a）（ － b） ＝ ab （８） a（b － c） ＝ ab － ac ． ４畅R 是环，a１ ，a２ ，⋯ ，am ，b１ ，b２ ，⋯ ，bn ∈ R ，则 Σ m i ＝ １ ai Σ n j ＝ １ bj ＝ Σ m i ＝ １ Σ n j ＝ １ aibj ． 　倡５畅R 是环，验证：对所有非负整数m ，n ，橙a ，b ∈ R ，有 am ＋ n ＝ am an ，（ am ）n ＝ am n ． 若a ，b 交换，则（ ab）m ＝ am bm ． 　倡６畅R 是环，a ，b ∈ R ，a ，b 交换，证明二项定理： （ a ＋ b）n ＝ an ＋ n １ an － １ b ＋ ⋯ ＋ n k an － kbk ＋ ⋯ ＋ bn ， 其中 n k ＝ Ck n ＝ n（ n － １） ⋯ （ n － k ＋ １） １·２ ⋯ k ７畅R 是环，a１ ，a２ ，⋯ ，am ∈ R ，分别有乘法逆元素a － １ １ ，⋯ ，a － １ m ，则a１ ⋯ am 的逆元素为a － １ m a － １ m － １ ⋯ a － １ ２ a － １ １ ．若a１ ，⋯ ，am 两两交换，则a１ a２ ⋯ am 有逆元素 的充要条件是a１ ，⋯ ，am 皆有逆元素． ８畅R 是环，a ，b ∈ R ．证明 c（１ － ab） ＝ （１ － ab）c ＝ １ 痴（１ － ba） d ＝ d（１ － ba） ＝ １ ， 其中d ＝ １ ＋ bca ．即若１ － ab 在R 内可逆，则１ － ba 也可逆．元素１ ＋ adb 等于 什么？ ９畅Mn （ F）为域F 上全体n × n 阵作成的环，n ≥ ２ ．举出其中零因子的 例子． １畅（１） 否，（２）否，（３）是，（４）是． ２畅证明　由于a ＋ b 和b ＋ a ，a ＋ （b ＋ c）和（ a ＋ b） ＋ c 中１ ，０ 出现的次数 分别相同，它们的和就分别相等，故F２ 中加法交换律和结合律成立． 由于ab 和ba ，a（bc）和（ ab）c 中如有０ 出现，其积为零，否则其积为１ ，故这 两对积分别相等，于是F２ 中乘法交换律和结合律成立． 对a（b ＋ c）和ab ＋ ac ，若a ＝ ０ ，这两式子都为零；若a ＝ １ ，这两式子都为b ＋ c ，对这两种情形两式子都相等，故F２ 中乘法对加法的分配律成立． ３畅（１） 对a ＋ b ＝ a ＝ a ＋ ０ 用加法消去律，得b ＝ ０ ． （２） 由于［（ － a） － b］ ＋ a ＋ b ＝ （ － a） ＋ ［ － b ＋ （ a ＋ b）］ ＝ （ － a） ＋ a ＝ ０ ， · 3 · 由负元的定义知（ － a） － b ＝ － （ a ＋ b） ． （３） 在（２）中将b 换为－ b ，就得－ （ a － b） ＝ （ － a） ＋ b ． （４） 对a － b ＝ c 两边加上b ，左边＝ （ a － b） ＋ b ＝ a ，右边＝ c ＋ b ，故a ＝ c ＋ b ． （５） a·０ ＋ a ＝ a·０ ＋ a·１ ＝ a（０ ＋ １） ＝ a ．用加法消去律得a·０ ＝ ０ ． （６） （ － a）b ＋ ab ＝ （ － a ＋ a）b ＝ ０· b ＝ ０ ，故－ ab ＝ （ － a）b ．将上式a ，b 互 换就得－ ab ＝ a（ － b） ． （７） （ － a）（ － b） ＝ － （ a（ － b）） ＝ － （ － ab） ＝ ab ． （８） a（b － c） ＝ a（b ＋ （ － c）） ＝ ab ＋ a（ － c） ＝ ab － ac ． ４畅Σ m i ＝ １ aiΣ n j ＝ １ bj ＝ （ a１ ＋ ⋯ ＋ am ）Σ n j ＝ １ bj ＝ a１Σ n j ＝ １ bj ＋ ⋯ ＋ amΣ n j ＝ １ bj ＝ Σ n j ＝ １ a１ bj ＋ ⋯ ＋ Σ n j ＝ １ am bj ＝ Σ m i ＝ １ Σ n j ＝ １ aibj ． ５畅分几种情形 （i） m ＋ n ＝ ０ ，但m ，n 不为零，不妨设m 为正整数．am a － m为m 个a 及m 个a － １的乘积，由广义结合律知am a － m ＝ １ ＝ a０ ＝ am ＋ （ － m ） ． （ii） 若m ，n 中有零，不妨设m ＝ ０ ，则左边＝ a０ ＋ n ＝ an ＝ a０ an ＝ 右边． （iii） m ，n 皆为正整数，则am ＋ n与am an 皆为m ＋ n 个a 的积，由广义结合 律知它们相等． 若m ，n 皆为负整数，则am ＋ n与am an 皆为－ （ m ＋ n）个a － １ 的乘积，由广 义结合律知它们相等． （iv） m ，n 中有正有负，且m ＋ n ≠ ０ ，不妨设m 与m ＋ n 为异号．则由（iii） am ＋ na － m ＝ a（ m ＋ n） － m ＝ an ，两边再乘上（ a － m ）－ １ ＝ am （参看（i）） ，则am ＋ n ＝ am an ． 以上已证明了am ＋ n ＝ am an 及（ am ） － １ ＝ a － m ． 再由amn ＝ am ＋ m ＋ ⋯ ＋ m n个 ＝ am ⋯ am n个 ＝ （ am ）n ，当n ＞ ０ ； amn ＝ a（ － m ）（ － n） ＝ a － m ⋯ － m （ － n）个 ＝ a － m ⋯ a － m （ － n）个 ＝ （ am ） － １ ⋯ （ am ） － １ （ － n）个 ＝ （ am ）n ，当n ＜ ０ ； 又am·０ ＝ １ ＝ （ am ）０ ． 这就证明了am n ＝ （ am ）n ． 若a ，b 交换，当m ＝ ０ 时，显然有am bm ＝ （ ab）m ．当m 为正整数时，am bm 与（ ab）m 都是m 个a ，m 个b 的乘积，由广义结合律知它们相等，当m 为负整 数时，a － m b － m ＝ （ ab） － m ，即（ am ）－ １ （bm ） － １ ＝ （（ ab）m ）－ １ ．左边又是（ am bm ） － １ ， · 4 · 故am bm ＝ （ ab）m ． ６畅参照中学数学中对二项定理的证明． ７畅由（ a１ a２ ⋯ am ）（ a－ １ m a－ １ m － １ ⋯ a－ １ ２ a－ １ １ ） ＝ a１ a２ ⋯ am － １ am a－ １ m a－ １ m － １ ⋯ a－ １ １ ＝ １ ， 故（ a１ a２ ⋯ am ） － １ ＝ a － １ m ⋯ a － １ ２ a － １ １ ． 对第２ 个问题，上面一段正是证明了它的充分性．再证必要性．设a１ a２ ⋯ am · u ＝ １ ，则任i ， ai （ a１ ⋯ ai － １ ai ＋ １ ⋯ am u） ＝ １ ，故每个ai 有逆元素． ８畅（１ － ba） d ＝ （１ － ba）（１ ＋ bca） ＝ １ － ba ＋ bca － babca ＝ １ － ba ＋ b（１ － ab）ca ＝ １ － ba ＋ ba ＝ １ ， d（１ － ba） ＝ （１ ＋ bca）（１ － ba） ＝ １ － ba ＋ bca － bcaba ， ＝ １ － ba ＋ bc（１ － ab） a ＝ １ － ba ＋ ba ＝ １ ． 即１ － ba 在R 内也可逆． 又由c（１ － ab） ＝ （１ － ab）c ＝ １ ，得１ ＋ cab ＝ １ ＋ abc ＝ c ．故 １ ＋ adb ＝ １ ＋ a（１ ＋ bca）b ＝ １ ＋ ab ＋ abcab ＝ １ ＋ ab（１ ＋ cab） ＝ １ ＋ abc ＝ c ． ９畅当n ≥ ２ 时，取 A ＝ １ １ ０ ⋯ ０ ０ ０ ０ ⋯ ０ … … … … ０ ０ ０ ⋯ ０ n × n 　　B ＝ １ ０ ⋯ ０ － １ ０ ⋯ ０ ０ ０ ⋯ ０ … … … ０ ０ ⋯ ０ n × n 则A ≠ ０ ，B ≠ ０ ，但AB ＝ ０ ．A ，B 皆为零因子． · 5 · 第一章　群 １畅群的例子． ２畅群的基本概念：群、子群、同态、同构、陪集、正规子群、商群、群阶、元的 阶、群的方指数、循环群、交换群、奇（偶）置换、置换的轮换分解． ３畅与群作用有关的概念：群作用及等价定义、轨道（等价类） 、不变量及不变 量的完全组、稳定子群、轨道长、共轭类． ４畅重要结论：Lagrange 定理、Cayley 定理、类方程，群作为稳定子群的陪集 的无交并、稳定子群的阶与轨道长的积等于群阶（有限群时） 、同态基本定理、循 环群及其子群的结构、有限交换群为循环群的充要条件、域中非零元的有限乘法 子群是循环群、A n （ n ≥ ５）的单性、Burnside 关于轨道数的定理． ５畅几个应用：图形的对称性群的计算（利用稳定子群） 、晶体的对称性定律、 轨道数的定理在一些组合计算问题中的应用． ６畅解析几何、高等代数中有关群的例子、矩阵的各种变换与群作用的关系． １畅本章的一大特点也是本教材的一大特点是以群作用为主线来处理群论 这一章的内容．在其它教材中群作用的概念和理论仅在群论的稍深入的部分出 现．不少教材（例如为师范院校用的教材）甚至不涉及它．作者发现本章的内容 （作为群论的引论内容）大量地与群作用有关：从图形的对称性群的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 引入群 作用概念、用群作用的轨道引出陪集与共轭类的概念、Lagrange 定理和Cayley 定理、群作用与高等代数中各种矩阵变换和几何学中的Erlanger 纲领的联系、群 作用的轨道长和稳定子群关系的结论用于推出类方程和化简图形的对称性群的 计算、Burnside 关于轨道数的结论用于组合计算问题等基本上形成了本章内容 从头到尾的一条主线．中间穿插着讲述了群的各个基本概念和基本性质．这样就 体现了群作用的重要性． ２畅读者还可进一步考察高等代数中与群和群作用有关的其它例子．本教材 中将群作用与高等代数矩阵变换相联系，体现了用群作用的高观点去看待以前 · 6 · 的知识． ３畅任意域中非零元素的乘法有限子群是循环群．这是非常漂亮的结果，是 群论结果的推论．它在有限域的结构中起重要作用． ４畅利用商群和同态基本定理可以搞清一些对象的构造和性质．读者可从教 材内容和习题中举出几个例子来熟悉这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ． （１） 空间点阵绕一轴的转动若是它的对称性变换，则转角只有０ ，± π ３ ， ± π ２ ， ± ２π ３ ，π ．证明　只由这几个变换共能组五个群． （２） 实对称n × n 方阵可用正交矩阵作相似变换化为对角矩阵．这其中有 什么群作用？ 试找出这个群作用下的不变量的完全组，给出两个n × n 实对称 方阵在同一轨道的充分必要条件．给出两个n × n 实对称矩阵在一般的（不一定 是正交矩阵下）相似变换下能够互变的充分必要条件． § 1 　群的例子 以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 　倡１畅平面取定坐标系Oxy ，则平面仿射（点）变换φ ：（ x ，y）T （ x′ ，y′）T （这里T 是矩阵的转置，（ x ，y）T 是一列的矩阵，即列向量）可写为 x′ ＝ a１１ x ＋ a１２ y ＋ b１ ， y′ ＝ a２１ x ＋ a２２ y ＋ b２ ， （１） 其中行列式 a１１ a１２ a２１ a２２ ≠ ０ ． 证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群，称为平面的仿射变换 群．（可以把（１）写成矩阵形式，再进行证明） ． 　倡２畅平面上取定直角坐标系Oxy ，任意平面正交（点）变换φ ：（ x ，y）T （ x′ ，y′）T 可写为 · 7 · x′ ＝ a１１ x ＋ a１２ y ＋ b１ ， y′ ＝ a２１ x ＋ a２２ y ＋ b２ ， 其中矩阵 a１１ a１２ a２１ a２２ 是正交矩阵．用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个 群，它是平面的正交变换群（见例１０） ． 　倡３畅平面上三个（不同的）点（ x０ ，y０ ）T ，（ x１ ，y１ ）T ，（ x２ ，y２ ）T （在习题１ 中同一 坐标系Oxy 下）共线当且仅当有实数l ，使（ x２ － x０ ，y２ － y０ ）T ＝ l（ x１ － x０ ，y１ － y０ ）T ．证明在习题１ 中的仿射变换φ 下，有（ x′２ － x′０ ，y′２ － y′０ ）T ＝ l（ x′１ － x′０ ， y′１ － y′０ ）T ，故变换后的三点（ x′０ ，y′０ ） ，（ x′１ ，y′１ ） ，（ x′２ ，y′２ ）也共线． 　倡４畅平面上二点（ x１ ，y１ ）T ，（ x２ ，y２ ）T （在习题２ 中直角坐标系Oxy 下）的距 离为｜x２ － x１ ，y２ － y１ ｜＝ （ x２ － x１ ）２ ＋ （y２ － y１ ）２ ．证明：在习题２ 中的正交变 换φ 下，变换前后两点的距离不变．注：只要证明（ x２ － x１ ）２ ＋ （y２ － y１ ）２ ＝ （ x′２ － x′１ ）２ ＋ （y′２ － y′１ ）２ ．除直接计算外还可利用矩阵工具．实际上 x′２ － x′１ y′２ － y′１ ＝ a１１ a１２ a２１ a２２ x２ － x１ y２ － y１ ． 又若把一个数看成１ × １ 矩阵，则有 　（ x２ － x１ ）２ ＋ （y２ － y１ ）２ ＝ （ x２ － x１ ，y２ － y１ ）（ x２ － x１ ，y２ － y１ ）T 及　（ x′２ － x′１ ）２ ＋ （y′２ － y′１ ）２ 　　　　＝ （ x′２ － x′１ ，y′２ － y′１ ）（ x′２ － x′１ ，y′２ － y′１ ）T ． ５畅所有形为 a b ０ a （ a ≠ ０ ，a ，b 皆为复数）的矩阵对于矩阵的乘法成为一个群． 　倡６畅令G 是全部实数对（ a ，b） ，a ≠ ０ ，的集合．在G 上定义乘法为（ a ，b）（c ， d） ＝ （ ac ，ad ＋ b） ，e ＝ （１ ，０） ，验证G 是一个群． 　倡７畅设G 是一个幺半群．若G 的每个元a 有右逆元，即有b ∈ G ，使ab ＝ e ， 则G 是一个群． 　倡８畅设G 是一个群．若橙a ，b 皆有（ ab）２ ＝ a２ b２ ，则G 是交换群． ９畅设群G 的每个元素a 都满足a２ ＝ e ，则G 是交换群． １０畅G ＝ ｛ z ∈ C （复数域）｜｜z ｜＝ １｝对于复数的乘法成群． · 8 · 　　１１畅K ＝ α β － 珋β 珔α α ，β ∈ C ，不同时为０ ，其中珔α ，珋β 是α ，β 的共轭复数， 则K 在矩阵的乘法下成群． １２畅设G 是非空的有限集合，G 上的乘法满足：橙a ，b ，c ∈ G 有 １） （ ab）c ＝ a（bc） ； ２） ab ＝ ac 痴b ＝ c ； ３） ac ＝ bc 痴a ＝ b ； 则G 是群． 　倡１３畅证明（１）群中元a ，a２ ＝ e 当且仅当a ＝ a － １ ．（２）偶数个元素的群都含有 一个元a ≠ e ，使得a２ ＝ e ． １４畅证明任一个群G 不能是两个不等于G 的子群的并集． １５畅以Qp 记分母与某素数p 互素的全体有理数组成的集合，证明它对于数 的加法成为一个群． １６畅以Q p 记分母皆为pi （ i ≥ ０ ，p 素数）的全体有理数的集合，证明它对数 的加法成为群． 　倡１７畅令ρ ＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ６ ５ ４ ３ ２ １ ，　σ ＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ２ ３ １ ５ ６ ４ ， τ ＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ６ ２ １ ３ ５ ４ ， 计算ρσ ，στ ，τρ ，σ － １ ，σρσ － １ ． 　倡１８畅设 σ ＝ １ ２ ⋯ n σ（１） σ（２） ⋯ σ（ n） ，　τ ＝ １ ２ ⋯ n τ（１） τ（２） ⋯ τ（ n） ． 问 σ ＝ τ（１） τ（２） ⋯ τ（ n） ？ ？ ⋯ ？ ，　τ － １ ＝ ？ ？ ⋯ ？ i１ i２ ⋯ in ， 及 τστ － １ ＝ σ（１） σ（２） ⋯ σ（ n） ？ ？ ⋯ ？ １ ２ ⋯ n σ（１） σ（２） ⋯ σ（ n） ？ ？ ⋯ ？ １ ２ ⋯ n ＝ ？ 　倡１９畅将下列置换分解成不相交轮换的乘积： １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ７ １ ２ ６ ５ ４ ３ ，　　 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ２ ４ ５ ９ ７ １０ ８ ３ １ ６ ． 然后再分解成对换的乘积，并说是奇或偶置换． 　倡２０畅确定置换 · 9 · σ ＝ １ ２ ⋯ n － １ n n （ n － １） ⋯ ２ １ 的奇偶性． 　倡２１畅把（１ ４ ７）（７ ８ １０）（３ １０ ９）（９ ４ ２）（３ ５ ６）分解成不相交的轮换的乘积． １畅写仿射点变换φ ：（ x ，y）T （ x′ ，y′）T （这儿T 是矩阵的转置）为矩阵 形式 x′ y′ ＝ a１１ a１２ _____a２１ a２２ x y ＋ b１ b２ ＝ A x y ＋ b１ b２ ， 其中 ｜A ｜＝ a１１ a１２ a２１ a２２ ≠ ０ ． 设另一仿射点变换ρ ： x′ y′ ＝ B x y ＋ c１ c２ 其中｜B ｜≠ ０ ．则（ x ，y）T 经ρφ 变成 ρφ x y ＝ ρ φ x y ＝ ρ A x y ＋ b１ b２ ＝ B A x y ＋ b１ b２ ＋ c１ c２ ． ＝ BA x y ＋ B b１ b２ ＋ c１ c２ ． 由于｜BA ｜＝ ｜B ｜｜A ｜≠ ０ ，ρφ 仍是仿射点变换． 易证：仿射点变换φ１ ： x′ y′ ＝ A － １ x y － b１ b２ 正是φ 的逆变换．而仿射点变换 x′ y′ ＝ x y ＝ １ ０ ０ １ x y ＋ ０ ０ 是恒等变换，它是乘法单位元，又变换的乘法自然有结合律．故平面上全体仿射 点变换对变换的乘法成为一个群． ２畅平面上正交点变换φ 可写成矩阵形式 x′ y′ ＝ A x y ＋ b１ b２ ， · 10 · 其中A 为２ × ２ 正交矩阵，即满足A A T ＝ A T A ＝ I（单位矩阵） ． 正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵．利用这两个性质， 完全类似于习题１ 中的论证，能证明本习题的结论． ３畅由题设有 x２ － x０ y２ － y０ ＝ l x１ － x０ y１ － y０ ． 在仿射点变换φ ： x′ y′ ＝ A x y ＋ b１ b２ 的变换下 x′i y′i ＝ A xi yi ＋ b１ b２ ，　i ＝ ０ ，１ ，２ ． 故 x′２ － x′０ y′２ － y′０ ＝ x′２ y′２ － x′０ y′０ ＝ A x２ y２ － A x０ y０ ＝ A x２ － x０ y２ － y０ ＝ A l x１ － x０ y１ － y０ ＝ lA x１ － x０ y１ － y０ ＝ l x′１ － x′０ y′１ － y′０ ． 由于｜ A ｜ ≠ ０ ，A 可逆．于是φ 将不同的三点（ xi ，yi ）T 变成不同的三点（ x′i ， y′i ）T ，i ＝ ０ ，１ ，２ ．上面一串等式的最前端与最后端相等即表示这三点也共线． ４畅与第三题类似有 x′２ － x′１ y′２ － y′１ ＝ A x２ － x１ y２ － y１ 其中A 满足A A T ＝ A T A ＝ I ． 于是　（ x′２ － x′１ ）２ ＋ （y′２ － y′１ ）２ ＝ （ x′２ － x′１ ，y′２ － y′１ ） x′２ － x′１ y′２ － y′１ 　　　 ＝ A x２ － x１ y２ － y１ T A x２ － __________x１ y２ － y１ ＝ （ x２ － x１ ，y２ － y１ ）A T A x２ － x１ y２ － y１ ＝ （ x２ － x１ ，y２ － y１ ） x２ － x１ y２ － y１ ＝ （ x２ － x１ ）２ ＋ （y２ － y１ ）２ ． ５畅略． ６畅略． · 11 · ７畅对a ∈ G ，a 有右逆b ．b 又有右逆a′ ，这时a 为b 的左逆．由ba′ ＝ e ＝ ab ，得到 a ＝ a（ba′） ＝ （ ab） a′ ＝ a′ ， 可知a ＝ a′ ．这样ba ＝ ab ＝ e ，即b 是a 的逆． ８畅由题设，橙a ，b ∈ G ，（ ab）２ ＝ abab ＝ a２ b２ ．对后一等号两边左乘a － １ ，右 乘b － １ ，就得到ab ＝ ba ． ９畅橙a ，b ∈ G ，有a２ ＝ b２ ＝ e ，故a － １ ＝ a ，b － １ ＝ b ，又（ ab）２ ＝ abab ＝ e ．对 后一个等号两边左乘a ，右乘b ，就得ba ＝ ab ． １０畅略． １１畅略． １２畅设G ＝ ｛ g１ ，⋯ ，gs｝ ．由性质（２） ，橙a ∈ G ，｛ ag１ ，⋯ ，ags ｝ 彻G ，且是s 个 不同的元，故｛ ag１ ，⋯ ，ags ｝ ＝ G ．同样由性质（３）可得，｛ g１ a ，⋯ ，gs a｝ ＝ G ．设其 中agi ＝ a ，gj a ＝ a ．于是（ g１ a） gi ＝ g１ a ，⋯ ，（ gs a） gi ＝ gs a ；gj （ ag１ ） ＝ ag１ ，⋯ ， gj （ ags ） ＝ ags ．即gi 是G 的右单位元，gj 是G 的左单位元，分别记为e 及e′ ，则 e ＝ e′e ＝ e′ ，即G 有单位元e ． 类似于上面作法，由｛ ag１ ，⋯ ，ags ｝ ＝ G ，有b ∈ G 使ab ＝ e ，由｛ g１ a ，⋯ ， gs a｝ ＝ G ，而有b′ ∈ G 使b′a ＝ e ．于是b′ ＝ b′e ＝ b′（ ab） ＝ （ b′a） b ＝ eb ＝ b ，即 橙a ∈ G 有逆元．又题设G 有结合律，故是一个群． １３畅只证（２） ．用反证法．设橙a ∈ G ，a ≠ e 有a２ ≠ e ．由（１）知a ≠ a － １ ． 取a１ ∈ G ＼ ｛ e｝ ，则a１ ≠ a － １ １ ≠ e ．若G ＼ ｛ e｝除了｛ a１ ，a － １ １ ｝外还有元素a２ ， 于是a２ ≠ a － １ ２ ．由于a１ ，a － １ １ 互为逆元素，若a － １ ２ ∈ ｛ a１ ，a － １ １ ｝则a２ ＝ （ a － １ ２ ） － １ ∈ ｛ a１ ，a － １ １ ｝ ．这不可能，即a － １ ２ ∈ ｛ a１ ，a － １ １ ｝ ．故｛ a１ ，a － １ １ ，a２ ，a － １ ２ ｝是四个不同的 元素．设上面的步骤进行了k － １ 步，得到２ （ k － １ ）个元素｛ a１ ，a － １ １ ，⋯ ，ak － １ ， a － １ k － １ ｝ 彻G ＼ ｛ e｝ ．同样论证G ＼ ｛ e｝除了上述２ （k － １）个元素外要么没有元素 了，要么同时有ak 及a － １ k 且ak ≠ a － １ k ．可知G ＼ ｛ e｝要么等于｛ a１ ，a － １ １ ，⋯ ，ak － １ ， a － １ k － １ ｝ ，要么有２ k 个元素｛ a１ ，a － １ １ ，⋯ ，ak ，a － １ k ｝ 彻G ＼ ｛ e｝ ．因G ＼ ｛ e｝只有有限 个元素，必然在某个第k 步停止，即G ＼ ｛ e｝ ＝ ｛ a１ ，a － １ １ ，⋯ ，ak ，a － １ k ｝ ．故G 有 ２ k ＋ １ 个，即奇数个元素，矛盾．因此G 中必有元素a ≠ e ，a２ ＝ e ． １４畅设G１ ，G２ 皆为不等于G 的子群，但G ＝ G１ ∪ G２ ．因G１ ≠ G ，可取到 g１ ∈ G１ ．由G ＝ G１ ∪ G２ ，g１ ∈ G２ ．同样能取到g２ ∈ G２ ，但g２ ∈ G１ ．作g ＝ g１· g２ ． 若g ∈ G１ ，因g２ ∈ G１ ，则g１ ＝ g· g － １ ２ ∈ G１ 矛盾．于是g ∈ G１ ，同样g ∈ G２ ，就 得到g ∈ G１ ∪ G２ 与G ＝ G１ ∪ G２ 矛盾．故不能有不等于G 的两个子群G１ ，G２ 使得G ＝ G１ ∪ G２ ． １５畅略． · 12 · １６畅略． １７畅略． １８畅σ＝ τ（１） τ（２） ⋯ τ（n） σ（τ（１）） σ（τ（２）） ⋯ σ（τ（n）） ，τ－ １ ＝ τ（i１ ） τ（i２ ） ⋯ τ（in ） i１ i２ in τστ－１ ＝ σ（１） σ（２） ⋯ σ（n） τ（σ（１）） τ（σ（２）） ⋯ τ（σ（n）） １ ２ ⋯ n σ（１） σ（２） ⋯ σ（n） τ（１） τ（２） ⋯ τ（n） １ ２ ⋯ n ＝ τ（１） τ（２） ⋯ τ（n） τ（σ（１）） τ（σ（２）） ⋯ τ（σ（n）） ． １９畅略． ２０畅略． ２１畅略． § 2 　对称性变换与对称性群，晶体对称性定律 下列习题中打倡者为必作题，其它为选作题． 　倡１畅计算下列图形的对称性群： （１） 正五边形； （２） 不等边矩形； （３） 圆． 　倡２畅用S４ 的全部变换去变x１ x２ ＋ x３ x４ ，把变到的所有可能的多项式写 出来． 　倡３畅用S３ 去变x３１ x２２ x３ 能变出几个多项式，把它们全写出来．以x３１ x２２ x３ 为 其中一项作出一个和，使它是对称多项式，并使其项数最少． 　倡４畅用不相交的轮换的乘积的形式写出S３ ，A３ ，S４ ，A４ 中的全部元素． 　倡５畅S４ 中下列４ 个元素的集合 ｛（１） ，（１ ２）（３ ４） ，（１ ３）（２ ４） ，（１ ４）（２ ３）｝ 在置换乘法下成为一个群，记为V ４ ．并且它是A４ 的子群． ６畅求出正四面体A１ A２ A３ A４ 的对称性群． １畅（１） 令绕O 反时针旋转０° ，７２° ，１４４° ，２１６° ，２８８°的５ 个旋转变换为T０ ， · 13 · T１ ，T２ ，T３ ，T４ ，令平面对直线l１ ，l２ ，l３ ，l４ ，l５ ，的反射变换为S１ ，S２ ，S３ ，S４ ， S５ ，它们都是对称性变换．对于此正五边形的任一个对称性变换T ，它若将顶点 A１ 变成A i ，则T － １ i － １ T 就将A１ 变成A１ ．易知正五边形的保持A１ 不动的对称性 变换只有T０ 和S１ ，即T － １ i － １ T ＝ T０ 或S１ ，故T ＝ Ti － １ T０ ＝ Ti － １或T ＝ Ti － １ S１ ． 故全部对称性变换为｛ Ti － １ S１ ，Ti － １ ，i ＝ １ ，２ ，⋯ ，５｝ ，最多有１０ 个元素．而前面 已列出｛ Ti － １ ，Si ，i ＝ １ ，２ ，３ ，４ ，５｝共１０ 个对称性变换，它们必须相等． （２） 令绕O 反时针旋转０° ，１８０°的旋转变换为T０ ，T１ ，令平面对直线l１ ，l２ 的 反射为S１ ，S２ ．它们都是该矩形的对称性变换．使A１ 分别变到A１ ，A２ ，A３ ，A４ 的 对称性变换都只有一个，即分别为T０ ，S１ ，T１ ，S２ ．故它们是全部的对称性变换． （３） 令绕O 反时针旋转任意角θ 的旋转变换为Tθ ，令平面对过中心O 的 任意直线l 的反射为Sl ．则圆的对称性变换群＝ ｛ Tθ ，０ ≤ θ ＜ ３６０° ，Sl ，全部过中心O 的直线l｝ ２畅x１ x２ ＋ x３ x４ ，x１ x３ ＋ x２ x４ ，x１ x４ ＋ x２ x３ ． ３畅能变出６ 个单项式， 即为： x３１x２２x３ ， x２１ x３２ x３ ，x３１ x２３ x２ ，x２１ x３３ x２ ，x３２ x２３ x１ ，x２２ x３３x１ ．它们 的和 x３１ x２２ x３ ＋ x２１ x３２ x３ ＋ x３１x２３x２ ＋ x２１ x３３ x２ ＋ x３２ x２３ x１ ＋ x２２ x３３ x１ 是所要求的项数最少的多项式． ４畅S３ ＝ ｛（１） ，（１ ２） ，（１ ３） ，（２ ３） ，（１ ２ ３） ，（１ ３ ２）｝ A３ ＝ ｛（１） ，（１ ２ ３） ，（１ ３ ２）｝ S４ ＝ ｛（１） ，（１ ２） ，（１ ３） ，（１ ４） ，（２ ３） ，（２ ４） ，（３ ４） ，（１ ２ ３） ，（１ ３ ２） ， （１ ２ ４） ，（１ ４ ２） ，（１ ３ ４） ，（１ ４ ３） ，（２ ３ ４） ，（２ ４ ３） ， （１ ２）（３ ４） ，（１ ４）（２ ３） ，（１ ３）（２ ４） ，（１ ２ ３ ４） ，（１ ２ ４ ３） ， （１ ３ ２ ４） ，（１ ３ ４ ２） ，（１ ４ ２ ３） ，（１ ４ ３ ２）｝ A４ ＝ ｛（１） ，（１ ２ ３） ，（１ ３ ２） ，（１ ２ ４） ，（１ ４ ２） ，（１ ３ ４） · 14 · （１ ４ ３） ，（２ ３ ４） ，（２ ４ ３） ，（１ ２）（３ ４） ，（１ ４）（２ ３） ，（１ ３）（２ ４）｝ ． ５畅略． ６畅正四面体为ABCD ，O 为△ DBC 的中心，E ，F ，G ，L 分别是CD ，AB ， A C ，A D 的中点，我们先找出使顶点A 不动的全 体对称性变换的集合H ．这些变换使△ BCD 变为 自己，H 限制在平面BCD 上是△ BCD 的对称性 群．由此易确定出H ＝ ｛ Ti ，Ti S ，i ＝ １ ，２ ，３｝ ，其中 T１ ，T２ ，T３ 是空间绕轴A O 旋转（按某固定方向） 转０° ，１２０° ，２４０°的旋转变换，S 是空间对平面 ABE 的镜面反射． 再任选三个对称性变换M１ ，M２ ，M３ ，它们分别能将点B ，C ，D 与A 互变． 例可取M１ ，M２ ，M３ 是空间分别对平面CDF ，BGD ，CBL 的镜面反射．与第１ 题（１）中的论证类似，可得正四面体ABCD 的对称性群G ＝ ｛ Ti ，Ti S ，Mj Ti ， Mj Ti S ，i ，j ＝ １ ，２ ，３｝ ．G 有２４ 个元． § 3 　子群，同构，同态 以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 　倡１畅四个复数１ ，－ １ ，i ，－ i 的集合U４ 构成非零复数的乘法群的子群． 　倡２畅H１ ，H２ ，⋯ ，Hk ，⋯ 都是群G 的子群．证明 （１） H１ ∩ H２ 是子群． （２） ∩∞ i ＝ １ Hi 是子群． （３） 若H１ 炒H２ 炒⋯ 炒Hk 炒Hk ＋ １ 炒⋯ ，则∪∞ i ＝ １ Hi 是子群． 　倡３畅设G 是群．令Z（ G ） ＝ ｛ a ∈ G ｜ag ＝ ga ，橙g ∈ G｝ ，则Z（ G ）是G 的子 群．称为G 的中心． 　倡４畅G 是群，S 是G 的非空子集．令CG （ S） ＝ ｛ a ∈ G ｜as ＝ sa ，橙s ∈ S｝ ， NG （ S） ＝ ｛ a ∈ G ｜aSa － １ ＝ S｝ ， 则它们都是G 的子群，其中aSa － １ ＝ ｛ asa － １ ｜橙s ∈ S｝ ．CG （ S）和NG （ S）分别称 · 15 · 为S 在G 中的中心化子和正规化子． ５畅设G 是群，H 是G 的子群．（１） a ∈ G ，则aHa － １也是子群．（２）τ 是G 的 自同构，则τ（ H）也是子群． ６畅证明§ ２ 中习题５ 中V ４ 与上面习题１ 中U４ 不同构． 　倡７畅证明正三角形A１ A２ A３ 的对称性群与S３ 同构（将每个对称性变换与它 引起的顶点的置换相对应） ． ８畅令 L ＝ cosθ sinθ － sinθ cosθ ０ ≤ θ ＜ ２π ，M ＝ eiθ ０ ０ e－ iθ ０ ≤ θ ＜ ２π ． 它们都在矩阵的乘法下成为群，并且相互同构． ９畅证明群G 是交换群当且仅当映射 G G x x － １ 是G 的自同构． １０畅实数域R 到习题８ 中群L 的映射φ ： R L 　　　　 x cosθ sinθ － sinθ cosθ ， 其中x ＝ ２ kπ ＋ θ ，０ ≤ θ ＜ ２π ，是R 的加群到群L 的同态． １１畅G 是群，S 是G 的非空子集．令 H ＝ ｛ t１ ⋯ ti ⋯ tk ｜橙k 是正整数，ti 或t － １ i ∈ S｝ ． 证明H 是子群且H ＝ 枙S枛． 　倡１２畅整数加法群Z 的子群一定是某个nZ （ n ∈ Z ） ． １３畅证明有理数加法群Q 的任何有限生成的子群是循环群． １４畅G ＝ ｛全体２ × ２ 整数元素的可逆矩阵｝ ，对矩阵乘法是否成为群？ 全体 正实数元素的２ × ２ 可逆矩阵对矩阵乘法是否成为群？ 　倡１５畅群G 的全部自同构在G 上变换的乘法下成为群，称为G 的自同构群， 记为Aut G ． １畅略． ２畅（１） 略． （２） 对a ，b ∈ ∩∞ i ＝ １ Hi 来证ab － １ ∈ ∩∞ i ＝ １ Hi ．因a ，b ∈ Hi ，Hi 是子群，故ab － １ ∈ · 16 · Hi ，i ＝ １ ，２ ，⋯ ，于是ab － １ ∈ ∩∞ i ＝ １ Hi ．故∩∞ i ＝ １ Hi 是子群． （３） 设a ，b ∈ ∪∞ i ＝ １ Hi ，必有k ，l 使a ∈ Hk ，b ∈ Hl ．不妨设k ≤ l ．于是由Hk 彻Hl 得a ，b ∈ Hl ，又Hl 是子群，知ab － １ ∈ Hl 彻∪∞ i ＝ １ Hi ．故∪∞ i ＝ １ Hi 是子群． ３畅略． ４畅略． ５畅略． ６畅写V ４ 中的元为a ，b ，c ，e（单位元） ，则有a２ ＝ b２ ＝ c２ ＝ e ．而U４ 中４ 个 元为１ ，－ １ ，i ，－ i ．假设V ４ 到U４ 有同构τ ．不妨设τ（ a） ＝ i ．由a２ ＝ e ，τ（ a２ ） ＝ τ（e） ＝ １ ．但τ（ a） ＝ i ，i２ ＝ － １ ，τ（ a）τ（ a） ＝ － １ ．故τ（ a２ ） ≠ τ（ a）τ（ a） ，τ 不 保持乘法，矛盾．故V ４ 与U４ 不同构． ７畅§ ２ 例３ 中已计算过正三角形△ A１ A２ A３ 的对称性群G 有６ 个元素．每个 对称性变换引起顶点A１ ，A２ ，A３ 的一个置换．这就引起了G 到S３ 的一个映射．易 检验这６ 个变换引起S３ 的全部６ 个不同的置换．故这映射是双射．又连续两次作 对称性变换引起连续两次顶点的置换．即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换 的乘积，故这映射保持乘法．因此上述映射是对称性变换群G 到S３ 的同构． ８畅略． ９畅略． １０畅略． １１畅橙t１ ⋯ tk ，x１ ⋯ xl ∈ H ，ti ，xi 或t － １ i ，x － １ i ∈ S ，则（ t１ ⋯ tk ）（ x１ ⋯ xl ） － １ ＝ t１ ⋯ tk x － １ l ⋯ x － １ l － １ ⋯ x － １ １ ，其中ti 或t － １ i ，x － １ i 或（ x － １ i ） － １ ＝ xi 都属于S ，故（ t１ ⋯ tk ）（ x１ ⋯ xl ） － １ ∈ H ，即H 是子群． 又设H１ 是G 的包含S 的子群，则必含所有形为t１ ⋯ tk 的元素，其中ti 或 t － １ i ∈ S ，故H１ 澈H ，因而H 是包含S 的最小的子群． １２畅设H 是加法群Z 的子群，若H ≠ ０·Z ，则H 中有非零整数t ．若t ＜ ０ ，H 是子群，H 含－ t ，它是正整数．故H 中有正整数．取n 为H 中最小的正整数．任 m ∈ H ，作除法算式，m ＝ nq ＋ r ，其中r ＝ ０ 或０ ＜ r ＜ n ．但r ＝ m － nq ∈ H ，若 r ≠ ０ 则与n 的最小性矛盾．故r ＝ ０ ，m ＝ nq ，即H 彻nZ ．又n ∈ H ，橙l ∈ Z ，ln ＝ n ＋ ⋯ ＋ n l个 或ln ＝ （ － n） ＋ ⋯ ＋ （ － n） － l个 ∈ H ，即有nZ 彻H ．因此H ＝ nZ ． １３畅设H ＝ 枙q１ p１ ，⋯ ，qs ps 枛是Q 的有限生成的加法子群．由第１２ 题易知H ＝ · 17 · Σ s i ＝ １ li qi pi li ∈ Z ．取p１ ，⋯ ，ps 的最小公倍数为m ，则 qi pi ＝ m pi qi m ，令为 Qi m ．再令 （ Q１ ，⋯ ，Qs ） ＝ n ，则 qi pi ＝ Qi m ＝ nm Qi n ，令为nm ti ．则（ t１ ，t２ ，⋯ ，ts ） ＝ １ ．取 k１ ，⋯ ，ks ∈ Z ，使k１ t１ ＋ ⋯ ＋ ks ts ＝ １ ．于是Σ s i ＝ １ ki nm ti ＝ nm Σ s i ＝ １ ki ti ＝ nm ∈ H ，且 任意Σ s i ＝ １ li qi pi ＝ Σ s i ＝ １ li ti nm ＝ nm Σ s i ＝ １ li ti ．这就证明了H ＝ 枙n m 枛是循环加法群． １４畅 １ － １ １ １ ＝ ２ ， １ － １ １ １ － １ ＝ １２ １ １ － １ １ ，即 １ － １ １ １ － １ 不是整数矩阵，故全体２ × ２ 整数元素的可逆矩阵不成为群． 取正实数矩阵 １ １ ０ １ ， １ １ ０ １ － １ ＝ １ － １ ０ １ ， 即正实数可逆矩阵的逆矩阵不是正实数矩阵．故全体２ × ２ 正实数可逆矩阵不成 为群． １５畅略． § 4 　群在集合上的作用，定义与例子 以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 　倡１畅V 是某域F 上n 维线性空间，G ＝ GL （ V ）是V 上全线性变换群．令M 为V 的全部子空间的集合．证明G 在M 上有群作用． 　倡２畅G 是群．K ，H 是G 的子群．作群直积K × H ．定义映射礋： （ K × H） × G G （（k ，h） ，g） （k ，h）礋g ＝ kgh － １ ． 证明它是群K × H 在集合G 上的作用． ３畅G 是正四面体A１ A２ A３ A４ 的对称性群．令M１ ＝ ｛四面体的顶点的集 合｝ ，M２ ＝ ｛四面体的四个面的集合｝ ，M３ ＝ ｛四面体的六条棱的集合｝ ，则G 在 M１ ，M２ ，M３ 上分别有群作用． 　倡４畅令G 是n × n 实正交矩阵的群，M 是n × n 实对称矩阵的集合．证明下 · 18 · 述对应是一个映射 G × M M （ P ，A ） P礋A ＝ PA P － １ ， 且是G 在M 上的群作用． 　倡５畅写域F 上多项式f （ x ，y ，z ） ＝ f （ r） ，其中r ＝ （ x ，y ，z ）T ，取M 为F 上 x ，y ，z 的全部多项式的集合．G 为群GL３ （ F） ．对A ∈ G ，令r′ ＝ （ x′ ，y′ ，z′）T ＝ A （ x ，y ，z ）T ＝ A r ．证明下述对应 （ A ，f ） A礋f ＝ f （ r′） ＝ f （A r） 是G × M M 的一个映射，且是G 在M 上的群作用． ６畅利用Cayley 定理证明具有给定阶n 的不同构的有限群只有有限个． １畅略 ２畅（１） K × H 的单位元是（e ，e） ，其中e 是G 的，也是K 和H 的单位元． 橙g ∈ G ，（e ，e）礋g ＝ ege － １ ＝ g ． （２） 橙k１ ，k２ ∈ K ，h１ ，h２ ∈ H ，（ k１ ，h１ ） ，（ k２ ，h２ ） ∈ K × H ．橙g ∈ G ，（ k１ ， h１ ）礋（（k２ ，h２ ）礋g） ＝ （k１ ，h１ ）礋（k２ gh － １ ２ ） ＝ k１ k２ gh － １ ２ h － １ １ ＝ （ k１ k２ ） g（ h１ h２ ） － １ ＝ （k１ k２ ，h１ h２ ）礋g ＝ （（k１ ，h１ ）（k２ ，h２ ））礋g ． 由定义１′ ，上面映射“礋”是K × H 在G 上的群作用． ３畅略． ４畅首先证明 （ P ，A ） P礋A ＝ PA P － １ 定义了G × M 到M 的映射．橙P ∈ G ，P 是n × n 正交矩阵，故P － １ ＝ P′ ，对 橙A ∈ M ，A 是n × n 实对称阵，有P礋A ＝ PA P － １ ＝ PA P′ ，是n × n 实对称阵， 故P礋A ∈ M ，确定了G × M 到M 的映射． 易证这映射是G 在M 上的一个群作用． ５畅对A ∈ G ＝ GL３ （ F） ，橙f （ r）是F 上x ，y ，z 的多项式，A 礋f ＝ f （ A r） ， A r ＝ （ x′ ，y′ ，z′）T 中x′ ，y′ ，z′都是x ，y ，z 的一次多项式，若设为 x′ ＝ a１１ x ＋ a１２ y ＋ a１３ z y′ ＝ a２１ x ＋ a２２ y ＋ a２３ z z′ ＝ a３１ x ＋ a３２ y ＋ a３３ z ， 其中aij ∈ F ．则f （ A r） ＝ f （ x′ ，y′ ，z′） ＝ f （ a１１ x ＋ a１２ y ＋ a１３ z ，a２１ x ＋ a２２ y ＋ a２３ z ，a３１ x ＋ a３２ y ＋ a３３ z ）仍是F 上x ，y ，z 的多项式，故 · 19 · （A ，f ） A礋f ＝ f （A r） 建立了G × M M 的一个映射，易证它是G 在M 上的群作用． ６畅Cayley 定理断言，有限群G 同构于G 上的变换群．设G 的阶为n ，则G 同构于Sn 的子群．而Sn 的子群只有限个，故只有有限个不同构的n 阶群． § 5 　群作用的轨道与不变量、集合上的等价关系 以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 　倡１畅§ ４ 习题１ 中的群作用有几条轨道？ 找出群作用的不变量与不变量的完 全组． 　倡２畅找出§ ４ 习题４ 中群作用的不变量和不变量的完全组． 　倡３畅（联系§ ４ 习题２ 中的群作用）令t ∈ G ，称K tH ＝ ｛ kth ｜k ∈ K ，h ∈ H｝为 G 的一个（ K ，H）双陪集，则G 的两个（ K ，H ）双陪集或重合或不相交，且G 是 全部（ K ，H）双陪集的无交并． １畅V 中可逆线性变换若把某子空间W 变成子空间W１ ，则把W 的基变成 W１ 的基，故同一轨道上的子空间具有相同的维数，又设V 的两个子空间W 和 W１ ，它们有同样维数k ＞ ０ ，分别取W 和W１ 的基为ε１ ，⋯ ，εk ；ε′１ ，⋯ ，ε′k ．分别补 充成ε１ ⋯ εk ⋯ εn ；ε′１ ⋯ ε′k ⋯ ε′n ，使它们都是V 的基．由线性代数知道必有V 上 可逆线性变换A ，使Aεi ＝ ε′i ，i ＝ １ ，２ ，⋯ ，n ．A 就将子空间W 变成子空间W１ ． 故W 与W１ 在同一条轨道上． 故对k ＝ ０ ，１ ，２ ，⋯ ，n ，V 中全体k 维子空间的集合V k 构成群作用的一条 轨道．共有n ＋ １ 条轨道．子空间的维数是不变量，并构成不变量的完全组． ２畅对A ，B 皆为n × n 实对称矩阵，若A ，B 在同一轨道上，即有n × n 正 交阵P 使B ＝ PA P － １ ，则它们有相同的特征值集合．反之，设A ，B 为具有相同 特征值集合｛ λ１ ，⋯ ，λn｝（λi 是k 重特征值就在集合中出现k 次）的n × n 实对称 矩阵，它们都可用实正交矩阵化为对角阵，即有n × n 正交阵P１ ，P２ 使 · 20 · P１ A P － １ １ ＝ λ１ λ２ 筹 λn ＝ P２ BP － １ ２ ． 于是（ P － １ ２ P１ ）A （ P － １ ２ P１ ）－ １ ＝ B ，P － １ ２ P１ 仍为正交阵，故A ，B 在同一条轨道上． 以上说明，特征值的集合是群作用的不变量的完全组．而全部特征值的和， 全部特征值的积，特征多项式都是群作用的不变量． ３畅实际上K tH 是§ ４ 习题２ 中群作用下的一条轨道，两条轨道或重合或不 相交，即两个（ K ，H）双陪集或重合或不相交，群作用集G 是全体轨道的无交并 也就是全体（ K ，H ）双陪集的无交并． § 6 　陪集，Lagrange 定理，稳定化子，轨道长 以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题． 　倡１畅G 是群，H 是G 的子群．x ，y ∈ G ，则x ，y 属于H 的同一左陪集当且仅 当x － １ y ∈ H ． 　倡２畅群G 作用于集合M 上，x ∈ M ．证明：（１ ）稳定化子StabG （ x ）是子群． （２）设g１ ，g２ ∈ G ，则g１ 礋x ＝ g２ 礋x 当且仅当g１ ，g２ 属于StabG （ x ）的同一左 陪集． 　倡３畅V 是域F 上n 维线性空间，取定V 的一组基ε１ ，ε２ ，⋯ ，εn ．V 上任一可 逆线性变换A ，设它在ε１ ，⋯ ，εn 下矩阵为A ，则建立起GL （ V ）到GLn （ F）的同 构，A A ．于是群GLn （ F）通过GL （ V ）可作用于空间V 上，进而可作用于 V 的子空间的集合M 上． （１） GLn （ F）在ε１ 处的稳定化子由哪些元素组成？ （２） 令W 是由ε１ ，ε２ ，⋯ ，εk ，k ≤ n ，生成的子空间，GLn （ F）在W 处的稳定 化子由哪些元素组成？ 　倡４畅正四面体A１ A２ A３ A４ 的对称性群G 可作用在它的顶点的集合和它的 面的集合上，也作用在它的棱的集合上．（１）试决定G 在顶点A１ 处的稳定化子； （２）求G 在面A２ A３ A４ 处的稳定化子；（３）求G 在棱A１ A２ 处的稳定化子． ５畅把正四面体A１ A２ A３ A４ 的对称性群用顶点的置换表出．利用§ ６ 定理２ 中公式（２）写出它的对称性群的全部元素．再回到四面体上考察每个置换代表什 · 21 · 么正交变换． ６畅G 是群，K 及H 是G 的子群．（１）令M 是G 中H 的左陪集的集合．用K 的元素对M 的元素进行左乘，得下列映射礋： K × M M （k ，tH） k礋tH ＝ ktH ， 证明这是K 在M 上的一个群作用． （２） 试决定这个群作用过tH 的轨道及在tH 处的稳定化子．并证明｜K tH ｜ ＝ ［ K ：K ∩ tHt － １ ］｜H ｜ ． 　倡７畅S３ 中C３ ＝ e ，（１ ２ ３） ，（１ ３ ２） 组成S３ 的子群．写出S３ 中C３ 的全部 左陪集和全部右陪集． 　倡８畅S４ 中写出子群S３ ＝ １ ２ ３ ４ i１ i２ i３ ４ i１ i２ i３ 是１ ２ ３ 的全部排列的全 部左陪集． ９畅G 是群，H 是子群．当G 是交换群时，H 的任一左陪