第三章 一元一次方程
初中数学
初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍
（人教版）
七年级 上册
知识点
高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载
一 配套问题
一个圆柱由一个侧面和两个底面围成,一张桌子由1个桌面和4条桌
腿组成,等等,这类问题我们一般称为产品配套问题.
配套问题的特点是“几个A配几个B”或“某个部件由几个A和几个B
组成”等,解这类题的关键是弄清题中哪种配件多,哪种配件少,将少的
数量乘上一个适当的倍数,使其等于多的数量,即把配套关系转换为倍
数关系列出方程.
例1 一张桌子由一个桌面和四条桌腿组成.如果1 m3木料可制作50个
桌面,或制作300条桌腿.现有5 m3木料,用部分木料制作桌面,其余木料制
作桌腿,要使制作出的桌面、桌腿恰好配套,则制作桌面的木料为 ( )
A.3.5 m3 B.3 m3
C.2.8 m3 D.2.6 m3
解析 因为1个桌面需要4条桌腿配套,所以存在的等量关系:桌腿的条
数=桌面个数的4倍,设用x m3木料制作桌面,剩下的(5-x) m3木料制作桌
腿,则可以制作50x个桌面,[300(5-x)]条桌腿,要使制作出的桌面、桌腿
恰好配套,必须有“桌腿数=4×桌面数”,所以300(5-x)=4×50x,解得x=3.
故选B.
答案 B
方法归纳 解配套问题的关键是了解两种相关数量中,哪种数量多,哪
种数量少,是几比几的配套问题,根据配套关系,设出未知数,列方程求解.
此题还可以根据比例列方程,即桌面数∶桌腿数=1∶4,由此得出方程:1
×桌腿数=4×桌面数.
知识点二 工程问题
(1)工程问题的基本量:工作总量、工作效率、工作时间;
(2)工程问题的基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;
(3)合作的效率=单独做的效率的和.
当工作总量未给出具体数量时,常设工作总量为“1”,分析时可采用列
表或画图的方法来帮助理解题意.
例2 有一批零件加工任务,甲单独做40小时完成,乙单独做30小时完成,
甲做了几小时后另有任务,剩下的任务由乙单独完成,乙比甲多做了2小
时,求甲做了几小时.
分析 如果把总任务设为1,则甲的工作效率为 ,乙的工作效率为 ,
再根据“工作总量=甲完成的工作量+乙完成的工作量”列方程.
解析 设甲做了x h.
根据题意,得 + =1,
去分母,得3x+4(x+2)=120.
去括号,得3x+4x+8=120.
移项、合并同类项,得7x=112.
系数化为1,得x=16.
答:甲做了16 h.
点拨 工程问题是中考的常见题型,无论工作过程是怎样的,都有等量
关系:甲完成的工作量+乙完成的工作量+…=工作总量.
知识点三 商品销售问题
列方程
解决销
售问题 叙述
在现实生活中,购买商品和销售商品时,经常会遇到进价、原价(标
价)、售价、打折等概念,在了解这些基本概念的基础上,还必须熟悉
销售问题中的相关公式与等量关系.
(1)相关公式:利润率= ×100%;商品售价=商品标价×商品销售折
扣数× ;商品售价=商品进价×(1+商品利润率).
(2)相等关系:利润=售价-进价;商品进价×(1+商品利润率)=商品标价×
商品销售折扣数×
重要提示 (1)利润是指商品售价与商品成本(进价)的差,若用a表示售价,b表示成
本,P表示利润,则三者之间的关系为P=a-b.
实际生活中,我们常常要计算总利润,即售出某种商品一共获得的利
润.这时,还要在上面利润的基础上乘这种商品的售出数量.若用w表示
总利润,m表示所售出的数量,则总利润可表示为w=m·P=m·(a-b).
(2)利润率是指利润占进价的比,往往用百分数来表示,如一件商品售
价为10元,进价为8元,则它的利润率就是 ×100%=25%
例3 某商场为减少库存积压,以每件120元的价格出售两件夹克上衣,
其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中商场是盈利还是亏
损?请求出盈利或者亏损的钱数.
分析 两件衣服共卖了240元,是盈利还是亏损要看两件衣服的总进价,
假设第一件衣服盈利20%,它的进价为x元,则x<120;第二件衣服亏损2
0%,它的进价为y元,则y>120,所以x
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
决策问题
在生活中,做一件事情往往有多种方案,这就要选择一个最优方案,
要选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出来,通过比较,确定最
优方案.
例5 某商场2018年元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元不优
惠,超过200元,但不超过500元,全部按9折优惠,超过500元,超过部分按8
折优惠,不超过的500元仍按9折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元.
问:(1)此人两次购物,若物品不打折,则需分别支付多少钱?
(2)此人两次购物共节省多少钱?
(3)若将两次购物合为一次购物,是否更省钱?说明理由.
分析 (1)中首先应判断花费了134元的物品是否有优惠,花费了466元
的物品是如何优惠的,然后再求解;(2)中应利用(1)的结果求解;(3)中应
先计算合为一次购物时付款数为多少,再与(134+466)元进行比较.
解析 (1)因为200×0.9=180(元),134(元)<180(元),所以花费了134元的物
品未优惠.
因为500×0.9=450(元)<466(元),所以花费了466元的物品有两项优惠.
设花费了466元的物品原价为x元,依题意得500×0.9+(x-500)×0.8=466,解
得x=520.
故如果不打折,则需分别支付134元和520元.
(2)节省134+520-(134+466)=54(元).
(3)134+520=654(元),
原价为654元的物品优惠价为500×0.9+(654-500)×0.8=573.2(元).
故节省(134+466)-573.2=26.8(元).
故将两次购物合为一次购物,更省钱,比两次购物节省26.8 元.
点拨 本题中条件比较复杂,要分别进行讨论,才能判断,分类讨论是一
种重要且常用的数学思想方法.
题型一 数字问题
例1 一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,且个位上的数字
与十位上的数字的和比这个两位数的 大6,求这个两位数.
分析 本题中的等量关系:个位上的数字+十位上的数字-6= ×这个两
位数.
解析 设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+5,
∴这个两位数为10x+x+5.
根据题意,得x+5+x-6= (10x+x+5),
解这个方程,得x=4,
∴x+5=9,
∴这个两位数为49.
答:这个两位数为49.
点拨 用字母表示整数,关键是搞清楚数位,例如,一个三位数百位上的
数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c,则这个三位数就表示为a×
100+b×10+c.
题型二 分段计费问题
例2 为了鼓励市民节约用水,某市自来水公司对每户用水量进行了分
段计费,每户每月用水量在规定吨数以下的收费
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
相同.下表是小明
家1~4月用水量和缴费情况.
月份 1 2 3 4
用水量(吨) 6 8 10 13
费用(元) 12 16 22 31
(1)求出规定吨数和两种收费标准;
(2)若小明家5月份用水20吨,则应缴多少水费?
(3)若小明家6月份缴水费37元,则6月份他家用水多少吨?
分析 (1)根据1、2、3、4月份的用水量及缴纳水费情况可知,当用水
量不超过8吨时,每吨收费2元.根据3、4月份的用水量及缴纳水费情况
可知,超出8吨的部分每吨收费3元;
(2)根据(1)中得出的缴费标准,可以算出用水20吨应缴多少水费;
(3)中存在的相等关系:8吨的费用16元+超过部分的费用=37元.
解析 (1)从表中可以看出规定吨数为8吨,8吨以内每吨2元,超过8吨的
部分每吨3元.
(2)小明家5月份的水费是8×2+(20-8)×3=16+12×3=16+36=52(元).
答:应缴52元.
(3)设6月份他家用水x吨,
因为37>8×2,所以x>8.
则8×2+(x-8)×3=37,
解得x=15.
故6月份他家用水15吨.
题型三 图表信息问题
例3 情境:
图3-4-1
试根据图3-4-1中的信息,解答下列问题:
(1)购买6根跳绳需 元,购买12根跳绳需 元;
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可
能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
分析 (1)先根据购买的跳绳数量确定购买价格,再计算购买的费用;
(2)先找等量关系,再建立方程求解,若方程有解就有可能;若方程无解则
没有可能.
解析 (1)6×25=150(元),12×25×0.8=240(元).
(2)有这种可能.
设小红购买跳绳x根,根据题意得25×80%x=25(x-2)-5,
解得x=11.
因此小红购买跳绳11根.
点拔 这是一道以情境为背景的一元一次方程应用题,解题关键是阅读
情境中的内容,捕捉其中有用的信息,并根据情境内容结合问题中的等
量关系建立方程求解.对于是否有可能问题,解题的关键是看建立的方
程是否有解.
销售杨梅
典例剖析
例 某水果零售商店在杨梅销售季节分两批次从批发市场共购进杨梅
60箱,已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元,且第二次比第一
次多付款600元.
(1)求第一、二次各购进杨梅多少箱;
(2)若商店对这60箱杨梅先按每箱60元销售了25箱,其余的每箱打八折
销售.求商店销售完全部杨梅所获得的利润.(注:按整箱出售,利润=销售
总收入-进货总成本)
素养呈现 本题以现实生活中的杨梅销售为背景,(1)根据题意可设第
一次购进杨梅x箱,则第二次购进杨梅(60-x)箱,根据等量关系“第二次
付款-第一次付款=600(元)”,列出方程求解即可;(2)根据“销售总收入
=按每箱60元销售了25箱的销售收入+其余的每箱打八折的销售收入,
利润=销售总收入-进货总成本”即可得出结果.
解析 (1)设第一次购进杨梅x箱,则第二次购进杨梅(60-x)箱,依题意有4
0(60-x)-50x=600,
解得x=20,
则60-x=60-20=40.
答:第一次购进杨梅20箱,第二次购进杨梅40箱.
(2)60×25+60×0.8×(60-25)-50×20-40×40
=1 500+1 680-1 000-1 600
=580(元).
答:商店销售完全部杨梅所获得的利润为580元.
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问
题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在
实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,构建模型,计算
求解,验证结果,改进模型,最终解决实际问题.
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式.数学
建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.
数学建模主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模
型,分析和解决问题.
知识点一 配套问题
1.(2016黑龙江哈尔滨中考)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个
螺钉或1 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺
母刚好配套,设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是 ( )
A.2×1 000(26-x)=800x B.1 000(13-x)=800x
C.1 000(26-x)=2×800x D.1 000(26-x)=800x
答案 C 若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-x)名.根据
题意,可列方程为1 000(26-x)=2×800x,故选C.
2.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成,每个工人每天可以加工A
部件1 000个或者加工B部件600个,现有工人16人,应怎样安排人力,才能
使每天生产的A部件和B部件配套?
解析 设安排生产A部件的工人为x人,则生产B部件的工人为(16-x)人,
根据题意得1 000x=600(16-x),解得x=6,则16-x=10.
答:安排生产A部件和B部件的工人分别为6人,10人.
知识点二 工程问题
3.加工一批零件,甲单独做需要12小时,乙单独做需要15小时.若甲、乙
两人合作完成这批零件的 ,则需要 小时.
答案
解析 设甲、乙两人合作完成这批零件的 需要x小时,则甲完成的工
作量为 ,乙完成的工作量为 .根据题意可知, + = ,解得x= .故
甲、乙两人合作完成这批零件的 需要 小时.
4.某工人安装一批机器,若每天安装4台,预计若干天完成,安装 后,改用
新法安装,工作效率提高到原来的1 倍,因此比预计时间提前一天完工,
这批机器有多少台?预计几天完成?
解析 设预计x天完成,依题意有
4x=4× x+4× × ,
解得x=9,
4×9=36(台).
答:这批机器有36台,预计9天完成.
知识点三 商品销售问题
5.(2017广东深圳中考)一球鞋厂,现打折促销卖出330双球鞋,比上个月
多卖10%,设上个月卖出x双,列出方程为 ( )
A.10%x=330 B.(1-10%)x=330
C.(1-10%)2x=330 D.(1+10%)x=330
答案 D 由题意可得等量关系:上个月卖出的双数×(1+10%)=现在卖
出的双数,依此列出方程为(1+10%)·x=330.
6.一件商品的售价为7.20元,利润是成本的20%,若把利润提高到30%,则
要提高售价 ( )
A.0.30元 B.0.40元 C.0.60元 D.1.80元
答案 C 设商品成本为x元,则7.20-x=20%x,解得x=6.设售价为y元时,
利润率为30%,则y-6=6×30%,解得y=7.80,7.80-7.20=0.60(元),故要提高售
价0.60元.
7.一家商店将某种服装按成本提高40%后标价,又以八折(即按标价的8
0%)卖出,结果每件服装仍可获利15元,则这种服装每件的成本是
元.
答案 125
解析 设这种服装每件的成本是x元,根据题意得x+15=(x+40%x)×80%,
解得x=125.故这种服装每件的成本是125元.
知识点四 积分问题
8.(2016江苏南京金陵中学期末)一次知识竞赛共有20道选择题,规定答
对一道题得5分,不做或做错一题扣1分,如果某学生的得分为76分,那么
他做对了 道题 ( )
A.16 B.17 C.18 D.19
答案 A 设他做对了x道题,根据题意,得5x-(20-x)×1=76,解得x=16,故
他做对了16道题.
9.小丽和爸爸一起玩投篮球游戏,两人商定规则:小丽投中1个得3分,爸
爸投中1个得1分,结果两人一共投中了20个,得分刚好相等.则小丽投中
了 个.
答案 5
解析 设小丽投中了x个,则爸爸投中了(20-x)个,根据题意,得3x=(20-x)×
1.解得x=5.则小丽投中了5个.
10.(2014湖南岳阳中考)某项球类比赛,每场比赛必须分出胜负,其中胜1
场得2分,负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分,求这个队胜、负
场数分别是多少.
解析 设这个队胜x场,则负(16-x)场,根据题意得2x+1×(16-x)=25,
解得x=9,则16-x=7.
答:这个队胜9场,负7场.
知识点五 方案决策问题
11.某商店5月1日举行促销优惠活动,当天到该商店购买商品有两种方
案,方案一:用168元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商
品,一律按商品价格的8折优惠,方案二:若不购买会员卡,则购买商店内
任何商品,一律按商品价格的9.5折优惠,已知小敏5月1日前不是该商店
的会员.
(1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元,实际应支付多少
元?
(2)请问所购买商品的价格是多少时,两种方案的优惠情况相同?
(3)你认为哪种方案更合算(直接写出答案)?
解析 (1)120×0.95=114(元).
答:实际应支付114元.
(2)设所购买商品的价格是x元时,两种方案的优惠情况相同.根据题意,
得0.8x+168=0.95x,解得x=1 120.
答:所购买商品的价格是1 120元时,两种方案的优惠情况相同.
(3)当购买商品的价格低于1 120元时,方案二更合算,当购买商品的价格
等于1 120元时,两种方案一样合算,当购买商品的价格大于1 120元时,方
案一更合算.
1.(2016广西南宁中考)超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降
价打八折,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到
方程 ( )
A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90
C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90
答案 A 每个书包原价是x元,则第一次打八折后的价格是0.8x元,第
二次降价10元后的价格是(0.8x-10)元,则得到方程0.8x-10=90.故选A.
2.阳光中学七(2)班篮球队参加比赛,胜一场得2分,负一场得1分,该队共
赛了12场,共得20分,设该队胜了x场,则下列方程正确的是 ( )
A.2(12-x)+x=20 B.2(12+x)+x=20
C.2x+(12-x)=20 D.2x+(12+x)=20
答案 C ∵该队胜了x场,∴该队负了(12-x)场,根据题意,可列方程为2x
+(12-x)=20.故选C.
3.某服装店出售一种优惠卡,花200元买这种卡后,凭卡可以在这家商店
按8折购物,下列情况买购物卡合算的是 ( )
A.购物高于800元 B.购物低于800元
C.购物高于1 000元 D.购物低于1 000元
答案 C 设购物x元使得买购物卡与不买购物卡花钱同样多,根据题
意可列方程为0.8x+200=x,解得x=1 000,即当购物1 000 元时,买购物卡与
不买购物卡花钱同样多,所以当购物高于1 000元时,买卡更合算.
4.若干本书分给某班同学,如果每人6本,则余18本;如果每人7本,则缺24
本,这个班的学生有 人,书有 本.
答案 42;270
解析 设学生有x人,可列方程为6x+18=7x-24,解得x=42,则学生有42人,
书有6×42+18=270(本).
5.数学竞赛共有20道题,答对一题得5分,不答或答错一题扣3分,若要得
到84分,则需要答对几道题?设答对x道题,可列方程为 .
答案 5x-3(20-x)=84
解析 由答对x道题,得不答或答错(20-x)道题,由题意可列方程为5x-3(20-x)=84.
6.(2018甘肃临泽二中月考)小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题.
请你把空缺的部分补充完整.
某手工小组
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
教师节前做一批手工品赠给老师,如果每人做5个,那么
就比计划少2个; .请问手工小组有
几人?(设手工小组有x人)
答案 若每人做6个,就比原计划多8个
解析 从题目可以看出总工作量为5x+2,所以该空格可以填写:若每人
做6个,就比原计划多8个.
7.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个,一个盒身与
两个盒底配成一个罐头盒.现有36张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制
盒底可以使盒身与盒底正好配套?
解析 设用x张白铁皮制盒身,则用(36-x)张白铁皮制盒底,依题意得2×2
5x=40×(36-x),
解得x=16,
当x=16时,36-x=20.
答:用16张制盒身,20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
8.(2016云南昆明三中期末)为增强市民的节水意识,某市对居民用水实
行“阶梯收费”:规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5
元/吨,超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨.该市小明家5月份用水
12吨,交水费20元.请问:该市规定的月用水标准量是多少吨?
解析 因为1.5×12=18(元)<20(元),所以小明家5月份用水量超过月用水
标准量.设该市规定的月用水标准量是x吨,依题意得1.5x+2.5(12-x)=20,
解得x=10.
答:该市规定的月用水标准量是10吨.
9.超市“五一放价”优惠顾客,若一次性购物不超过300元不优惠,超过3
00元时按全额9折优惠.一位顾客第一次购物付款180元,第二次购物付
款288元,若这两次购物合并成一次付款可节省多少元?
解析 若第二次购物超过300元,
设此次所购物品价格为x元,则90%x=288,解得x=320.
两次所购物品价格为180+320=500元>300元.
所以享受9折优惠,因此应付500×90%=450(元).
这两次购物合并成一次付款可节省180+288-450=18(元).
若第二次购物没有超过300元,则两次所购物品价格为180+288=468(元),
这两次购物合并成一次付款可节省468×10%=46.8(元).
答:这两次购物合并成一次付款可节省18元或46.8元.
10.某工厂出售一种产品,其成本价为每件28元,如果直接由厂家门市部
销售,每件产品售价是35元,每月还要支付其他费用2 100元;如果委托商
店销售,那么出厂价为每件32元.
(1)求这两种销售方式下,每月销售多少件时,所得利润相等;
(2)若每月销售量为1 000件,则采用哪种销售方式获利较多?
解析 (1)设每月销售x件时,两种销售方式的销售利润相等.由题意得,(3
5-28)x-2 100=(32-28)x,解得x=700,所以每月销售700件时,两种销售方式
所得利润相等.
(2)当每月销售量为1 000件时,直接由厂家门市部销售的利润是(35-28)×
1 000-2 100=4 900元;委托商店销售的利润是(32-28)×1 000=4 000元.因
为4 900>4 000,所以采用直接由厂家门市部销售的方式获利较多.
1.某商店有两种进价不同的计算器都卖了64元,其中一种盈利60%,另一
种亏本20%,则在这次买卖中,这家商店 ( )
A.不赔不赚 B.赚8元
C.赔8元 D.赚32元
答案 B 设盈利的计算器成本为x元,亏本的计算器成本为y元,依题意
得(1+60%)x=64,解得x=40,(1-20%)y=64,解得y=80,两种计算器的成本共
40+80=120(元),两种计算器的总售价为64×2=128(元),由于128-120=8
(元),故赚8元.
2.(2018天津一中月考)一种肥皂的零售价是每块2元,购买2块以上(含2
块),商场推出两种优惠销售办法,第一种:1块按原价,其余按原价的七五
折销售;第二种:全部按原价的八折销售.在购买相同数量的情况下,要使
第一种办法和第二种办法得到的优惠相同,需要购买肥皂 ( )
A.5块 B.4块 C.3块 D.2块
答案 A 设需要购买x块肥皂,则1×2+2×0.75(x-1)=2×0.8x,解得x=5,即
需要购买肥皂5块.
3.我市某服装厂要生产一批学生校服,已知每3米的布料可做上衣2件或
裤子3条,因裤子旧得快,要求一件上衣和两条裤子配一套,现计划用1 00
8米的布料加工成学生校服,应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好
配套?且能加工多少套校服?
解析 设用x米布料做上衣,则用(1 008-x)米布料做裤子,由题意得 ×2×
2= ×3,
解得x=432,则1 008-x=1 008-432=576. ×2=288.
答:安排布料432米加工上衣,576米加工裤子才能刚好配套,能加工288套
校服.
4.为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区
民用管道的天然气价格进行调整,实行阶梯式收费,调整后的收费价格
如下表所示:
每月用气量 单价(元/m3)
不超过75 m3的部分 2.5
超过75 m3不超过125 m3的部分 a
超出125 m3的部分 a+0.25
(1)若甲用户3月份的用气量为125 m3,应缴费325元,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若乙用户2、3月份共用气175 m3(3月份用气量低于2
月份用气量),共缴费455元,则乙用户2、3月份的用气量各是多少?
解析 (1)2.5×75+(125-75)×a=325,解得a=2.75.
(2)由(1)得a+0.25=3,设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x) m3,
①当x>125,175-x≤75时,
3(x-125)+2.75×(125-75)+2.5×75+2.5(175-x)=455,
解得x=135,175-x=40,符合题意.
②当75361.6,所以在超市A购买更省钱.
5.数轴上A是表示-6的点.A,B关于原点对称,A,C关于点B对称,M,N两动
点同时从点A出发向C运动,到达C点后再返回点A,到达A点后停止运动.
已知动点M,N的速度分别为1个单位长度/秒,3个单位长度/秒.问几秒时
M,N两点相距2个单位长度?
解析 根据题意知,在数轴上,点B表示的数为6,点C表示的数为18.
设M,N两点运动的时间为t秒.
①点M,N均由A向C运动时,-6+3t-(-6+t)=2,
解得t=1.
②当点N从C返回A,未与点M相遇时,18-(3t-24)-(-6+t)=2,解得t=11.5.
③当点N从C返回A,与点M相遇后,-6+t-[18-(3t-24)]=2,解得t=12.5.
④当点N到达点A后停止运动,点M从C返回A的途中时,18-(t-24)=-4,解得
t=46.
综上可知,1秒或11.5秒或12.5秒或46秒时,M,N两点相距2个单位长度.
6.某县于今年4月1日开始全面实行新型农村合作医疗,对住院农民的医
疗费实行分段报销制.下面是该县医疗机构住院病人累计分段报销表:
(例:某住院病人花去医疗费900元,报销金额为500×20%+400×30%=220(元))
(1)农民刘老汉在4月份因脑中风住院花去医疗费2 200元,他可以报销多
少元?
医疗费 报销比例(%)
500元以下(含500元) 20
500元(不含)至2 000元部分 30
2 000元(不含)至5 000元部分 35
5 000元(不含)至10 000元部分 40
10 000元以上部分 45
(2)刘老汉在6月份因脑中风复发再次住院,这次报销医疗费4 790.25元,
刘老汉这次住院花去医疗费多少元?
解析 (1)报销金额为500×20%+(2 000-500)×30%+(2 200-2 000)×35%=
620(元).所以刘老汉可以报销620元.
(2)设刘老汉这次住院花去医疗费x元,显然x>10 000,根据题意,得500×2
0%+(2 000-500)×30%+(5 000-2 000)×35%+(10 000-5 000)×40%+(x-10 0
00)×45%=4 790.25.化简,得0.45x-900=4 790.25,解得x=12 645.
答:刘老汉这次住院花去医疗费12 645元.
一、选择题
1.(2018河北石家庄复兴中学期末,3,★☆☆)用铝片做听装饮料瓶,现有1
50张铝片,每张铝片可制瓶身16个或制瓶底43个,一个瓶身和两个瓶底
可配成一套,设用x张铝片制瓶身才能正好制成整套的饮料瓶,则下面所
列方程正确的是 ( )
A.2×16x=43(150-x) B.16x=43(150-x)
C.16x=2×43(150-x) D.16x=43(75-x)
答案 A 用x张制瓶身,则用(150-x)张制瓶底,根据题意列方程为2×16x
=43(150-x),故选A.
2.(2017江苏宿迁现代实验学校月考,5,★☆☆)某商店把一商品按标价
的九折出售(即优惠10%),仍可获利20%,若该商品的标价为每件28元,则
该商品的进价为每件 ( )
A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元
答案 A 设该商品的进价为每件x元,则实际售价为[(1+20%)x]元.根
据题意,列方程为(1+20%)x=28×(1-10%),解得x=21.故选A.
二、填空题
3.(2016吉林延边二中月考,10,★★☆)某种商品因换季准备打折出售,如
果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,这种
商品的定价是 元.
答案 300
解析 设这种商品的定价为x元,则0.75x-(-25)=0.9x-20,解方程得x=300.
三、解答题
4.(2018辽宁大连模拟,17,★★☆)为有效开展阳光体育活动,云洱中学利
用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一
场得2分,负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分,问九年级
一班胜、负场数分别是多少?(8分)
解析 设九年级一班胜x场,则负(8-x)场,根据九年级一班在8场比赛中
得到13分,可列方程为2x+(8-x)=13,解得x=5,则8-x=8-5=3.
答:九年级一班胜5场,负3场.
5.(2017浙江杭州二中期末,20,★★☆)如图3-4-1,解答问题.
图3-4-1
解析 设一袋牛奶需要x元,则一盒饼干需要(7.9+x)元,
根据题意得0.9(7.9+x)+x=10-0.8,
解得x=1.1,则x+7.9=9.
答:一盒饼干需要9元,一袋牛奶需要1.1元.
6.(2018江西鹰潭十校联考,21,★★☆)为了增强公民的节水意识,合理利
用水资源.某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水的收费
价格如下表:
每月用水量 单价
不超出6吨的部分 2元/吨
超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨
超出10吨的部分 8元/吨
若某户居民某月份用水8吨,则应收水费2×6+4×(8-6)=20元.注:水费按月
结算.
(1)若该户居民2月份用水12.5吨,则应收水费 元;
(2)若该户居民3,4月份共用水15吨(3月份的用水量少于5吨),共交水费4
4元,则该户居民3,4月份各用水多少吨?
解析 (1)48.
(2)设3月份用水x吨,则4月份用水(15-x)吨,其中x<5,15-x>10.
依题意得2x+2×6+4×4+(15-x-10)×8=44,
解得x=4,则15-x=11.
答:该户居民3月份用水4吨,4月份用水11吨.
1.(2018湖北松滋新江口镇一中月考,5,★☆☆)某校为了丰富“阳光体
育”活动,现购进篮球和足球共16个,共花了2 820元,已知篮球的单价为
185元,篮球是足球个数的3倍,则足球的单价为 ( )
A.120元 B.130元 C.150元 D.140元
答案 C 设购进足球x个,则购进篮球3x个,
根据题意得x+3x=16,解得x=4.
∴足球的单价为(2 820-185×4×3)÷4=150(元).
故选C.
2.(2017辽宁本溪期末联考,6,★★☆)七年级(1)班有学生60人,其中参加
数学小组的学生有36人,参加英语小组的学生比参加数学小组的学生少
5人,并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 多2
人,则同时参加这两个小组的人数是 ( )
A.16 B.12 C.10 D.8
答案 B 设同时参加这两个小组的人数为x,则这两个小组都不参加
的人数为 x+2,得36+36-5-x+ x+2=60.移项、合并同类项,得9= x.系数
化为1,得x=12.故选B.
3.(2017江苏宜兴屺亭中学月考,3,★★☆)如图是某超市中某品牌洗发
水的价格标签,一售货员不小心将墨水滴在标签上,使得原价看不清楚,
请你帮忙算一算,该洗发水的原价是 ( )
A.15.36元 B.16元 C.23.04元 D.24元
答案 D 设原价是x元,题中的相等关系是“原价×80%=现价”,依此
可列方程为80%x=19.2,解得x=24.故选D.
4.(2017天津新华中学月考,9,★★☆)图①是边长为30 cm的正方形纸板,
裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体盒
子的宽是高的2倍,则它的体积是 cm3.
答案 1 000
解析 设长方体盒子的高为x cm,则宽为2x cm,由题图可知x+2x+x+2x=
30,解得x=5,所以长方体盒子的高为5 cm,宽为10 cm,故长方体盒子的长
为30-2×5=20(cm),故长方体盒子的体积为5×10×20=1 000(cm3).
5.(2016河南林州一中月考,12,★★☆)某地居民生活用电的基本价格为
0.60元/度.规定每月的基本用电量为a度,超过部分电量的每度电价格比
基本用电量的每度电价格增加20%收费.某用户在5月份用电200度,共
交电费132元,则a= .
答案 100
解析 因为200×0.6=120(元)<132(元),所以a<200,根据题意可列方程为
0.6a+0.6×(1+20%)(200-a)=132,解得a=100.
6.(2018四川富顺二中月考,16, ★☆☆)根据图中的信息,求梅花鹿和长
颈鹿现在的高度.(6分)
解析 设梅花鹿现在的高度为x m,则长颈鹿现在的高度为(x+4)m.
根据题意,得x+4=3x+1.
解得x=1.5.∴x+4=5.5.
答:梅花鹿现在的高度为1.5 m,长颈鹿现在的高度为5.5 m.
7.(2016山东武城育才实验学校月考,22,★★★)小新购买了一部手机,到
某通讯公司咨询移动电话费情况,准备办理入网手续.该通讯公司工作
人员向他介绍了两种不同的资费方案:
方案代号 月租费(元) 免费时间(分钟) 超过免费时间的通话费(元/分钟)
一 10 0 0.2
二 30 80 0.15
(1)若小新的月通话时间为x分钟,则他在方案一、二两种收费方式下各
应支付的月话费(月租费与通话费总和)是多少元?
(2)是否存在某一通话时间,使两种收费方式的费用一样?求出这个通话
时间;
(3)若小新的月通话时间为200分钟,则他选择哪种资费方案更省钱?
解析 (1)方案一:月话费为(0.2x+10)元.
方案二:当x≤80时,月话费为30元,当x>80时,月话费为0.15(x-80)+30=(0.
15x+18)元.
(2)存在.x≤80时,不符合题意;x>80时,根据题意,令0.2x+10=0.15x+18,解
得x=160.
答:当一个月的通话时间为160分钟时,两种收费方式的费用一样.
(3)当x=200时,0.2x+10=0.2×200+10=50,
0.15x+18=0.15×200+18=48.
因为48<50,
所以他选择第二种资费方案更省钱.
一、选择题
1.(2017山东滨州中考,9,★☆☆)某车间有27名工人,生产某种由一个螺
栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个.若分配x名工
人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则
下面所列方程中正确的是 ( )
A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x)
C.2×16x=22(27-x) D.2×22x=16(27-x)
答案 D x名工人可生产螺栓22x个,(27-x)名工人可生产螺母[16(27
-x)]个,由于螺栓数目的2倍与螺母数目相等,因此2×22x=16(27-x).
2.(2016湖南湘潭中考,7,★★☆)程大位《直指算法统宗》中有这样一
道题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几
丁.意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人
分1个,正好分完,试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方
程得 ( )
A. +3(100-x)=100
B. -3(100-x)=100
C.3x+ =100
D.3x- =100
答案 C ∵大和尚有x人,∴小和尚有(100-x)人,根据大和尚1人分3个,
可知x个大和尚共分3x个馒头,小和尚3人分1个,可知(100-x)个小和尚共
分 个馒头,根据大、小和尚共分100个馒头可得3x+ =100,故
选C.
二、填空题
3.(2017新疆生产建设兵团中考,13,★★☆)一台空调标价2 000元,若按6
折销售仍可获利20%,则这台空调的进价是 元.
答案 1 000
解析 设这台空调的进价为x元,根据题意得2 000×0.6-x=x·20%,解得x=
1 000.
三、解答题
4.(2017湖南张家界中考,18,★★☆)某校组织“大手拉小手,义卖献爱
心”活动,购买了黑、白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出
售,所获得的利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售
价如下表:
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出,共获利1 860元,求黑、白两种文化衫各多少件.(8分)
解析 设黑色文化衫x件,则白色文化衫(140-x)件,根据题意得(25-10)x+
(20-8)(140-x)=1 860,
解得x=60,
所以140-x=140-60=80.
答:黑色文化衫60件,白色文化衫80件.
5.(2016海南中考,20,★★☆)世界读书日,某书店举办“书香”图书展,
已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为
150元,《汉语成语大词典》按标价的50%出售,《中华上下五千年》按
标价的60%出售,小明花80元买了这两本书,求这两本书的标价各为多
少元.(8分)
解析 设《汉语成语大词典》的标价为x元,则《中华上下五千年》的
标价为(150-x)元,
根据题意,得50%x+60%(150-x)=80,
解这个方程,得x=100.
∴150-x=50.
答:《汉语成语大词典》的标价为100元,《中华上下五千年》的标价为
50元.
1.(2017湖北恩施中考,10,★☆☆)某件服装进价为80元,标价为200元,商
店将此服装打x折销售后仍获利50%,则x为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B 根据题意得200× -80=80×50%,解得x=6,故选B.
2.(2016山东聊城中考,8,★★☆)在如图所示的2016年6月份的月历表中,
任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是 ( )
A.27 B.51 C.69 D.72
答案 D 设所框出的竖列上三个相邻的数分别为x-7,x,x+7,其中x为正
整数,则这三个数的和为(x-7)+x+(x+7)=3x.当3x=27时,x=9,可能;当3x=51
时,x=17,可能;当3x=69时,x=23,可能;当3x=72时,x=24,不可能.故选D.
3.(2013黑龙江龙东中考,8,★★☆)李明组织大学同学一起去观看电影
《致青春》,票价每张60元,20张以上(不含20张)打八折,他们一共花了1
200元,他们共买了 张电影票.
答案 20或25
解析 设他们一共买了x张电影票,则①60x=1 200(x≤20),解得x=20;②8
0%×60x=1 200(x>20),解得x=25,均符合题意,所以他们共买了20或25张
电影票.
4.(2016云南中考,17,★★☆)食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加
过量的添加剂对人体是有害的,但适量的添加剂对人体无害且有利于食
品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添
加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,已知生
产共100瓶的A、B两种饮料恰好添加了270克该添加剂,则生产A、B两
种饮料各多少瓶?
解析 设生产A饮料x瓶,则生产B饮料(100-x)瓶,依题意得2x+3(100-x)=2
70,解得x=30,则100-x=100-30=70.
答:生产A饮料30瓶,生产B饮料70瓶.
5.(2015江苏泰州中考,21,★★★)某校七年级社会实践小组去商场调查
商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500
件,并以每件120元的价格销售400件,商场准备采取促销措施,将剩下的
衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这
批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
解析 设每件衬衫降价x元,根据题意,得
120×400+(500-400)×(120-x)=500×80×(1+45%),
解得x=20.
答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
6.(2013江苏泰州中考,21,★★☆)某地为了打造风光带,将一段长为360
m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成,共用时20天,已知
甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队
分别整治了多长的河道.
解析 设甲工程队整治了x m的河道,则乙工程队整治了(360-x)m的河
道,根据题意得 + =20,
解得x=120,则360-x=240.
答:甲工程队整治了120 m的河道,乙工程队整治了240 m的河道.
7.(2015云南曲靖中考,20,★★☆)某商场投入13 800元资金购进甲、乙
两种矿泉水共500箱.矿泉水的成本和销售价格如下表所示:
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?
单价
类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱)
甲 24 36
乙 33 48
解析 (1)设该商场购进甲种矿泉水x箱,则购进乙种矿泉水(500-x)箱,由
题意,得24x+33(500-x)=13 800,
解得x=300,
所以500-x=200.
答:该商场分别购进甲、乙两种矿泉水300箱、200箱.
(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润300×(36-24)+200×(48-33)=
6 600(元).
1.甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完
成,合同规定15天完成,否则每超过1天罚款1 000元,甲、乙两人经商量
后签订了该合同.
(1)正常情况下,甲、乙两人能否履行该合同?为什么?
(2)现两人合作完成了这项工程的75%,因别处有急事,必须调走1人,问调
走谁更合适些?为什么?
解析 (1)能履行该合同.
设甲、乙合作x天完成,则有 + x=1,解得x=12.
因为12<15,所以两人能履行该合同.
(2)由(1)知,两人合作完成这项工程的75%需要的时间为12×75%=9(天).
剩下的必须由某人在6天内完成,故他的工作效率至少为25%÷6= ,因
为 < < ,所以调走甲合适.
2.某小组8名同学参加一次知识竞赛,共有10道题,每题分值相同.每题答
对得分,答错或不答扣分.各位同学的得分情况如下表:
(1)如果答对的题数为n(0≤n≤10,且n为整数),用含n的式子表示得分;
(2)在什么情况下得分为零分?在什么情况下得分为负分?
学号 答对题数 答错或不答题数 得分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
解析 由6号同学的数据可知,每答对一题得10分.设答错或不答每题扣
x分,那么由1号同学的数据可得8×10-2x=70,解得x=5.所以答错或不答每
题扣5分.
(1)如果答对的题数为n(0≤n≤10,且n为整数),那么得分为10n-5(10-n),
即15n-50(0≤n≤10,且n为整数).
(2)如果得分为零分,那么15n-50=0,解得n= .因为竞赛题目数不可能是
,所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数为0,1,2,3时,得分为负分.
3.某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了钢笔30支,毛笔
45支,共用了1 755元,其中每支毛笔比钢笔贵4元.
(1)钢笔和毛笔的单价各为多少元?
(2)①学校仍需要购买上述的两种笔共105支(每种笔的单价不变).陈老
师做完预算后,对财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 447
元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定
算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱
只买这两种笔的账算错了.
②陈老师突然想起,所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如
果签字笔的单价为小于10元的整数,请通过计算,求出签字笔的可能单
价.
解析 (1)设钢笔的单价为x元,则毛笔的单价为(x+4)元.由题意得30x+45
(x+4)=1 755,解得x=21,则x+4=25.
故钢笔的单价为21元,毛笔的单价为25元.
(2)①设单价为21元的钢笔有y支,
则单价为25元的毛笔有(105-y)支.
根据题意,得21y+25(105-y)=2 447,
解得y=44.5(不符合题意).
所以陈老师肯定算错了账.
②设单价为21元的钢笔有z支,则单价为25元的毛笔有(105-z)支,签字笔
的单价为a元,
则根据题意,得21z+25(105-z)=2 447-a,
整理得4z=178+a,
因为z都是整数,所以178+a应能被4整除,
所以a为偶数,
又因为a为小于10的整数,
所以a可能为2、4、6、8.
当a=2时,4z=180,解得z=45,符合题意;
当a=4时,4z=182,解得z=45.5,不符合题意;
当a=6时,4z=184,解得z=46,符合题意;
当a=8时,4z=186,解得z=46.5,不符合题意.
所以签字笔的单价可能为2元或6元.
1.王老师上班途中要经过一个只许单向通过的窄道口,通常情况下,这个
窄道口每分钟可以通过9人.一天,王老师到达道口时,发现由于拥挤,每
分钟只能3人通过道口,此时,他前面还有36个人等待通过(假定先到的
先过,王老师过道口的时间忽略不计),通过道口后,还需7分钟到达学校.
(1)若绕道而行,要15分钟到达学校,从节省时间方面考虑,王老师应选择
绕道去学校,还是选择通过拥挤的道口去学校?
(2)若在王老师等人的维持下,几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期间,每
分钟仍有3人通过道口),结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过
道口,问维持秩序的时间是多少?
解析 (1)36÷3=12(分钟),12+7=19(分钟),19>15,
所以应该选择绕道去学校.
(2)设维持秩序的时间为x分钟,根据题意得
3x+9(12-6-x)=36,解得x=3.
答:维持秩序的时间是3分钟.
2.实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底
面半径之比为1∶2∶1,用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即
管子底离容器底5 cm),现三个容器中,只有甲中有水,水位高1 cm,如图所
示.若每分钟同时向乙和丙中注入相同量的水,开始注水1分钟,乙的水位
上升 cm,则开始注入多长时间的水后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm?
解析 ∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1∶2∶1,向乙注
水1分钟,乙的水位上升 cm,
∴若向甲、丙各注水1分钟,则甲、丙的水位各上升 ×22= cm.
设开始注入t分钟的水后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm.
分情况讨论:
①乙的水位低于甲的水位时,1- t=0.5,解得t= .
②甲的水位低于乙的水位,甲的水位不变时,
t-1=0.5,解得t= , × =6(cm)>5(cm),此时丙容器已向乙容器溢水,故
舍去,∵5÷ = (分钟), × = (cm),即经过 分钟丙容器的水到达管子
底端,乙的水位上升 cm,
∴ +2× -1=0.5,解得t= .
③甲的水位低于乙的水位,乙的水位到达管子底端,甲的水位上升时,
∵乙的水位到达管子底端的时间为 + ÷ ÷2= (分钟),
∴5-1-2× =0.5,解得t= .
综上所述,开始注入 或 或 分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差
是0.5 cm.
3.甲、乙两地间的路程为600千米,一辆客车从甲地开往乙地.从甲地到
乙地的最高速度是每小时120千米,最低速度是每小时60千米.
(1)这辆客车从甲地开往乙地的最短时间是 小时,最长时间是
小时;
(2)一辆货车从乙地出发前往甲地,与客车同时出发,客车比货车平均每
小时多行驶20千米,3小时后两车相遇,相遇后两车继续行驶,各自到达目
的地停止,求两车各自的平均速度;
(3)在(2)的条件下,甲、乙两地间有两个加油站A,B,且加油站A,B间相距
200千米,当客车进入B加油站时,货车恰好进入A加油站(两车加油的时
间忽略不计),求甲地与加油站B间的路程.
解析 (1)5;10.
由题意可得,这辆客车从甲地开往乙地的最短时间是600÷120=5(小时).
这辆客车从甲地开往乙地的最长时间是600÷60=10(小时).
(2)设货车平均每小时行驶x千米,则客车平均每小时行驶(x+20)千米,且4
0≤x≤100.
由题意得3(x+x+20)=600,
解得x=90,则x+20=110.
答:货车平均每小时行驶90千米,客车平均每小时行驶110千米.
(3)设客车行驶了y小时进入加油站B,
两车相遇前,由题意可知,(90+110)y=600-200.
解得y=2,
此时,甲地与加油站B间的路程为110×2=220(千米).
两车相遇后,由题意可知,(90+110)y=600+200,
解得y=4,
此时,甲地与加油站B间的路程为110×4=440(千米).
答:甲地与加油站B间的路程为220千米或440千米.
浙公网安备 33021202002483